1、1,第7讲 函数的值域与最值,【2014年高考会这样考】 1、理解函数的单调性、值域和最值的概念； 2、掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.,2,1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是 的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的 . (2)函数的最值. 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：()对于任意的xI,都有f(x)M;()存在x0I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的 .类似地可定义f(x)的最小值.,函数值,定义域,最大值,考点梳理,3,2.基本初等函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k0)的值域为 . (2)二次函数y
2、=ax2+bx+c(a0)的值域： 当a0时，值域为 ; 当a0且a)的值域为 .,R, ,+),-, ),y|y0,(0,+),4,(5)对数函数y=logax(a0且a)的值域为 . (6)正、余弦函数y=sinx(xR)、y=cosx(xR)的值域为 ;正切函数y=tanx(xk+ ,kZ)的值域为 .,R,-1,1,R,5,3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)二次函数用配方法. (2)单调性法. (3)导数法. (4)复合函数的值域由中间变量的范围确定. 此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等. 4.若f(x)为闭区间a,b上的连续函数，则f(x)在a,b上一定有最大、最小值
3、.,6,1.函数y=3x(-1x3，且xZ)的值域是 .,-3,0,3,6,9,由-1x3，且xZx=-1,0,1,2,3, 代入y=3x，得所求值域为-3,0,3,6,9.,2.函数f(x)= (xR)的值域是( ),A.(0,1) B.（0，1 C.0，1) D.0,1,B,函数f(x)= (xR),所以1+x2,所以原函数的值域是(0,1.,考点自测,7,3.函数f(x)=x2-2x(x0,4)的最大值是 ，最小值是 .,8,-1,f(x)=(x-1)2-1. 当x=1时,f(x)min=-1; 当x=4时，f(x)max=42-24=8.,4.函数f(x)= (x-12)的值域是 .,
4、(-,-2,当x=-1时， 取最大值-2.,8,5.已知x0，y0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为 .,因为x+2y=1，x0，y0， 所以02y10i ， 2x+3y2=3y2+2-4y=3(y- )2+ ， 所以当y= 时， (2x+3y2)min=3( - )2+ = .,9,已知函数y=f(x)的值域为集合D，函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是( ),考向一 值域与最值的关系,例1,A.D=N，M B.MDN C.D N，M D.M、ND,D,10,不妨设f(x)=3x(-1x3，且xZ)，可知D=-3,0,3,6,9，M=9，N=-3，可知，
5、A、B、C错误，选D.,1.函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数时，D=N，M，其中N=f(x)min，M=f(x)max.,11,考向二 函数值域的求法,例2,求函数f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域.,由1-x20，得f(x)的定义域为x|-1x1，且f(x)为偶函数，故可考虑0x1时的情况，此时，f(x)为减函数，故f(x)f(0)=1，所以f(x)的值域为y|y1.,12,1.函数的值域由定义域和对应法则一并确定,故应特别注意定义域对其值域的制约. 2.求值域的常用方法有： 1观察法：一看定义域；二看函数性质；三列
6、举. 2函数单调性法（见例2）.,13,3转换法. 转换为基本函数（或条件基本函数）， 如y= 与y= 的关系,y= 与Ax2+Bx+C=0. 转换为几何问题，数形结合. 转换为三角函数问题,利用三角函数的有界性. 4不等式法. 5导数法.,14,求下列函数的值域： (1) y=2x2-4x+1; (2) y=log ; (3) y= .,这些都是求复合函数的值域，可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求.,15,(1)因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3-3， 所以2t2-3= ,所以该函数的值域为 ,+). (2)因为00, 从而y1, 所以该函数的值域为(-，-1)（1,+）.
7、,16,已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(aR). （1）若函数f(x)的最小值为0，求a的值； （2）若函数f(x)0对任意xR都恒成立，求函数g(a)=2-a|a+3|的最大值.,考向三 函数的值域与最值的综合问题,例2,17,（1）因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, 且f(x)min=0，所以2a+6-4a2=0， 所以a=-1或a= . （2）因为f(x)0,由知,2a+6-4a20，解得-1a . 所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+ )2+ (a-1, ), 所以当a=-1时，g(a)max=4.,18,1.因为二次函数f(x)在R上连续
8、，所以f(x)的最小值为0，即f(x)的值域为0,+). 2.由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值.,19,1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围. 2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等式求最值时,一定要注意等号成立的条件. 3.函数单调性法. 4.导数法. 5.数形结合法：常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义.,热点突破,20,已知函数f(x)=|1- |(x0). (1)当0ab,且f(a)=f(b)，求证: + =2; (2)是否存在实数a、b(ab)使得函数y=f(x)的定义域
9、、值域都是a,b；若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由.,首先化简函数解析式，判断函数的单调性，利用单调性求解，注意思维的严谨性和敏捷性，要数形结合，分类讨论.,热点突破1,21,(1)证明:因为f(x)=|1- |= -1(01), 故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1,+)上是增函数， 由0ab和 -1=1- ,得 + =2. (2)假设存在这样的实数a、b（ab）使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a,b.,22,当0ab1时， 函数f(x)= -1在(0,1上是减函数， 则f(a)=b f(b)=a,即 -1=b-1=a， 解得a=b，与0ab1矛盾， 故此时不存在满足条件的实数a、b. 当1ab时， 函数f(x)=1- 在(1,+)上是增函数，,23,则 f(a)=af(b)=b此时实数a、b为方程x2-x+1=0的两根，但方程x2-x+1=0无实根，因此不存在满足条件的实数a、b. 当0),故此时不存在满足条件的实数a、b. 综合可得,满足条件的实数a、b不存在.,1- =a1- =b,即,
