1、1 四年级第 9 讲尖子班例题详解 阳光小学四年级有 3 个班，各班分 别有男生 18 人、 20 人、16 人从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【 解决这个问题有 3 类办法：从一班、二班、三班男生中任选 1 人从四年一班 18 名男生中任选 1人有 18 种选法：同理，从二班 20 名男生中任选 1 人有 20 种选法；从三班 16 名男生中任意选 1 人有 16 种选法；根据加法原理，从四年级 3 个班中任意选一名男生当升旗手的方法有：种18206541995 的数字和是 问：小于 2000 的四位数中数字和等于 24 的数共有多19524少个? 【 小于 2000 的四位数千位数字
2、是 1，要它数字和 为 24，只需其余三位数字和是 23因为十位、个位数字和最多为 ，因此，百位数字至少是 5于是98百位为 5 时，只有 1599 一个；百位为 6 时，只有 1689，1698 两个；百位为 7 时，只有 1779，1788，1797 三个；百位为 8 时，只有 1869，1878，1887，1896 四个；百位为 9 时，只有 1959，1968，1977，1986，1995 五个；根据加法原理，总计共 个1234511、2、3、4 四个数字，从小到大排成一行，在 这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【 按插入乘号的个数进行分类：若插入
3、一个乘号，4 个数字之 间有 3 个空当， 选 3 个空当中的任一空当放乘号，所以有 3 种不同的插法，可以得到 3 个不同的乘 积，枚 举如下：， ， 241 249 加 法 原 理分类讨论问题中加法原理的应用1232 四年级第 9 讲尖子班例题详解 若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从 3 个空档中选 2 个空当插入乘号有 3 种不同的插法，可以得到 3 个不同的乘 积，枚 举如下：， ， 12 4 31 24若插入三个乘号， 则只有 1 个插法，可以得到 l 个不同的乘积，枚举如下： 所以，根据加法原理共有 种不同的乘 积37某件工作需要钳工 2 人和电工 2 人共同完成 现
4、有钳工 3 人、 电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会从 7 人中挑选 4 人完成 这项工作，共有多少种方法？【 分两类情况讨论：都会的这 1 人被挑选中，则 有：如果 这人做 钳工的话，则再按乘法原理，先 选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有 种方法39同样 ，这人做电工，也有 9 种方法都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3种方法，一共有 种方法所以，根据加法原理，一共有 种方法7把 7 支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙 3 个人，每人至少 1 支，问有多少种方法？【 (一)甲最少分到一支，
5、最多分到 5 支，因此可以分为 5 类：第一 类：5 种 第二 类：4 种 第三 类 ：3 种甲 乙 丙 甲 乙 丙 甲 乙 丙1 1 5 2 1 4 3 1 31 2 4 2 2 3 3 2 21 3 3 2 3 2 3 3 11 4 2 2 4 11 5 1第四类：2 种 第五类 ：1 种甲 乙 丙 甲 乙 丙4 1 2 5 1 14 2 1所以一共有 种分法535(二)将铅笔排成一排，用两块挡 板将这一排铅笔隔开成三份，然后分与甲、乙、丙，挡板可插入的位置一共有 个，6 个位置中安插两个不分次序的挡板一共有 种方法 处71 6521理分东西的问题用隔板( 挡板)法可以顺利解决453 四年
6、级第 9 讲尖子班例题详解 三所学校组织一次联欢晚会，共演出 14 个节目，如果每校至少演出 3 个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【 方法一：把 14 分为三个不小于 3 的整数和，有以下分类：3，3，8；3，4，7；3，5，6；4，4，6；4，5，5第，种分法中，都有重复数字出 现，以 为例，我们可以先从三所学校中选出一所出 8个节目，有 3 种选法，这样另外两所一定是各出 3 个节目，即在的条件下，三所学校演出节目数的不同情况有 3 种，同理，也各有 3 种第，种分法中，没有重重数字出现，三个学校各对应一个节目数，并且这些数字是不相同的，每种分法各包含 种不同的情况2
