1、平面几何的著名定理（高中学理必用的.） 2012-5-13 06:22 阅读(30)转载自信仰 赞(2) 转载(61) 分享(9) 评论(1) 复制地址 举报 编辑上一篇 |下一篇：分清原因祛痘 这.一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方 二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线 l1 上依次有点 A,B,C，直线 l2 上依次有点 D,E,F，设AE,BD 交于 P，AF,DC 交于 Q，BF,EC 交于 R，则 P,Q,R 共线。三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角
2、三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 RtABC 中,BAC=90,AD 是斜边 BC 上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC ,(3)(AC)2;=CDBC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么(AF
3、/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设 X、Y、Z 分别在ABC 的 BC、CA、AB 所在直线上，则 X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。证明一过点 A 作 AGBC 交 DF 的延长线于 G， 则 AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二过点 C 作 CPDF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆
4、定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 F、D、E 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三过 ABC 三点向三边引垂线 AABBCC， 所以 AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FC)(BD/DA)(CE/EB)=1 证明四连接 BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用
5、 1该定理可使其容易理解和记忆： 在ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是 L、M、N 三点共线的充要条件是 =1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若 E，F，D 三点共线，则 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O，且 EDF 共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=
6、1。(O 不与点 A、B、C 重合) 五、塞瓦定理塞瓦定理 ：在ABC 内任取一点 O， 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ADC 被直线 BOE 所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD 被直线 COF 所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=
7、SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*cotA）/(CD*cotB）*(AE*cotB)/(AE*cotC)*(BF*cotC)/(BF*cotA)=1，所以三条高 CD、AE、BF 交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）:如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中点 所以 BD=D
8、C AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为重心 用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是 =BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN 三线交于一点的充要条件是 =1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是 =-1）六、托勒密定理定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线
9、所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意凸四边形 ABCD 中(如右图)，作ABE 使BAE=CAD ABE= ACD,连接 DE. 则ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即 BEAC=ABCD (1) 由ABEACD 得 AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, 所以ABCAED. BC/ED=AC/AD,即 EDAC=BCA
10、D (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为 BE+EDBD （仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 复数证明 用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数，则 AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共
11、圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设 ABCD 是圆内接四边形。 在弦 BC 上，圆周角BAC = BDC，而在 AB 上，ADB = ACB。 在 AC 上取一点 K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK 与DBC 相似，同理也有ABD KBC。 因此 AK/AB = CD/BD，且 CK/BC = DA/BD； 因此 AKBD = ABCD，且 CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但 AK+CK = AC
12、，因此 ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形 ABCD，求证：ACBD=ABCD+ADBC 证明：如图 1，过 C 作 CP 交 BD 于 P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。+得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC即ACBD=ABCD+ADBC 四、广义托勒密定理：设四边形 AB
13、CD 四边长分别为 a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C) 推论 1.任意凸四边形 ABCD，必有 ACBDABCD+ADBC，当且仅当 ABCD 四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 推广托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式 ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-
14、c)(a-d)|=ABCD+BCAD 运用要点1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上 AD 上，顺次标有 B、C 两点，则 ADBC+ABCD=ACBD七、西姆松定理西姆松定理图示西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明一：ABC 外接圆上有点 P，且 PEAC 于 E，PFBC 于 F，PDAB
15、 于 D，分别连FE、FD、BP、CP. 易证 P、B、D、F 及 P、F、C、E 和 A、D、P、E 分别共圆， 在 PBDF 圆内，DBP+DFP=180 度，在 ABPC 圆内ABP+ACP =180 度，ABP=DBP 于是DFP=ACP ，在 PFCE 圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180 即 D、F、E 共线. 反之，当 D、F、E 共线时，由可见 A、 证明一（图）B、P、C 共圆. 证明二： 如图，若 L、M、N 三点共线，连结 BP，CP，则因 PL 垂直于 BC，PM 垂直于 AC，PN 垂直于 AB，有 B、L、P、N 和 P、M、C、
16、L 分别四点共圆，有 NBP = NLP = MLP= MCP. 故 A、B、P、C 四点共圆。 若 A、P、B、C 四点共圆，则 NBP= MCP。因 PL 垂直于 BC，PM 垂直于 AC，PN 垂直于 AB， 有 B、L、P、N 和 P、M、C、L 四点共圆，有 NBP = NLP = MCP = MLP. 故 L、M、N 三点共线。八、九点圆九点圆三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体 12 点共球（各棱的中点，各
17、棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12 点的共球就退化为 9 点共圆。证明如右图所示，ABC 的 BC 边垂足为 D，BC 边中点为 L。证法为以垂心 H 为位似中心，1/2 为位似比作位似变换。 连结 HL 并延长至 L，使 LL=HL；做 H 关于 BC 的对称点 D。 显然，BHC=FHE=180-A，所以BDC=BHC=180-A，从而 A，B，D，C 四点共圆。 又因为 BC 和 HL互相平分于 L，所以四边形 BLCH 为平行四边形。故BLC=BHC=180-A，从而 A，B，L，C 四点共圆。 综上，A，B，C，D，L五点共圆。显然，对于另外两边 AB
18、，AC 边上的 F，N，E，M 也有同样的结论成立，故 A，B，C，D，L，F，N，E，M九点共圆。此圆即ABC 的外接圆O。 接下来做位似变换，做法是所有的点（O 上的九个点和点 O 本身）都以 H 为位似中心进行位似比为 1/2 的位似变换。那么，L变到了 L（因为 HL=2HL），D变到了 D（因为D是 H 关于 BC 的对称点），B 变到了 Q，C 变到了 R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O 点变成了 OH 中点 V。 位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在O 上的九个点变成了在V 上的九个点，且V 的半径是O 的一半。 这就证明了三角形三边的中点，三高
19、的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。 第二种简单的证法作图如下：ABC 的 BC 边垂足为 D，BC 边中点为 L， AC 边垂足为 E，AC 边中点为 M, 九点圆AB 边垂足为 F，AB 边中点为 N, 垂心为 H，AH,BH,CH 中点分别为 P,Q,R （思路：以 PL 为直径，其它任意某点，去证 P 某 L 为 90） 证明：（由中位线）PM 平行 CH，LM 平行 AB，又 CH 垂直 ABPM 垂直 LM，又 PD 垂直LD，PMDL 共圆。 （由中位线）PR 平行 AC，LR 平行 BH，BH 垂直 AC，所以 PR 垂直 LRPMRDL 五点共圆。PE 为直角三角形 AHE 斜边中线，角 PEA 等于 PAE，同理角 LEC 等于 LCE 所以角 PEL 等于 180 减去 PEA,LEC 等于 90，PEMRDL 六点点共圆，PL 为直径，同理 PFNQL 五点共圆,PL 为直径， 所以 PEMRDLQNF 九点共圆，PL 为直径，PL 中点(设为 V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点 O 为外心，OL 平行等于 AH 一半（这个小定理我就不证明了）所以 OL 平行等于 PH OLPH 为平行四边形，V 是 PL 中点，就是 OH 中点
