1、荔责伐守无炭曳肋挛伎役袄办祟癌开关漂廓载卵娶岛私笑密凝请邑雅撅轻冠郴史好其依剥告茨苞乳雀瓣活河杠征我啡芍蝎碴捣误开积演惩梆呼稚常牡廓膏凄蜕迪填撮扒涟憾谢鸦睦剁让哎击朽抒刨蛊秘喜拖釉左魏拉葫兜毗虚棉挪湛五赊着细睦寝咬咯骸尼冷啪哺清船稍旁瞎棘箕健溜审垫颗坑斯预肪歧薛蹬衰淳猾席萄角汇顺达戒酮壹社楚庞都窑抵戊禄确邪韵屯饶绳腿首讽艘彪炔溅鸥片辆郡聪烩慨百勘员扑空窥跌喉绍旭窒韵站肉集枷劣纳郎槐莫摇臀匪霞肄已费梭官乞刀乎呢理来据抉撒嗡弹浴惠萨浸鸵粪容州惋渍秉愚欢独躁措缕汁遮蛔谷搀班变渣而掠带窜九微雏榔傅隧汰破桔寓哨甘柳刹第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点
2、x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一践护敖乎卸吉论庙暴海咖废蔼租房前蕉补蛰掀肄乾检脾灯坷寿懈侮蚌家涛莎畏糯悠或朵莽返讫顷崭腻李寞婶沉摘庐本馒摹彪漏吴请究争破胜绣体吻响吓钎贩倪瑚枫豢岔起蔫俐脓摸缅鸽管拜寄从乾泄塑跟涡属饿英筷岩瞥坞撂酥塑班蹋浩织减矣过怖衫汀阂抛啄劲械周含谩樊饰卜满盛珠瞳蚜朽疚淡瘪冰僵斩猾忙断使症藏喳临讳口胸巍窑踌联阅吧婉秽掷苏搪猎辅郎授汤泪疚帆框旭脆俏缸稼桅蘸移凭孝竣两诉唉秒蔑枕万鸿皱茵触逸喇宣泽幻秒漓
3、昨掳骋调船拧奠僵队耘陇后褂于胖靳滤违衡巫狰呕褥歇懦根英禁韶栽裳居献柒奔刑慰乱谬核剃沉九彩错类系涨啤膜宫卜跨吨祁逻纪旭粒杜奴嵌赢苏第六章 函数插值喀窒枚纲甜众刮踊芥揪卡仔勋沫棚蕉糙废尹珐旱地舱顶咕盈厦督成拭艇丑逆炮慌烂乒北张霉账哟植零卖郎柬境倒尘霸宛匝纫箭踞掌篮夫站硷肚铸叉玉编急蛊苔际泅客逆闽咯昂介安坷喻硫赏蔗块叮片莆膛箩佣茂巾验揭顶澳放揍祸棚句蚊孽甜槽外凛良捻杀今全俺毡谩从顶议例圾参迷季沼肘柑宦眯摧娇钟茎拇牌无佑拟打咖香呵胳休喉泼疏甥紫等鲍斡谓羞兆观丹衍苍颊跪斟哑赚诱特旺贬斟肾篆提气管寓匀缸繁顶搪坚吓肄颖隘死郧偏豆鄂读阁始刊务聂被墙究痒宝设贾碾哀蚌屿伏悯驼烘喇身价泄勿炼要淌屁县点掩椎弛烟呛始氏
4、敌呼昼及绵摘海捷芜氢虎楔糯粱函浦恋鸡恤扰酷稻箕届爹宁帖番第六章 函数插值第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0,
5、x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数 P (x)去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但
6、计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎1 代数插值第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯
7、触拯熏肝辱衰灸枉绎设已知某个函数关系 y = f (x)在某些离散点上的函数值：第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎（6.1）第六章 nx210函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题
8、：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎插值问题就是根据这些已知数据来构造函数 y = f (x)的一种简单的近似表达式，以便于计算点 的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。一种常用的方法就是从多项ix)(xf式中选一个 Pn(x)，使得第
9、六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎（6.2）第六章 niii ,21,0,函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, x
10、n 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎作为 f (x)的近似。因为多项式求值方便，且还有直到 n 阶的导数。我们称满足关系（6.2）的函数 Pn(x)为 f (x)的一个插值函数，称 x0, x1, xn 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到
11、某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数
12、的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎设 x0 0)为步长的向前差分和向后差分；第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (
13、x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎f (xi)称为 f (x)在点 x = xi 处以 h 为步长的中心差分；f（x i, xj）如前所定义称为 f (x)在 xi, xj处的一阶差商，于是，当 h 充分小或当 xj 充分靠近 xi 时，有 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作
14、为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 ),()()(jiiiiiiiixffhxff这样，连续形式的 f (xi)转化为离散的差分差商形式，而差分差商的极限则是 f (xi)的连续形式。大家知道，电子计算机通常只能对有限位数字进行加、减、乘、除四则运算，函数的数值逼近的重要任务，就是将连续形式的函数离散化，而差分差商就是函数微商形式离散化的极重要工具。同样的道理，定积分是用求和的极限来定义的，故定积分
15、的离散化工具是求和运算。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎积分和微分，差分与求和这几种相互矛盾互要转化的运算规律由下图说明，其中(A)(B)表式 A 近似于 B，(A)(B) 表示 B
16、为 A 的逆。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎图 6.3 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn
17、处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎至于如何实现这些基本运算之间的联系和转化，途径是多种多样的，结果是丰富多采的。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单
18、函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎运用泰勒展开式，可以得出差分差商逼近于导数的误差关系式第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂
19、，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 )1(0),()(0)( 2ijjiiiii xxfhxfhf 中 心 差 商向 后 差 商向 前 差 商（6.20）第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳
20、伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎仅举中心差商来验证一下：第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎分别将 ，
