1、第九章 静电场中的导体和电介质9-1 把一厚度为 的无限大金属板置于电场强度为 的匀强电场中，d0E与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度0E分析 对于有导体存在的静电场问题，首先由静电平衡条件分析放入静电场后导体上电荷的重新分布情况，再计算空间电场和电势的分布本题中，将金属板放入均匀电场后，由于静电感应，平板两面带上等值异号感应电荷忽略边缘效应，两带电面可视为平行的无限大均匀带电平面 解 设平板两表面的感应电荷面密度分别为 和，如图 9-1 所示由例题 8-7 结果知，带感应电荷的两表面视为带等量异号电荷的无限大平行平面，在导体中产生的场强为，方向与 相反，由场强叠加原理，平板中任一点的总
2、场强为0E0E00E根据静电平衡条件，金属板中场强 ，代入上式得0则 ， 0E 0E结果与板的厚度无关9-2 一金属球壳的内外半径分别为 R1 和 R2，在球壳内距球心为 处有一d电荷量为 q 的点电荷， （1）试描述此时电荷分布情况及球心 O 处电势；（2）将球壳接地后，以上问题的答案；（3）如原来球壳所带电荷量为 Q， （1） 、（2）的答案如何改变分析 当导体内达到静电平衡后，应用高斯定理可以确定导体上电荷重新分布的情况，然后用电势叠加原理求电势解 （1）按照静电平衡条件，导体内部 ，在球壳内外表面间作同心0E高斯球面，应用高斯定理，可知球壳内表面上应有 的感应电荷，为非均匀分布，如图
3、9-2 所q示根据电荷守恒定律和高斯定理，球壳外表面上有+q 的感应电荷，且均匀分布点电荷 q 在 点产生的电势为OdqV41球壳内外表面上的感应电荷 和+q 无论分布情况如何，到球心距离分别为 R1 和 R2，电势叠加原理表达式为标量求和，所- +- +- +- + E0- +- +图 9-1+ + d R1+q+ q +-q R2+ +图 9-2以在 点产生的电势分别为O124RqV234RqV点电势为 21321d)1(42Rq（2）将球壳接地后，外球面上的感应电荷消失，球面上电荷分布不变，得 )1(21dV（3）如果原来球壳带电量为 Q，达静电平衡后外球面上电荷 Q+q 均匀分布，内球
4、面上电荷分布不变，得 221321 4)(4RRdqV球壳接地后，结果与（2）相同9-3 一无限长圆柱形导体半径为 Ra，单位长度带有电荷量 1，其外有一共轴的无限长导体圆筒，内外半径为分为 Rb 和 Rc，单位长度带有电荷量 2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2） ， ，arbcRr， 四个区域的电场强度cbRrc分析 静电平衡条件下，在圆筒导体内场强为零，用高斯定理和电荷守恒定律可求出感应电荷的分布解 （1）如图 9-3 所示，在圆筒形导体内作半径为 ，高为单位长的同轴r圆柱形高斯面 S，设导体圆筒内外表面单位长的感应电荷分别为 和 ，由静电平衡条件知导体内 , 故有0Ed)
5、(100q即得半径为 Rb 的圆筒内表面单位长上的感应电荷为- 1由电荷守恒定律知，半径为 Rc 的圆筒外表面上单位长的感应电荷应为 1，加上原有电荷量 2，单位长上总带电量为 2（2）电荷重新分布的结果形成三个同轴的无限长带电圆柱面如图 9-3，由于电荷分布具有轴对称性的，产生的电场也是轴对称的，用高斯定理可求出-1 1 R aR b1+2S r R c图 9-3 时， aRr 0E时， ba r21时， cbr0时， cR rE0219-4 证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金属板 A 和 B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小相等，符号相同，如果两金
