1、2018 届贵州省凯里市第一中学高三下学期黄金卷第二套模拟考试数学（文）试题（解析版）第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，则 （ ）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】 ，故选 A.2. 已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，故选 C.3. 已知向量与 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 ，故选 C.4. 点 到直线 的距离是（ ）A. 1 B. 2 C. D.
2、6【答案】B【解析】由 得 ， ，故选 B.5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，该三视图对应的直观图为四棱锥 ，由图可知最长棱为 ， ， 都是最短棱，由两条异面直线所成的角的定义知： 与 所成的角相等 ， 与 所成的角相等，均等于 ，且 ，在 中， ，故选 D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正
3、，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 已知 ， ， ，则、 、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为幂函数 在定义域内单调递增，所以 ，由指数函数的性质可得，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7. 若函数 的图象关于
4、 轴对称，则的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，由于 为偶函数，则， ， ，故选 B.8. 已知抛物线 的焦点 是椭 （ ）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 、两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题知线段 是椭圆的通径 ，线段 与 轴的交点是椭圆的下焦点 ，且椭圆的 ，又 ，由椭圆定义知 ，故选 C.9. 中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为（ ） ，例如 .我国南北朝时代
5、名著孙子算经中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图的程序框图，则输出的 （ ）A. 16 B. 18 C. 23 D. 28【答案】D.10. 设 、 ，已知 ， ，且 （ ， ） ，则 的最大值是（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】 ， ，当且仅当 时取等号，故选 A.11. 图是棱长为 2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形） ，球 是该正八面体的内切球，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设已知的正八面体为 ，可知 平面 于
6、球心 ，且点 为正方形 的中心，设球 与正四棱锥 的侧面 相切于点 ，连接 并延长，交 于点 ，可知 为 的中点，连接，则 ，由 ，得 ，即正八面体内切球的半径为 ，所以内切球的表面积为 ，故选 A.12. 已知函数 ，函数 有 4 个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 得 ，函数 有 个零点，即函数 与函数 图象有 个交点，当 时，设 是 的切线，切点为 ， ，解之得 ，当 时，故函数 图象关于直线 对称，作出函数 的图象，如图，由图知，当 时， 函数与函数 图象有 个交点，函数 有 个零点， ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、
7、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数 ；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质第卷 二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）13. 已知 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值与最小值之和为_【答案】 【解析】如图所示，作出线性约束条件满足的平面区域是三角形 内部包括边界，当直线 与直线重合
8、时，目标函数 取得最大值 ，当直线 经过可行域中的点 时，目标函数取到最小值 的最大值与最小值之和为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 已知 、 、 是 的三个内角，且 ， ，则 _【答案】【解析】 ， ，得 ，因此，故答案为 .15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的
9、长称为双曲线的通径，其长等于(、 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、，若点 是双曲线 上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线， 于点 ，且 的最小值为 3，则双曲线 的通径为_.【答案】【解析】如图所示，连接 ，由双曲线的定义知 ，当且仅当 三点共线时取得最小值 ，此时，由 到直线 的距离 ，由定义知通径等于 ，故答案为 .16. 已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数，当 时， ，若 ，则实数的取值范围是_【答案】 或【解析】 时， ，而 ，故 在上为减函数，又 在 上为奇函数，故 为偶函数， 当 时， 为增函数，由，根
10、据单调性和奇偶性可得 ，解得 ，或者 取值范围是 或，故答案为 或 .三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列 满足 ，且 .（）求证：数列 是等比数列；（）数列 满足 ，判断数列 的前 项和 与 的大小关系，并说明理由.【答案】 （I）证明见解析；（II ） .【解析】试题分析：（）由 可得 ，所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列；（）由（）可知 ，即 .故,根据裂项相消法结合放缩法可得 .试题解析：（）由题意可得 ，即 ，又 ，故数列是以 3 为首项，3 为公比的等比数列； （）由（）可知 ，即 .故 , ，故 .18. 2018 年中
11、央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取 80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6段： , , , ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图 .问：（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）若用分层抽样的方法从年龄在 中的群众随机抽取 6 名，并从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南，求选派的 3 名群众年龄在 的概率.【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：（）设 名群众年龄的中位数为 ，则，解得 ，从而可得这 名群众年龄的中位数；（）按分层抽样的方法随机抽取年龄在 的群众 人，年龄在
12、 的群众 人，利用列举法可得 人抽取三人的事件数为 ，其中选派的 3 名群众年龄都在 的基本事件有 个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（）设 80 名群众年龄的中位数为 ，则，解得 ，即 80 名群众年龄的中位数 55 （）由已知得，年龄在 中的群众有 人， 年龄在 的群众有 人， 按分层抽样的方法随机抽取年龄在 的群众人，记为 1，2；随机抽取年龄在 的群众 人， 记为 .则基本事件有：，共 20 个，参加座谈的导游中有 3 名群众年龄都在 的基本事件有： 共 4 个，设事件 为“从这 6 名群众中选派 3 人外出宣传黔东南，选派的 3 名群众年龄都在 ”，则 . 【方法点睛】本题
13、主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求 .在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， . 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生 .19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， , . （）若 是 的中点，求证： 平面 ；（）若 ， ，求三棱锥 的高.【答案】 （I）证明见解析；（II ） .【解析】试题分析：（）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中,中位线
14、,且 平面 ,平面 , 平面 ；（）由 , 可得 与底面垂直，在 中，设 的中点为 ，连接 ，则 是三棱柱 的高，计算出三角形 与 面积，利用 可求得点 到平面 的距离为 .试题解析：（）连接 交 于 ,连接 .在三角形 中,中位线 ,且 平面 , 平面 , 平面 .（）在 中，设 的中点为 ，连接 ，则 ，又 ， ,又 ， ， ，解得 .所以点 到平面 的距离为： .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知抛物线 的焦点曲线 的一个焦点， 为坐标原点，点 为抛物线 上任意一点，过点 作 轴的平行线交抛物线的准线于 ，直线 交抛物线于点 .（）求抛物线 的方程；（）求证：直线 过定点 ，并求出此定点的坐标.【答案】 （I） ；（II）证明见解析.【解析】试题分析：（）将曲线 化为标准方程，可求得 的焦点坐标分别为，可得 ，所以 ，即抛物线的方程为 ；（）结合（） ，可设 ，得
