1、数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 1 页数 列 的 通 项 公 式数列是初等数学与高等数学的衔接点之一，一直是近几年高考中的热点问题之一，以较大的分值出现。递推公式是给出数列的一种方法，高考中以递推公式形式给出数列。它侧重考查学生的逻辑推理能力、创新能力和分析化归能力。以下是本人在教学实践中积累的由递推公式求数列通项的常用方法。一、累加法形如 ，若 易求和，则可用累加法。)(1nfan)(f例 1：已知 ， ，求 na。2na21)(*N解： nna 121nna21累加上式得： nna2112 nn321)(1故 （注：从式开始累加亦可）na23二、累积法形如 ，若 易求，则可使用
2、累积法。)(1fan)1()(fnf例 2：已知 ， ，求通项 na。121)(2an)(*N数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 2 页解：由已知 21)(2na即 )(n 21)(nan则 222212321 31)()1()( nnnaann约分得：21)()(an 12)(na三、构造法构造法是将非特殊数列通过递推式的结构特点，转化为特殊数列，常见有以下类型：类型 1：形如 ，可转化为 是等比数列。qpan1 1pqan例 3：已知 ， ，求通项 n。223)(*N解：令 )(1cann则 c )(311nna故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列则 3na 1*N类型 2：形
3、如 ，可通过同除 ，将它转化为类型 1。nnqpa)(*1nq例 4：已知 ， ，求通项 a。11123)(N解： ，a)(nn两边同乘以 ，则12数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 3 页12321nnaa)3(故 是以 1 为首项，公比为 的等比数列n2 )32(a故 nn1*N类型 3：形如 ， ，可将 构造为nqapa12 )2(*、na1等比数列。令： ，再用待定系数法)(n求解出 。qp、此时 是公比为 的等比数列na1例 5：已知 ， ， ，求 。12nnaa21解：令 )(n则 2解得 或 （任取一组均可）112取 ， 则：)(21nnaa 是首项为 2，公比为 2 的
4、等比数列1则 nna1此时转化为了类型 2，将上式两边同除以 得：12n121nn数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 4 页)312(312nnaa 是首项为 ，公比为- 等比数列62 =312na1)2(n故 323)(6n类型 4：形如 ，也可使用构造法dqpan1例 6：已知 ， ， ，求通知 。)1(2*Nnna解： 1an a4)2()(21nn 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。a故： n an2四、迭代法迭代法是解决递推公式求通项的通性通法，但要求善于挖掘运算规律，善于分析关系式的结构特点，累加法、累积法等许多方法都可由迭代法代替解决问题。例 7（08 全国卷 2）设
5、 前 n 项和 ，已知 ， ， ，求 通项aSa1nnS31nSb3b公式。解：由 n31 S故 nn21数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 5 页nnnSS323)2( 1112nnn3 nnnS 323322 11 21)(3na3)(n ，故naS112)3(nab五、转化法类型 1：对数转换法转化形如： ，当各项为正时，可两边取常用对数，将 构造为等比数列。qna nalg例 8：已知 ， ， ，求通项 。0121na*N解： 2n各项为正两边取以 10 为底对数得 nalg2l1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列则 2lgna故10n类型 2：形如 ，可转化为 的等差数列。qap1nana1数学必修五开 拓 教 育数列的通项公式 第 6 页例 9：已知 ， ， ，求通项 。21a21na*N、nna解：已知 ，n两边同除以 得121na即 1 是以 为首项， 为公差的等差数列。na21故 ，na2*N数列的递推公式形式多样，方法多样，无法一一列举，解题时易先观察结构特点，再结合已有方法，选择适当方法解决。