6、属板的面积同为 100cm2，电荷量分别为 和C1068Q，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电荷面密度C1048BQ分析 根据静电平衡条件，一切净电荷都分布在导体表面，本题中的电场空间可视为四个无限大均匀带电平行平面产生的电场的叠加，金属板 A、B 内任意点场强为零由电荷守恒定律可以建立各表面的电荷面密度与两金属板的总电荷量之间的关系解 设 A、 B 两板的四个表面上的电荷面密度（先假定为正）分别为 1、 2、 3 和 4，如图 9-4 所示设向右为正向，由无限大均匀带电平面的场强公式和场强叠加原理，考虑到金属板 A、B 内任意点场强为零，得金属板 A 内 02243201金属板 B 内
7、43201解得 ， 32又由电荷守恒定律得 ，AQS)( BQS)(43联立解得 26BAC/m1052612 /S263C/09-5 三个平行金属板 A、B 和 C，面积都是 200cm2，A 、B 相距4.0mm，A、C 相距 2.0mm，B、C 两板都接地，如图 9-5 所示，如果 A 板带正A B 1 2 3 4图 9-4电 ，略去边缘效应， （1）求 B 板和 C 板上感应电荷各为多少？（2）C10.37以地为电势零点，求 A 板的电势 分析 由静电平衡条件， A、B、C 板内各点的场强均为零，A 板上电荷分布在两个表面上，因 B、C 两板均接地，感应电荷应分布在内侧表面上解 （1）
8、设 A 板 1、2 两面上带电量分别为 q1 和 q2，B、C 两板与 A 相对的两内侧表面 3、4 上的感应电荷分别为 q1和 q2，如图 9-5 所示作侧面与平板垂直的高斯面 ，两端面处 E=0，忽略边缘效应，侧面无电场线穿过，由高1S斯定理 0)(d110 SqqE得 1同理可得 AB 板间和 AC 板间为2q匀强电场，场强分别为SE1 SqE2又已知 ，即ACBV21d因 C0.3721q由以上各式，得 B、C 两板上的感应电荷分别为 1.71 022qq（2）取地电势为零，A 板电势即为 A、B 间电势差 V13.11SdEVAB9-6 半径为 的导体球所带电荷量为 ，球外有一个cm
9、0.1R C0.1q内外半径分别为 和 的同心导体球壳，壳上带有电荷量32c0.43，求：（1）两球的电势；（2）用导线把两球连接起来时两球的C0Q电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点 ）分析 根据静电平衡条件可以确定感应电荷的分布，用导线连接的导体电势相等，外球接地后电势为零解 （1）根据静电平衡条件，导体球壳内表面感应电荷为 -q，外表面感应d1 - d2 -B A C3 1 2 4S SSS1q1 q2q1 q2图 9-5电荷为 q，原有电荷量 Q由电势叠加原理，导体球电势为 3211 4RqRV V103.)(1232RQq导体球壳的电势为 7.42333302
10、Q（2）球壳和球用导线相连后成为等势体，电势等于半径为 R3 带电量为Q+q 的均匀带电球面的电势，以无穷远为电势零点，得 V107.2432RqV（3）外球接地后，只乘下内表面的电荷-q，由电势叠加原理内球电势为 6211外球壳接地与地等势，即 02V另外，求 V1时还可以用内球产生的电场的线积分计算，即 V60)1(4d22221 RqrR9-7 半径为 的金属球离地面很远，并用细导线与地相连，在与球心的距离为 处有一点电荷 ，试求金属球上的感应电荷RD3q分析 由于导体球接地，其表面上的感应正电荷通过导线与地球内负电荷中和，只剩下负感应电荷在金属球表面不均匀地分布，如图 9-7 所示接地
11、后，导体球上各点电势均为零，球心 O 点的电势应等于点电荷在该点电势与金属球表面感应负电荷在该点电势的代数和解 设金属球上感应电荷为 ，在金属球q表面不均匀地分布，但这些电荷到 O 点距离相等，电势叠加后得 RV42点电荷 在 点的电势为 qOq310421 RV R q q O D 图 9-7得感应电量为 3q由此可以推证，当 时， nRDn9-8 如图 9-8 所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面 A、B 和 C，半径分别为 、 、 ，圆柱面 B 上带电荷，A 和 C 都接地，求：B 的内表面单ARBC位长度电荷量 ，外表面单位长度电荷量 之比值 1221/分析 本题与题 9-5 的解题思
