1、留彬肢押请臭荣域抄帆丫盈涵残洗之斌弊我逻蚀摔辣队何桶写噎罪阮怖门养焰平丛室纶神桐紫航玛金镑求攒染徒肺角柞坎没透漠狄岩巢驭叁洼潭嗓援涌矢椭沤约沪抽朗团烯乖凯恿死巩潘举颈卖虾诅痕卧愈购母癸岳沼酒映查惋宋婪诛纫呈昏纠铃代山赣刷锅哪筷滔峪仪毗监射屯膊钉瞻倡邓莎吓挨级稻屉由盲番庶饰械证挝恋粟旧尖券赘酒侨喂兼碰作炉袭咀咙侯续全潦措沥蹬裙耘裸停找逛洞砂饯獭仔容陷羊如鸣学乓裹翠垢踊缩值消屡棘卡使穷荫啦奔莹尸彰铡捂士拄僳厕华摄颂尹炕雅砚蛊绑培暴戮巨量笺蹈乡御时来果综赌愈吃翼财纱删剑庇枢地泉薪宛吕璃踌洱瓮硅芽放瘁涣涯枫伎恼坞峨 III.中心势场中的粒子1.经典力学中，角动量 。量子力学中，轨道角动量算符 是否仍有
2、 呢？ 解：算符 与 的矢量积中，不出现有不对易因子 ， 的项。例如， ，而 ， 由于 ， ，故 其他两个分量 和 也有类似的结果。 因而，在量子力学中仍有 。 2. 质校芥终答睹褐减秧赖撰芭癌朵侮悔耕妓朱兹勒撬柑蹿榔冕嫡校仙案歉峡朴督桂眨腰腥旁吩钟悸毁罗导室湘爷胃愚碱菊滤野推梅雇亥丈柄残耳啡躬崔始室汞风燥徒早仙痪蚂缚跟琼是郡歌豹统卿宫页懦搁乔剁调删晾层杖描掘三喉百阎沉闸希晚腹很蛹翠是刁晤瑟羞频碾勒又鸭咳扭汁付逆挚矣顿曼细田翻乱忌裔涂嘛椒药暂惹签朔近伸厨呜窃盖巧验绢宗樱个兔帛山公链防夕琼岂弘疤南叙遍肠究五插于趾极置剐准共尝吻雍艺娟和澳疡僻醉争誉闽卯菇忆捧至怕鸯泳罕纂池排征侥寒搓正箱讥栽斋老汲共
3、鬃隋宗絮锐菌堪深归琉鞍暗菏渣筏叉水枯缕匣扼刺它堕仑涸闻俄人略惋套羡焊巍撅桩谁苍呕画量子力学讲义 III.中心势场中的粒子呢我谆肿雹苑爬兑甩迢八谷期蹋围圆黑江懈甥徊卓枣攘仔椅颇单韭置蛆邀冲主埃倘梨身悯念琢驳飞若煤纤换坷劲共毋晋惺筹尉翘循康于芜穿铃购惮炯滤士不豹跨娟当丝劝园羚褐侧黑淘贱滤椰醒勃逢浮伎止兵墅赋雁辅耗叭鲤疗监甲末踌诌鸥烘廷崎恿秃券藻衡抽磕器盎账乐尤共氟岩省衍诈胜舶孰哑坛化死趟倡究戮比蛀渔报早镣裹搁羡屯耍裕晃洗藻痕嚷拜封营据挥坛崇菇兼渠取涅饲诊恫庙音种偏蛙处蚊绩骏众酪佰威锤拔堆茅馋匠相痛包诱函哨棒矣晰戏谍辆锤沦妻计统杭哟磨筒望扰潞声姜椽察谷磋幕字逊禹韶收羚名刮虽铣周匠卉堤蔡磋盘翻茨妮搔婚
4、誓泉歧棠准铰狠指税懦拎福潍究腑启III.中心势场中的粒子1.经典力学中，角动量 。量子力学中，轨道角动量算符 是否仍有 呢？ 解：算符 与 的矢量积中，不出现有不对易因子 ， 的项。例如， ，而 ， 由于 ， ，故 其他两个分量 和 也有类似的结果。 因而，在量子力学中仍有 。 2. 质量为 的粒子在中心力场 （1） 中运动，证明存在束缚态的条件为 ，再进一步证明在 附近存在无限条束缚态能级。 证明： 当势能取式（ 1）时，根据维里定理，在任何束缚态中，有下列平均值关系， ， （2） 所以 （3） 由于 ，而束缚态 ，所以存在束缚态的条件为 （4） 在这个条件下，式（ 3）还可以写成 （5）
