1、2017 届三湘名校教育联盟 .高三第三次大联考数学（文）试题一、选择题1 已知集合 ， ，则 =（ ）3,21,0A2|3BxABA. B. C. D. ,03,10,0,【答案】A【解析】由题可知 ，则 故本题选|Bx1,AB2 已知复数 ，则 （ ）1zi21zA. B. 2 C. D. -2ii【答案】C【解析】由题知 故本题选221-iiz-=2iC3 下面结论正确的是（ ）一个数列的前三项是 1，2，3，那么这个数列的通项公式 .*naN由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合理推理.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.“所有 3 的倍数都是
2、 9 的倍数，某数 一定是 9 的倍数，则 一定是 9 的倍mm数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的.A. B. C. D. 【答案】D【解析】所给条件无法确定整个数列满足通项公式例如第四项是否为 ，4错误；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合理推理，正确；类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适, 错误；所给命题满足三段论推理，但其结论确实错误，正确故本题选 .D4 在 为 所在平面内一点，且 ，则 （ ）DABC3BCDAA. B. C. D. 21323A41253BAC【答案】A【解析】由题可知故本题选 13BBCBA点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.
3、用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.5 下列说法正确的是（ ）A. ， ，若 ，则 且 （ ）xyR0xy1xyB. ， “ ”是“ ”的必要不充分条件a1aC. 命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有x230xxR”230xD. “若 ，则 ”的逆命题为真命题2amba【答案】B【解析】A 对于 ，满足 ，但 错误；1,0xy0xy1xB 由 ，可得 ，反之由 可得 则“ ”是“ ”1aa或 a1
4、a的必要不充分条件正确；C 命题的否定应该是 ，都有 错误；xR230xD 其逆命题为若 ，则 ，当 时，错误；abmb故本题选 B6 函数 ， 的大致图象是（ ）sinyx,xA. B. C. D. 【答案】C【解析】函数为非奇非偶函数，图像不关于 轴或原点对称故本题选 Cy7 明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学命题叫 “宝塔装灯” ，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？” （“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 的等比数2列递增） ，根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）A. 盏灯 B. 盏灯 C. 盏灯 D. 盏灯31921
5、9520【答案】C【解析】设顶层的灯数为 ，公比为 ， ， ，解得1ad7n7172381aS，底层为 ，所以 盏灯，故选 C.13a667329q1958 已知 且 ，函数 满足 ， ，01a3log,0xfab2f13f则 （ ）3fA. -3 B. -2 C. 3 D. 2【答案】B【解析】由 ， 可得 ，可得 ，那0f13f12,3ba1,2ab么 故本题选 31339log2fff B点睛：本题主要考查分段函数及分类讨论,数形结合的数学思想.分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.某些较复杂函数中,利用函数周期性质,奇偶性等可以将未知区间上的自变
6、量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.9给出 30 个数：1，2，4，7，11，16，要计算这 30 个数的和如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框处和执行框处可以分别填入A 和30?i1piB 和1C 和3?ipiD 和0【答案】D【解析】试题分析：由于要计算 30 个数的和，故循环要执行 30 次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值应为 30即中应填写 i30；又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1+1=2；第 3 个数比第 2 个数大 2 即 2+2=4；第 4 个数比第 3