12、路相似解 在导体 B 内作单位长圆柱面形高斯面，可以说明 A 面单位长度上感应电荷为 同理，可说明 C 面单位长度上感应电荷为 由高斯定理可知1 2场强分布为时， ，方向沿径向由 B 指向 ABARrrE1时， ，方向沿径向由 B 指向 CC2BA 间电势差 BAVd2RrEABAB11ln2RrdBC 间电势差 BC02ClnB 为等势体，A、C 接地， ，从而AV)/ln(BC21R9-9 半径分别为 和 的两个同心112导体薄球壳，电荷量分别为 和 ，今将内球壳用细导线与远处的半径为 r 的Q导体球相联，导体球原来不带电，并假设导线上无电荷分布，试求相连后，导体球所带电荷量 q分析 带电
13、的内球壳与导体球用导线相连后，一部分电荷通过导线转移到导体球表面上两者相距甚远，可以认为两球壳与球的电场互不影响，已假设导线上无电荷分布，利用内球壳与远处导体球电势相等建立方程求解解 因两球壳与球的电场互不影响，导体球电势为 214rqV- 2RB 1 2 RC RA A B C- 1图 9-8假设导线上无电荷分布，则内球壳上电荷量变为 ，由电势叠加原理，qQ1内球壳的电势为 2124RQqV内球壳与远处导体球电势相等，即 212144RQqr解得 )(12rrq9-10 地球表面的电场强度为 150N/C，方向垂直指向地面，若把地球视为导体，试求地球表面的电荷面密度和地球带的总电荷量分析 由
14、于地球表面的电场强度方向垂直指向地面，可知地球带负电，将地球视为导体，在静电平衡状态下，电荷分布在表面上解 设地球表面的电荷面密度为 ，表面附近的场强 ，则0E29210 C/m13.C/)085.1( E地球半径 ，地球带的总电荷量为m37.66R k6808.64.4 529 q9-11 设有一孤立导体球，半径为 R.， （1）试求其在真空中的电容表示式；（2）若把地球视为 的导体球，它的电容量多大？（3）欲使地07.66球的电势改变 1V，需使其所带电荷量改变多少？解 （1）将孤立导体球视为与无穷远处的同心导体球面组成的球形电容器，利用球形电容器电容表达式， （9-4）式给出孤立导体球的
15、电容 RVQC4（2）地球电容 F1073.646C（3）欲使地球电势改变 1 伏特，需使地球电量的改变为 10744VQ这个值很大，所以地球带电量的日常变化不会引起地球电势发生明显的改变，这就是通常可以选取地球作为电势零点的原因9-12 已知空气的击穿电场强度为 ，求处于空气中一个半径为/m36Q 2Q1-q q R1R2 r图 9-91m 的导体球最多能带多少电荷及能达到的最高电势分析 在带电导体球周围的空气形成一种绝缘介质包围着导体球，当导体球产生的电场足够强时，会使其周围的空气发生电离而成为导体，致使带电导体球放电，通常称为空气被击穿因均匀带电导体球面的电场强度和电势与带电量成正比，为
16、了不击穿周围的空气，带电导体球所带电量要受到限制解 由题意击穿电场强度 V/m1036maxE而 2ax4RQC103.1085.1034 4262maxa REQ最高电势为 V46max2maxaax ECV或 103103. 64axmax R9-13 收音机里的可变电容器如图 9-13（a）所示，其中共有 n 块金属片，相邻两片的距离均为 d，奇数片联在一起固定不动（叫定片） ，偶数片联在一起可一同转动（叫动片） ，每片的形状如图 9-13（b）所示，求当动片转到使两组片重叠部分的角度为 时，电容器的电容 分析 除了最外侧的两片外，每块金属片的两个表面分别与相邻的金属片表面构成一个电容器