7、16利用分类计数原理，共有 种不同的情况3621方法二：由于每校至少演出 3 个节目，所以可以由每所学校先分 别出 2 个节目，剩下的 8 个节目再由 3 所学校分，也就是在 8 个物体 间插入 2 个挡板， 8 个物体一共有 7 个间隔，这样的话一共有种方法7621东标号、图示法在加法原理中的应用在下图的街道示意图中，有几 处街区有积水不能通行，那么从 到 的最短路线有多AB少种？AB 1111 11111145551 1 13 616215142211111 311BA【 因为 在 的右下方，由 标号法可知，从 到 的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到BAA它左侧点的走法数与到它上侧
8、点的走法数之和有积水的街道不可能有路 线经过，可以 认为积水点的走法数是 0接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数如右上图，从 到 的最短路线有 22 条B674 四年级第 9 讲尖子班例题详解 从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？【 第一站到东京的路线有 10 条： 东东东东 东东东东东同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有 10 条，不同的路线共有 条104加法原理与简单递推一楼梯共 10 级，规定每步只能跨上一 级或两级，要登
9、上第 10 级，共有多少种不同走法？【 登上第 10 级台阶，只有两种可能：可以从第 9 级 一步跨上去，或者从第 8 级一步跨上去由加法原理可知，如果登上第 9 级和 8 级分别有 种和 种走法，则登上第 10 级有 种走法，也就是abab说，登上第 级台阶的走法总 数，等于登上第 级台阶和第 级台阶的走法总数之和因此，n1n2n只要知道登上第一级和第二级台阶有几种走法，就可以依次反推出登上各 级台阶的走法总数例如登上一级台阶有 1 种走法，登上第二级台阶有 2 种走法 (一步走两级或者走两步每步走一级)；895 四年级第 9 讲尖子班例题详解 由此得出登上第三级台阶的走法数为 种又知道走上
10、第四级台阶的走法总数也等于登上123第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上第四 级台阶共有 种方法，依此 类235推：1 级 2 级 3 级 4 级 5 级 6 级 7 级 8 级 9 级 10 级1 2 3 5 8 13 21 34 55 89所以，登上第 10 级台阶的走法数 为 89有一堆火柴共 12 根，如果规定每次取 13 根，那么取完 这 堆火柴共有多少种不同取法？【 取 1 根火柴有 1 种方法，取 2 根火柴有 2 种方法，取 3 根火柴有 4 种取法，以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：1 根 2 根 3 根 4 根 5
11、 根 6 根 7 根 8 根 9 根 10 根 11根12 根1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927取完这堆火柴一共有 927 种方法魔幻数学树林里的正方形这天，小空和猪坚强他们护送 师傅走到了一片树林里， 树林里阴 风阵阵，很是吓人。小空从树林中跳到天上，四下 张望，却没有 发现妖怪的踪迹。可是等他再跳下来时，发现师傅不见了，猪坚强还在一边站着，好像什么都没 发生一样。“喂，猪头，师傅呢？不会是被你给看丢了吧？”小空有点着急地 问。“哪能啊，师傅走到树林里以后 兴致大发，自己下 马去树林里 闲逛了，也不让我跟着，说是怕我打搅了他的雅兴”果然，不一会儿师傅就自己
12、走了回来。小空一看 师傅两眼放光的 样子，就知道他又想到什么题目迫不及待要出给他们了“小空呀，你看，这是我刚才走到这片森林正中央时看到几棵树的分布示意图。 ”师傅说着像变魔术一样从口袋里掏出了一张纸。纸上画着一副示意 图，上面密密麻麻地画了 个黑点，代表 棵树：2020“那小空，今天为师就以这幅图 出道题考考你。 ”“说吧，师傅！”“问题很简单，就是问这个图里一共有多少个以四棵 树为顶 点的正方形。 ”“这还不简单！数正方形的题目就是按照大小分情况讨论嘛！这个图里面 的正方形有 个，没有19106 四年级第 9 讲尖子班例题详解 或者更大的正方形，所以一共就有 个正方形！”29“这猴子粗心大意
13、的老毛病又犯了”猪坚强一脸鄙视地想。“小空啊，你再好好想想看除了这些正方形就没有别的形状的正方形了 吗？以前我总是提醒你，做 计数问题一定要确保不重复、不遗 漏，当 时你不听我的你看你现 在这么一道数正方形的题又出错了吧。与其当初不听我的还不如当初听我的这样的话你现在这道题也就能做对了那么你也就会开心一点我也就会开心一点我们大家都会开心一点”“完了，师傅又开始唠叨了。 ”猪坚强想着，忙出来打圆场：“师傅啊，其实我觉得，小空也是疏忽了题里还可能有斜着的正方形的情况，让他再数数看吧。 ”那么同学们，你们也帮小空数一数，到底图中有多少个正方形吧。注意不要数漏了哦答案：其实除了四条边水平、竖直的 个正方形，图中还存在着以下几类正方形：9以上四种正方形在图中依次有 ， ， ， 个，再加上最初小空数到的 个正方形，一共有429（个）正方形。9421