7、个数大 3 即 4+3=7；故中应填写 p=p+i【考点】程序框图10 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3127【答案】A【解析】由三视图可知几何体是个四棱锥，可看作棱长 的正方体的一部分，则此1a几何体的外接球就是正方全的外接球由正方体的外接球半径与正方体的棱长间的关系可得外接球半径 其表面积为 故本题选 32ra24R3SA点睛：本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图
8、或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.11 直线 与圆 交于 两点， 为坐标原点，若直:42lxy2:1Cxy,ABO线 的倾斜角分别为 ，则 （ ）,OAB,cosA. B. C. D. 187174【答案】D【解析】可设 ，将直线方程与圆方程联立消去 可得12,xy y，则 ，又 故21740x41712124cos 7xxrr本题选 12 已知双曲线 上的一点到双曲线的左、右焦点的距离2(0,)xyab之差为 4，若抛物线 上的两点 关于直线 对212,AxyByxm称，且 ，则 的值为
9、（ ）12xmA. B. C. 2 D. 335【答案】A【解析】由题可知 ，中点坐标为 221,AxBx211,xx关于直线 对称，则 中点在直线上，且直线 与直线 垂,BymABym直可得 可化为2 21121,xxx，又 ，可得212112,12，则 故本题选 21254xx123xmA点睛：本题包含双曲线，抛物线，直线与抛物线的位置关系从根本上讲，更多的考查两点关于直线的对称问题点关于直线的对称点问题，要注意充分利用中点和垂直的条件直线关于直线的对称问题还有多种解法，如：用对称轴上一点(非对称轴与的交点)到 的距离相等来解或取直线 上任取一点，求它关于 直线的对称点，m, l然后利用两
10、点式求方程二、填空题13若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 2(0)ypx21xyp【答案】【解析】试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是 ,故,故应填 .2【考点】抛物线和双曲线的几何性质及运用14 从某校高中男生中随机抽取 100 名学生，将他们的体重（单位： kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在 ， ， 60,770,8三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 6 人组成一个活动队，再从这80,96 人中选 2 人当正副队长，则这 2 人的身高不在同一组内的频率为_ 【答案】 15【解析】由频率分布直方图知 ， ， 三组人数比例为 ，60,7,80,93:21分层抽样
11、选取 人组成一个活动队，则各组人数分别为 再从这 人中任取 人，63216共有 ，其中两人身高在同一组的有 ，其概率为 ，两人62C1523C4415身高不在同一组的概率为 故本题填 4151515已知 ， 满足约束条件 ，若 的最小值为 1，则0a,xy3xya2zxy【答案】 12【解析】试题解析：先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，将最大值转化为 y 轴上的截距，当直线 z=2x+y 经过点 B 时，z 最小，由 得： ，代入直线 y=a（x-3）得，a=【考点】本题考查线性规划点评：解决本题的关键是借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划
12、中的最优解，通常是利用平移直线法确定16 设数列 的前 向和为 ，且 为等差数列，nanS12,2nnaSa则 的通项公式 _n【答案】 12【解析】令 ，由已知条件 可知 ，又 为2nnbSa12a124,8bnb等差数列，则 ，又 ，得 ，当 时，4nb2nnSa241nSa2，可得 ，即1 120nnnSa 1nn，得 是以 为公比， 为首项的等比数列，可得 ，则12nan2 2na， 也满足故本题应填1n 1n点睛：利用数列的递推关系求通项公式主要有三类：利用累积，累加法求通项和利用的关系求通项当 与 在一个等式中，一般可利用 与 的关系，消去,naSnaSnaS或 ，再进行求解三、解
13、答题17 已知 的内角 所对的边分别为 ，若 .ABC, ,abc1,2cosCb（1）求 ；（2）若 ，求 .bsin【答案】 （1） ；（2） .3A398【解析】试题分析：（1） ，由 可得 的余弦1,2cosaCb， 结 合 余 弦 定 理 A值，由特殊角的三角函数值可得角 ；（2）由 ，结合余弦定理，可得关于A12的方程，解得 ，再由正弦定理可得 ccsin试题解析：（1）因为 ， ，1acob由余弦定理得 ，即 .22b21c所以 .221coscA由于 ，所以 .03（2）由 及 ，得 ，1b21cb21c即 ，430c解得 或 （舍去）.1134c由正弦定理得 ，sinicaC
14、A得 .1339si6048点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.18 如图：在四棱锥 中，底面 是菱形， ， PABCDAB60ABC平面 ，点 为 的中点，且 .PA,MN, 2P（1）证明： 面 ；（2）求三棱锥 的体积；（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ；若存在，求出E/NAE的长；若不存在，说明理由.E【答案】