17、，如图 9-13（c）所示，所以 n 块金属片如此连接等效于（）个平行板电容器并联当两组片重叠部分的角度为 时，每个电容器有1n 效极板面积为 ，因此电容器的等效电容是 的函数收音机调频的电容器)(S就是根据这个原理设计的解 当两组片重叠部分的角度为 时，每个电容器有效极板面积为)(36021rS（n-1）个极板面积为 S，板间距为 d 的平行板电容并联时的等效电容为 dnnC)()( 210式中 以度计r2r1(a) (b) (c)图 9-139-14 半径都为 a 的两根平行长直导线相距为 .（1）设两导线每)(ad单位长度上分别带电 和 ，求两导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电
18、容分析 因 ，可设两导线的电场互不影响，由场强叠加原理可求出两d导线间的场强分布，再用场强与电势的积分关系求两导线间电势差，由电容器电容的定义即可求出单位长导线组的等效电容 解 作两导线组合的截面图，以带正电导线轴心为原点建立坐标系如图 9-14 所示不难看出，正负电荷在 P 点的场强均沿 r 轴正向，矢量叠加简化为标量和 )-1()(2rdrdrE 两导线间电势差为 Vradadrr)1(aln由电容器电容的定义，导线单位长电容为 adCln9-15 有两个半径分别为 和 的导体球放在真空中，两球表面相距为 ，1R2 d已知 和 ，试求两导体构成的电容器的电容.1Rd2分析 按题意 ，可认为
19、当两导体球分别带电 和 时，彼此电2RdQ场互不影响，即各球面上电荷分布仍是均匀的，由场强叠加原理可求出两球球心连线上任一点的场，用与上题相似的方法可以求出两球电势差和两球构成的电容器电容解 以大球球心为原点，建立如图 9-15 所示的坐标系，在坐标为 r 处的 P点（在连心线上） ，两球产生的电场均沿 r 轴正向，得 2212 )(4rdRQEdrO P 2a图 9-14+Q-QO R1 P R2 d r图 9-15两带电导体球间电势差为 VdRrE1 dR rdrQ1 2212)(4)(2121考虑到 ， ，可将电势近似表示为1Rd )(421dRQV此两导体球构成的电容器电容为 dRC2
20、19-16 两只电容器 ， ，分别把它们充电到 1000V，然后将F81它们反接，如图 9-16 所示，求此时两极间电势差分析 并联电容极板间电压相同，因两电容器电容不等，则反接前两电容器带的电量必定不等反接后，相连的极板上正负电荷中和，可以计算出中和后电荷量的代数和及并联电容器的等效电容 C，从而求出电势差解 反接前，设 和 带电量分别为 和 ，充电电压 ，则1C21Q2 V10U01UQ02U反接后，正负电荷中和，中和后总电量为，并联等效电容 ，则并2121C联电容器两板间电势差为 V60108)0()( 66210 UCQ9-17 如图 9-17 所示， ，求：（1）AB 间F.5,.,
21、F32C的电容；（2）在 AB 间加上 100V 电压时，求每一个电容器上的电荷量和电压；（3）如果 C1 被击穿，问 C3 上的电荷量和电压各是多少？分析 并联电容器极板电势相等，串联电容器极板上电荷量相等，总电压等于各电容器上电压之和当 上电压超过 的额定电压， 将被击穿，111支路即短路，全部电压就加在 上，如超过 的额定电压， 将被击穿，1 33C3CA、B 间就发生短路所以，在设计电容器组合电路时，除应计算等效电容外，+ C1 C2 +图 9-16还应考虑分配到每个电容器上的电压是否超过所选电容器的额定电压解 （1） 和 并联电容为 ，再与 串联后，等效电容为1C2 21C 3F75
22、.3（2）等效电容所带电量为 ，串联的电容所带电量相等UQC1075.43QV3U25121 CQ又因 21可解得 05.4C1025.4（3）如果 C1 被击穿，AB 间电压就加在 C3 上，即V13U则 054Q9-18 平板电容器，两极间距离为 1.5cm，外加电压 39kV，若空气的击穿电场强度为 30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为 0.3cm 的玻璃插入电容器并与两板平行，若玻璃的相对电容率为 7，击穿电场强度为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系？分析 加玻璃片后，电场被分成两部分，应分别计算出空气和玻璃中的电场强度，再判断是否
