1、1.给出五种常用小波基的时域和频域波形图。与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题(t)就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有 Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、 Morlet 小波、Meyer 小波等 5种。（1）Haar 小波Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简答
2、的一个小波函数，它是支撑域在 范围内的单个矩形波。 Haar0,1t函数的定义如下： 其 他 120-(t)tHaar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点，如：计算简单； 不但与 正交，而且与自己的整数位移正交。(t)t)2(jz因此，在 的多分辨率系统中 Haar 小波构成一组最简单的正交归一的小ja波族。的傅里叶变换是：()t2/24=sin()jea（ ） jHaar 小波的时域和频域波形图0 0.5 1 1.5-1.5-1-0.500.511.5thaar 为为0 5 10 15x 10501234567x 105fhaar 为为i=20;wav
3、 = haar;phi,g1,xval = wavefun(wav,i); subplot(1,2,1);plot(xval,g1,-r,LineWidth,1.5); xlabel(t)title(haar 时域); g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(haar 频域)（2）Daubechies(dbN)小波Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者 Inrid Daubechies 构造的小波函数，简写为 dbN，N 是小波的阶数。小波 和尺度函数 中的支撑区(t)(t)为 ， 的消失矩为 N。除
4、 外，dbN 不具有对称性（即非线性相12(t)1位） 。dbN 没有明确的表达式（除 外） ，但转换函数 h 的平方模是明确的。Daubechies 小波系是由法国学者 Daubechies 提出的一系列二进制小波的总称，在 Matlab 中记为 dbN，N 为小波的序号，N 值取 2，3，10。该小波没有明确的解析表达式，小波函数 与尺度函数 的有效支撑长度为 2N-1.当 N取 1 时便成为 Haar 小波。令 ，其中 为二项式的系数，则有kNkypC10-()kN1-)2)p(sin(co)220 m式中， 。ehjkNk-1200(Daubechies 小波具有以下特点：（1）在时域
5、是有限支撑的，即 长度有限。(t)（2）在频域 在 =0 处有 N 阶零点。)(（3） 和它的整数位移正交归一，即 。tk)dt-(t（4）小波函数 可以由所谓“尺度函数” 求出来。尺度函数 为(t)低通函数，长度有限，支撑域在 t=0(2N-1)范围内。Daubechies 小波的时域和频域波形图0 2 4 6 8-1-0.500.511.5tdb4 为为0 2000 4000 6000 800001002003004005006007008009001000fdb4 为为i=10;wname = db4;phi,g1,xval = wavefun(wname,i); subplot(1,2
6、,1);plot(xval,g1,-r,LineWidth,1.5); xlabel(t)title(db4 时域); g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(1,2,2);plot(g3,-r,LineWidth,1.5);xlabel(f)title(db4 频域)注意 Daubechies 小波常用来分解和重构信号，作为滤波器使用。波形如下：0 2 4 6 8-0.200.20.40.60.8 为为为为为为为0 2 4 6 8-1-0.500.51 为为为为为为为0 2 4 6 8-0.500.51 为为为为为为为0 2 4 6 8-1-0.500.51 为为为为为为
7、为wname = db4; % 计算该小波的 4 个滤波器Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters(wname);subplot(2,2,1); stem(Lo_D);title(分解低通滤波器);subplot(2,2,2); stem(Hi_D);title(分解高通滤波器);subplot(2,2,3); stem(Lo_R);title(重构低通滤波器);subplot(2,2,4); stem(Hi_R);title(重构高通滤波器);（3）Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat 函数为 Gauss 函数的二阶导数： et2-)(1te2-)
8、(因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。Mexican Hat(mexh)小波的时域和频域波形图-10 -5 0 5 10-0.500.51tMexihat 为 为0 50 100051015fmexihat 为 为d=-6;h=6;n=100; g1,x=mexihat(d,h,n); subplot(2,2,1);plot(x,g1,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)title(Mexihat 时域);g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(mexihat 频域);特点：
9、墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足。由于它不存在尺度函数，所以小波函数不具有正交性。0(t)dR（4）Morlet 小波它是高斯包络下的单频率副正弦函数：(5x)cos(t)2-etCC 是重构时的归一化常数。Morlet 小波没有尺度函数 ，而且是非正交分t解。Morlet 小波的时域波形图和频域波形图-10 -5 0 5 10-1-0.500.51tMorlet 为 为0 50 100051015fMorlet 为 为d=-6;h=6;n=100; g1,x=morlet(d,h,n); subplot(2,2,1);plot(x,g1,-r,LineWidth,1.5
10、);xlabel(t)title(Morlet 时域 );g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,2,2);plot(g3);xlabel(f)title(Morlet 频域 )（5）Meyer 小波Meyer 小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，其定义为：38,2041)-v(cos)(2in21-2- ejwj其中，v(a)为构造 Meyer 小波的辅助函数，具有 0,a )-784a-(35a)324 v3401v(cos2)1-21- Meyer 小波不是紧支撑的，但它收敛的速度很快：n-2)t(t)Cn无限可微。(t)Meyer 小波的时域和频域
11、波形图-6 -4 -2 0 2 4 6-1012tMeyer 为为0 20 40 60 80 100 120 140051015fmeyer 为为d = -6;h = 6;n = 128; psi,x = meyer(d,h,n,psi); subplot(2,1,1), plot(x,psi,-r,LineWidth,1.5) xlabel(t)title(Meyer 时域); PSI=fft(psi);PSII=abs(PSI);subplot(2,1,2), plot(PSII);xlabel(f)title(meyer 频域)2、在信号 x（t）=sin(2*30t)+cos（2*50
12、t）加上噪音后分别进行 FFT 和 CWT 变换。解：引入随机噪声 randn(1,N)0 50 100-202tx(t)为 为 为 x(t)为 为 为0 50 100050fx(t)为 fft为 为 为0 50 100050fx(t)为 为 为 为 fft为 为 为 morlettime (or space) bscalesa20 40 60 80 10012460 50 100-101 为 为 为 10 50 100-202 为 为 为 2N=100;fs=1000;n=0:N-1;t=n/fs;x=sin(60*pi*t)+cos(100*pi*t); %原信号subplot(3,2,1
13、);plot(x,-r,LineWidth,1.5);xlabel(t)ylabel(x(t)title(原信号 x(t)波形图)F1=fft(x);m1=abs(F1);subplot(3,2,2);plot(m1);xlabel(f)title(x(t)的 fft 变换图)x1=randn(1,N); %加入噪声x2=x+x1;F2=fft(x2);m2=abs(F2);subplot(3,2,3);plot(m2);xlabel(f)title(x(t)加噪声后 fft 变换图)scale=1 2 4 6; %设置尺度subplot(3,2,4);x3=cwt(x2,scale,morl,plot);title(morlet); %加噪声后 CWT 变换结果图subplot(3,2,5);plot(x3(1,:);title(尺度为 1);subplot(3,2,6);plot(x3(2,:);title(尺度为 2);