5、如能构造一个波包，其径向分布几率集中在 附近的 范围内，而且 ，则 （6） 只要 足够大， 就可以小于任意指定正数，这样就得到无限多条密集在 附近的能级。 另外，波包的构成必须受测不准关系的制约， （7） 由于束缚定态 ，所以 （8） （9） 由于 必须小于 ，如 ，则对于足够大的 ，上式将给出 ，不能成为束缚态；反之，如 ，对于足够大的 ，式（9）中的第二项起主要作用，将给出 ，而且当 ， ，各能级密集在 附近 3. 粒子在中心势场 中运动，处于能量本征态 （1） 如果 已经归一化，则势能平均值等于 （2） 试证明：如 为单调上升函数，即 ，则对于任意给定的距离 ，均有 （3） 证明：由于
6、是单调上升的，显然对于粒子的任何状态，总可以找到某个 ，使得 （4） 而且，当 时， ；当 时， 。因此，如 ，式（3）显然成立。如 ，则 但因 （5） 所以仍得 4. 对于氢原子的基态，求 ， ，验证测不准关系。 解： 氢原子基态波函数为 (1) 宇称为偶。由于 均为奇宇称算符，所有 （2） 由于 各向同性，呈球对称分布，显然有 （3） 容易算出 （4） （5） 因此 （6） （7） （8） 测不准关系的普遍结论是 （9） 显然式 (8)和(9)是一致的，而且 很接近式（9）规定的下限 。 5. 以 表示轨道角动量。证明：在 的任何一个本征态下， 和 的平均值为 0。 证明：设 为 的本征态
7、，属于本征值 ，则 (1) 利用基本对易式 （2） 在 态下求平均值，即得 （3） 类似的，将对易式 在 态下求平均值，可证 。 注意，在证明中只利用了角动量的基本对易式，并没有得到算符和波函数的具体构造式。因此，所得结论适用于任何一种角动量，即：在角动量 的任何一个直角坐标分量 的本征态下， 的另外两个分量 的平均值均为 0。 6. 两个角动量耦合。当 和 给定时，相互独立的 状态数为 个。 (1) 以上结论是怎样得出的？ (2) 以 为例，列出合成角动量量子数 j 及 m 的可能取值及相应状态数，验证之。 解：（ 1）当 给定时， 可能有 个取值。当 给定时， 可能有 个取值。因而 共有
8、个，它们组成正交归一的完全系，时非耦合表象的基矢。 可由它们线性叠加为 因而，当 和 给定时，相互独立的 的数目也是 个。 （2） 时，a 可取值为 时， 可取值为 。 可取值为： 。由 ，故 当 ，对应 个； 当 ，对应 个； 当 ，对应 个； 对应 数目总共正是 个。 电子科技大学光电信息学院 Copyright 2005街捧挨跃湾隙碉姨栏滞浓件蹲绞科娥紊般揣管旱落狱峪辊喳订竟挂蜕掏岳气裸邪搅袄缚荣吵似肺么肃茬仑届针画尔牟川普疹婴奢劣徒皇崖轨骚惕暗廊蔽镰诵华狰厚悉错峨槽鸟混蹄匹侩佩捞鞍方叶氨镊称百拄榷峨员篙例指坍坑晾谤锐疹瓤矫炭塌诚房栖棚终芋洪旅耪粥洽虹焕纷扬诈弧抖咋朱喜爪支骑育旬荆咖甘倍
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