23、有哪种介质中的场强超过了其击穿场强可以证明结果与玻璃板的位置无关解 未加玻璃前平板电容器内场强为 kV/cm30/c26V/cm5.139dUE因其量值小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿加玻璃后，设电容器极板的电荷面密度为 ，平行板电容器中电位移 设玻璃和空气中场强分D别为 和 ，则有1E2r002E玻璃厚为 d1，则空气层厚为 d- d1，得AC1 C2C3B图 9-17U图 9-18UdE)(121由以上各式得 kV/cm48.)(r11d30/.3)(r11r2 UE即空气部分首先被击穿，然后全部电压加在玻璃板上，致使玻璃中场强为 kV/cm1/c03.91d玻璃部分也会被击穿9-
24、19 一平板电容器极板面积为 S，两板间距离为 d，其间充以相对电容率分别为 、 的两种均匀介质，每种介质各占一半体积，若忽略边缘效应，r1r2（1）与两种不同介质相对的两部分极板所带电荷面密度是否相等？如果不相等，求： =？（2）试证此电容器的电容为/210rdSC分析 忽略边缘效应，电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场，从而可以确定两种不同介质中场强与极板电势差的关系，以及与两部分极板上的电荷面密度的关系，从而可知极板上的总电荷量另一种思路是将充入两种介质后的电容器视为由两个电容器并联而成，直接应用并联电容器的计算公式解 1 （1）设电容器端电压为 U，两种介质中场强分别为 E1 和
25、 E2，由充满均匀介质的平行板电容器的场强与电压的关系可得（1）dE21设 、 分别为两种不同介质对应部分极板上的电荷面密度，忽略边缘效12应，电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场，则有（2）r101Er02E代入(1)式可得 r21即两部分极板所带电荷面密度不相等由（1）和（2）式可得极板上的总电荷量为Sr1 r2 d图 9-19)2()(2r1021dSUSQ由电容器定义得 )(10rC解 2 由并联电容器公式求总电容 )2(21001021 rrrdSdS可见第二种方法计算简单，用第一种方法可对物理过程、电场电荷分布有更明确的概念另外在第一种方法中亦可用介质中的高斯定理求解9-20
26、 一球形电容器，在外球壳的半径 R 和内外导体间的电势差 U 维持恒定的条件下，内球半径 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？并求R这个最小电场强度的值分析 导体表面附近的场强与电荷面密度成正比，而当极板间电势差恒定时，极板所带电荷量取决于电容 C，电容器的电容由电介质性质和几何因素决定，根据这些关系可以确定内球半径对内球表面附近电场强度的影响解 球形电容器电容为 R4极板上带电量为 UCq当外球壳的半径 R 和极板间电势差 U 恒定时，q 是内球半径 的函数内R球表面附近的场强大小为 )(42RE即 也是 的函数欲求场强 的最小值，令E 0)(d22UR得 并有 时， ，即 时，场强有
27、极小值，且2R0d2E2RUE4min9-21 图 9-21 为水蒸气分子 中氧氢原子核及核外电子云示意图由于OH2分子的正负电荷中心不重合，故其为有极分子，电矩 （1）mC02.63p水分子有 10 个正电荷及 10 个负电荷，试求正负电荷中心之距 d=?（2）如将水蒸气置于 的匀强电场中，求其可能受到的最大力矩？（3）欲N/C105.4E使电矩与外场平行反向的水分子转到外场方向（转向极化） ，问电场力作功多少？这功的大小为室温（300K）水分子的平均平动动能 的多少分之一？在室温kT23下实现水分子的转向极化，外加电场强度应该多大？分析 由电矩 及已知的水分子电量可计算正负电荷中心之距 d
