1、第一章证明（二） 复习,直观是把“双刃剑”,直观是重要的,但它有时也会骗人,下面的例子就是最好的证明!,a,b,c,d,a,b,a,b,公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).,“原名” 知多少,本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.
2、全等三角形的对应边相等,对应角相等.,你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?,推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).,定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,在ABC中, AB=AC(已知), B=C(等角对等边).,推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(三线合一).,如图,在ABC中, AB=AC, 1=2(已知). BD=CD,ADBC（三线合一）.,证明后的结论,以后可以直接运用.,如图,在ABC中, AB=AC, BD=CD (已知). 1=2,ADBC（三线合一）.,如图,在ABC中, AB=AC, ADB
3、C(已知). BD=CD,1=2 （三线合一）,轮换条件1=2, BD=CD,ADBC可得三线合一的三种不同形式的运用.,等腰三角形两底角的平分线相等.,等腰三角形的其他性质：,等腰三角形两腰上的中线相等.,等腰三角形两腰上的高相等.,已知:如图,在ABC中, (1)如果ABD=ABC/2,ACE=ACB/2,那么BD=CE吗? 如果ABD=ABC/3,ACE=ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? (3)你能证明得到的结论吗？,等腰三角形的判定,定理： 有两个角
4、相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.,小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.,小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.,在ABC中, AB=AC,B=600(已知). ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).,定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.,在ABC,A=B=C. AB
5、C是等边三角形.,定理:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.,在ABC中, ACB=900,A=300. BC= 0.5AB.(在直角三角形中,300角所对的直角边等于 斜边的一半).,逆命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.,直角三角形全等的判定定理及其三种语言,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,如图,在ABC和ABC中, C=C=900 , AC=AC , AB=AB(已知), RtABCRtABC(HL).,直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
6、(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!,1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(
7、2), 折痕交AE于点G,那么ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?,1、已知：如图CA与BD相交于点O，AB/CD，OA=OB， 求证：三角形DOC是等腰三角形,2、等腰三角形有一个内角是40度，则它其余的两个角的度数是_,3、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的两个角的度数是_,4、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是9，则它的周长是_,5、已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 则它的腰上的高是_,6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角是_,7、在ABC与DCB 中，已知AB=CD，要使ABO DCO，请你补充条件_,11、判断下列命题（1）对顶角相等；（2）内
8、错角相等，两直线平行；（3）两个全等的三角形的面积相等；（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。其中逆命题正确的是_,8、在ABC中，O是ABC内的一点，且OB=OC，1=2，3=4， 证明：AOBC,9、在ABC中，已知ABC与ACB的平分线相交于点F，过点F作 DE/BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为多少？,10、如图，点C为线段AB上的一点，ACM， CBN是等边三角形，AN，CM交于点E，CN，BM交于点F。 （1）求证：AN=BM （2）求证：CEF是等边三角形,12、如图，CDAB于D点，BEAC于E点，BE、CD交于O点，且AO平分BAC 求证：OB=OC,1、如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90,且AB=1，BC=2，tanADC=2. (1)求证：DC=BC (2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDC=FBC，DE=BF，试判断ECF的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，BEC=135时，求sinBFE的值.,