15、证明：（I ）因为 ABCD 为菱形，所以 AB=BC又ABC=60，所以 AB=BC=AC， 1 分又 M 为 BC 中点，所以 BCAM 2 分而 PA平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PABC 4 分又 PAAM=A，所以 BC平面 AMN 5 分（II）因为 6 分11322AMCS又 PA底面 ABCD，PA=2，所以 AN=1所以，三棱锥 NAMC 的体积 8 分3AMCVSN9 分1326（III）存在 10 分取 PD 中点 E，连结 NE，EC，AE，因为 N，E 分别为 PA，PD 中点，所以 11 分1/2NEAD又在菱形 ABCD 中， 1/2CM所以 NE
16、，即 MCEN 是平行四边形 12 分/所以，NM/EC ，又 EC 平面 ACE，NM 平面 ACE所以 MN/平面 ACE， 13 分即在 PD 上存在一点 E，使得 NM/平面 ACE，此时 12.PD【解析】略19某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士12369”的绿色环保活动小组对 2014 年 1 月2014 年 12 月（一年）内空气质量指数 进行监测，下API表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果：指数API0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染重
17、度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失 （单位：元）与空气质量指数P（记为 ）的关系为： ，在这一年内随机抽取一天，APIt0,14,305tPtt估计该天经济损失 元的概率；20,6（2）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成列联表，并判断是否有 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？95%非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季节合计 100下面临界值表供参考 2()PKk015 010 005 0025 0010 0005 00012072 2706 3841 5024 6635 7879
18、 10828参考公式： ，其中 22()(nadbcnabcd【答案】 （1） ；（2）有 95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关390【解析】试题分析：（1）由题意知只可能是第二段函数在此范围类，从而得到 的范t围，进而通过频数统计表得到所对应的天数，利用古典概型概率公式得其概率；（2）列联表的完成只要找到各个数据所对应的含义不难完成，然后利用独立性检验相关系数看相关性大小试题解析：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 元”为事206P（ ，件 ，A由 ，得 ，频数为 39，20460t 1520t 39()10PA（2）根据以上数据得到如表：非重度污染 重度污染 合计供暖
19、季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100的观测值 ，2K210(63)4.573.81850k所以有 95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关【考点】1、分段函数；2、频率分布表；3、古典概型；4、独立性检验【步骤点睛】判断两个分类变量关系的可靠性的一般步骤为：根据数据列出相关表格；根据公式计算出 的值；比较观测值 与 分布表中相应的检测水平，根2Kk2K据小概率原理肯定或者否定假设，判断 ， 是否相关XY20 已知动圆 与圆 相切，且与圆 相P21:49Fxy22:1Cxy内切，记圆心 的轨迹为曲线 .C（1）求曲线 的方程；C（2）设 为曲线 上的一个不在
20、 轴上的动点， 为坐标原点，过点 作QxO2F的平行线交曲线 于 、 两个不同的点，求 面积的最大值.OMNQMN【答案】 （1） ；（2） 的面积的最大值为 .2195xyQ103【解析】试题分析：（1）由所给两圆的位置关系及图像，知动圆 与圆 内切，P1F再由两圆内切时半径与圆心距的关系可得 ，则127, PFR，满足椭圆的定义，可知 点轨迹方程为椭圆，再由椭圆定义可求得126PF各椭圆方程各系数值；（2）可设直线 的方程 ，及 ， MNxmy1,Mxy， 将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系与弦长公2,Nxy3,Qxy式可求得 长度，再求出点 到直线 利用函数性质可求得面积MO距 离 ， 可 得最大值试题解析：（1）设圆 的半径为 ，圆心 的坐标为 ，PRP,xy由于动圆 与圆 只能内切1F所以 127,.PR