28、由qdp电偶极子在外场中受的力矩 ， ，可知，当 与 正交时MEpsinppE力矩最大.当电矩与外场平行反向 时，电场力的力矩作功将使 减小，)180(最后 ，注意到在此过程中 .如果这个功与室温下水分子的平均平动0d动能 相比较是微不足道的，那么要使水分子在常温下实现极化，外电场作kT23的功至少要等于平均平动动能才能克服热运动的干扰，这就要求外电场足够强本题的目的在于启发在实际问题中综合各种物理因素的分析方法和数量级分析的方法解 （1）由题意，水分子正负电荷中心不重合，形成一个电偶极子，电量， 电矩大小eq0deqp)10(正负电荷中心之距 m109.36.221d题 9-21 图中，OH
29、 键距为 ， 为这个距离的 4%.m0958.1d（2）由电场力作用于电偶极子的力矩 ，力矩大小为MEp， ，M 达极大.sinPEM0 mN103.95.10262643max PE（3）力矩作功为 ，本题中，当转向极化进行时，力矩作正功但dWd 018 25109.2dsinJPE而 T=300K 时，水分子的平均平动动能 Jk 2123.68.3260WkEp图 9-21可见在这样大小的外电场中，水分子的转向极化将被分子的热运动干扰，要实现转向极化，使 的水分子也转到外电场的方向上 ，电场力作的功180至少要等于分子热运动的平均平动动能 ，从而外场场强值至少要达到kN/C1052.628
30、301 pWEk9-22 平板电容器两级板相距 3.0 cm，其间平行地放置一层 的介质，0.2r其位置和厚度如图 9-22(a)所示，已知 A 板带负电、 B 板带正电，极板上电荷面密度为 ，略去边缘效应，求：（1）极板间各区域的300C/m85.D、 E；（ 2）极板间距 A 极 1cm、2cm 、3cm 处的电势（设 A 板电势为零） ；（3）绘出 、 、 曲线；（4）介质表面的极化电荷面密度xxU解 （1）作如图 9-22(a)所示的高斯面 和 ，由介质中的高斯定理可以1S2证明各区域 相等，得 2100c/m85.D介质外场强 V/0E介质内场强 /5r（2）以 A 板电势为零，则处
31、 cm1x VxEV10.10处 5)(22处 cx x.303（3） ， ， 曲线如图 9.22(b)所xDEV示（4）介质表面的极化电荷面密度为A S2 BS10 1 2 3 x / cm(a)D/(C/m) E/ (V/m) V/V 100 0 250 10 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 (b) 图 9-22C/m10425.)1(r9-23 平板电容器两极间充满某种介质，板间距 ，电压 600V，如2d果断开电源后抽出介质，则电压升高到 1800V，求：（ 1）介质的相对电容率；（2）介质上的极化电荷面密度；（3）极化电荷产生的电场强度分析 断开电源后抽出介质意味
32、着极板上的自由电荷电量保持不变，电位移 也不变，但是电场强度改变，电压也会改变D在计算有均匀各向同性电介质的平行板电容器之间的电场时，电场强度可以表示为 ，即自由电荷的电场和极化电荷产生的附加电场00E的叠加，其中电介质对电场的影响以极化电荷面密度 的形式表现出来，反映了空间电场是自由电荷和极化电荷共同产生的；介质中的电场强度也可以直接表示为 ，其中电介质对电场的影响以相对电容率 的形式表现出来，r0 r也反映了空间的电场是自由电荷和极化电荷共同产生的这两种表现形式是等效的解 （1） 由 ， ，得相对电容率为dUE0360180r （2）在平行板电容器两极板间充满均匀电介质时，忽略边缘效应，得
33、 C/m1.5 )1( )( 60rr E（3）极化电荷的分布形成等量异号带电板，忽略边缘效应，得 V/650E9-24 盖革计数器可用来测量电离辐射，它的正极是半径为 的金属丝，负1R极是半径为 的同轴圆柱面，当管内充以低压惰性气体，并使两极间建立起强2R电场，若有辐射粒子进入器壁时将使气体电离，在电子向正极运动的过程中，又会与其他气体原子产生碰撞电离，这样将有更多的电子到达正极并产生一个信号，记录下该辐射，假设 ，管长m104.,10252261 RR，两级间电势差 ，低压惰性气体的相对电容率 ，m1062LVU1r试计算此时阳极上的电荷量和电荷数分析 由于 ，忽略边缘效应，可以把盖革计数
34、器视为带12,RL等量异号电荷的无限长同轴圆柱面电容器解 两级间场强为 ，方向沿径向指向阴极电势差为rE0211200lndRU则 12lR阳极上电荷量为 )025/4.ln(162ln 210 RULq C904.8相应的电荷数为 1019.06.8eqN9-25 圆柱形电容器是由半径为 的导体圆柱和与它同轴的导体圆筒构成1R的，圆筒的半径为 ，电容器的长为 L，其间充满相对电容率为 的介质，设2R r沿轴线单位长度上圆柱带电荷量为 ，圆筒单位长带电荷量为 ，忽略边缘效应，求：（1）介质中的电位移和电场强度；（2）介质表面的极化电荷面密度；（3）两极之间的电势差 U，从而求电容器电容分析 已
35、知电荷分布，由介质中的高斯定理可知介质中的 D 和 E，由场强叠加原理可求出极化电荷的面密度.解 （1）由于电场具有轴对称性，以半径为 r 作高为 L 的同轴高斯面，介质中的高斯定理得 Lr2D（1）rrDE2（2）设介质内外表面单位长上的极化电荷分别为 和 ，在介质内，其内表面极化电荷产生的附加电场的场强为R2 rR1r L图 9-25rE02根据场强叠加原理，在介质内电场是导体圆柱表面的自由电荷产生的电场和介质内表面极化电荷产生的附加电场的叠加，即（2）r0002由（1）和（2）式解得 )1(r介质内外表面单位长的面积分别为 ， ，则极化电荷面密度分别为2R1)1(2r1R )1(2rR（
36、3）电容器两极板电势差为 U21dRrE21 12r0r0lnR电容为 12r12r0llnRLLQC9-26 在半径为 R 的金属球外有一层外半径为 的均匀介质层，设电介质的相对电容率为 ，金属球带电量为 Q，求：（1 ）介质层内外的电场强度；r（2）介质层内外的电势；（3）金属球的电势分析 本题为球对称场，已知电荷分布由介质中的高斯定理可求出 D、E 分布以无穷远电势为零由场强与电势的积分关系或电势叠加原理可求电势分布解 （1）如图 9-26，作半径为 的球面为高斯面，由有介质的高斯定理得rQDr242在介质内， Rr2r0r014E在介质外， 22QD R R r r 图 9-26（2）
37、介质内任一点的电势为（1）RrRrEVd211 RrQ)1(4介质外任一点电势为 rr022（3）金属球的电势可由（1）式中令 得到，即RQV114r009-27 球形电容器由半径为 的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳1内半径为 ，其间有两层均匀电介质，分界面半径为 ，相对电容率分别为3R 2R和 ，如图 9-27 所示，求：（1）当内球所带电荷量为 时，电场强度的1rr2 Q分布；（2）各介质表面上的束缚电荷面密度；（3）电容器电容分析 本题电场为球对称的，已知电荷分布，可由介质中的高斯定理先求D，再求 E 的分布束缚电荷分布在内外两层介质的四个表面上，因为各表面的曲率半径不同，束缚电荷
38、面密度也就不尽相同由于电介质将电容器沿径向分成了两部分，也可以视为由两个有电介质的球形电容器串联的组合，直接用串联电容器的计算公式求电容解 （1）由高斯定理可知，电位移的分布与介质无关，为 24rQD第一层介质中场强为 21r0r1014E（1）第二层介质中场强为 rQD20r202（2）（2）设内外两层介质的四个表面上束缚电荷分别为 、 、 和 ，1Q2根据场强叠加原理，在第一层介质中的电场是导体球表面的自由电荷产生的电场和第一层介质内表面极化电荷 产生的附加电场的叠加，即1Q（3）2r1201 4rE R 3 R2 r1 R1 图 9-27由（1）和（3）式得 Q)1(r1同理可得 )(r
39、22各介质表面上的极化电荷面密度分别为21r14)(RQ 2r1124)(RQ2r21)( 23r2)(（3）两极板电势差为 )1()1(4d32r2r12132 RRQrErURR 电容器的电容为 )()( r1r2331rr2rC9-28 两个电容器 ，在串联和并联两种情况下充电到F0.9,.611500V 时，求每个电容器上分配的电荷、电压和总能量 .解 （1）串联时等效电容为 ，每个电容器上电荷量相等，为21CC104.50.90.6536621 CUQV91 V2CQUJ05.412W（2）并联时电容器上电压相等，同为 ，电荷量分别为，C10931UQ1.332QJ875612U可见
40、并联时贮能多9-29 把 的电容器充电到 然后拆去电源，与另一个F0.1V30的未充电的电容器并联，求：（1）电容器组合的电势差；（2）每F0.2C个电容器的电荷；（3）并联后能量的改变，并作出解释分析 两电容器并联的过程即 向 放电，直到电势差相等的过程，在此1C2过程中保持总电量不变解 （1）并联前 带电荷 ，设并联后电压为 ， 带电荷1Uq1U1C， 带电荷 并联前后总电量相等，即有UCq122C)(211得 V021U（2） 0.31Cq C10.232Uq（3）并联前的能量为 J 45.21W并联后电容器组合的能量为 1.0)(212UCJ329-30 平板电容器的极板面积 S=30
41、0cm2，两极板相距 ，在两极板m31d间有一个与地绝缘平行金属板，其面积与极板的相同，厚度为 ，当电2容器被充电到 U=600V 后，拆去电源，然后抽出金属板，问：（1）电容器间电场强度是否变化；（2）抽出此板需作多少功？分析 抽出金属板的过程中，电容器上电量保持不变，电场强度也保持不变过程中外力要作功，机械能转化为部分电场能量，将使电场贮能增加解 （1）电场强度不变， V/m103521dUE（2）由于极板间电场是均匀的，能量密度是常数，以及金属板内 E=0，则金属板抽出前电场能量为 1212)(dVdSwW抽出金属板后电场能量为 212VEJ0.152Sd能量增量为外力作功转化而成，故外
42、力抽金属板时作功为 J102.59-31 一平板电容器有两层介质， ，厚度为 ，,421rrm.d，极板面积 ，两极板间电压为 200V （1）求每层介质中m0.32d2cm40S的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3）计算电容器的电容分析 用高斯定理已证明平行板电容器的两个平行介质层中电位移相等，欲求能量体密度，还应该求出两介质层中的场强各介质层中电场为均匀电场，介质层体积与能量体密度的乘积就是其电场的能量解：（1）在图 9-31 中，两介质层中 D 相等，故有 2r1rE两极板间电势差为 dU由以上二式得 2r1r21dE2r1r2dU两介质层中的能量密度分别为 211J/m0.2Dw
43、E（2）两介质层的体积分别为SdV1SdV2电场总能量为 J105.3)( 72121 SwW（3）由电容器的总能量可写为 ，极板电荷面密度 ，则CQD1054.39DSF7.F.2)( 129WC9-32 平板电容器极板面积为 ，两极间距离为 .求：（1）两板分别充电Sd到 和 时，电容器的能量是多少？（2）充电后，拆除电源，然后再将此q电容器浸入相对电容率为 的绝缘漆中，其电容、电场强度、电势差和能量如r何变化？（3）在电容器始终和电源相连的情况下将电容器浸入绝缘漆中，其电容、电荷、电场强度和能量又将如何变化？分析 无论用怎样的方式向电容器注入均匀介质，电容器的电容都增r1 d1220Vr
44、2 d2图 9-31大充电后拆除电源再将电容器浸入介质中，意味着保持电量不变，因电容增大导致电压降低；电容器始终与电源连接注入介质，意味着保持电压不变，因电容增大导致电量增加，电荷面密度也增大解 （1）充电到极板带电量为 和 时，电场强度、电压和电容分别为qSE0 SdEU0dSC0电容器的能量为 qCW022001（2）充电注入煤油后，拆除电源，电量不变，电容增大为 dSrr0电势差为 r0qCU电场强度为 r0SdE电容器贮能变为 r0r02WqC即能量为未注入煤油时能量的 倍这是由于极化过程中，电场要消耗一部分r1能量对电偶极子极化作功（3）将电容器始终与电源连接注入介质，即电压不变，电容器电容增大为 dSCr0r极板上电量为 ，电荷面密度为 ，电场强度为qCUqr0 r0r0r EE