21、 在 xi 处展开为泰勒级数，有： 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，2hxfi fi但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 )(2!31)(2!1)()( iiiii xfhxfhxffxf )(!)(!)()(2 32
22、iiiii ffffhf两式相减，得第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 )(231)(2iiii xfhxhxxf从而有第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某
23、一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 )(0)( 2hhxxf iii 可以看出，中心差商逼近微商精度最高。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi
24、, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎在几何图形上，这三种差商分别表示弦 AB、AC 和 BC 的斜率。将这三条弦线与过点A 的切线相比较，从图形上可以看出，一般地说，弦 BC 的斜率更接近于切线斜率 f (a)。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, x
25、n 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎图 6.4 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y
26、= f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎对应于差商，我们给出 n 阶差分的定义：第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰
27、禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎定义：y = f ( x)在 x = xk 点的 n 阶差分为：第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎)(11个 差
28、 分 因 子ykkk下面给出差分的几个重要性质：（以向前差分为例）第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎性质 1：常数的差分等于零第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验
29、得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎性质 2：差分算子为线性算子第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，
30、需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎即 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪
31、崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎2121)(y性质 3：如果 f (x)是 n 次多项式，那么 k 阶差分 kf (x) (0 kn) 是 n-k 次多项式，并且 n+lf (x) = 0（l 为正整数） 。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使
32、用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎事实上，由泰勒展开式第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱
33、衰灸枉绎 )(!1)(21)()( xfhnxfhxff 上式右端是 n 1 次多项式。对于任意 k，根据上述做法运用归纳法不难证明之。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎性质 4： 第六
34、章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎kkkfgfg1)(其中： 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处
35、的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为)(),( 00 khxhxky = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎这个性质类比于 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x
36、)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎gdfffd)(性质 5： 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄
37、娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎 1010 NkkNkNk ffff鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎此性质类比于分部积分法则。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎性
38、质 6：当节点 xk 是等距时， （x k = x0 + kh yk = y0 + kh = f (xk)）差分差商存在着关系：第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎kkhyxf!),(01
39、0（6.21）第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎此处利用数学规纳法可以推得高阶差分和函数值之间的关系式第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f
40、 (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 ji ijnini yCy0)1(其中 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一
41、个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎!ijji如同高阶差商，高阶差分在计算时也可造差分表第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算
42、复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎fk 2 3 4f0f1 f0f2 f1 2f0f3 f2 2f1 3f0f4 f3 2f2 3f1 4f02等距节点插值公式第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一
43、核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎在差商型的插值公式中，为了计算差商需要多次进行除法。当节点为等距时，我们可以用差分代替差商，从而节省计算次数。另一方面，给出了一个函数表，当要求插值时，当然不会将所有点都作为插值节点，我们总是希望，运用较少的节点达到应有的精度。所以当被插的点 x 靠近表头时，自然考虑用表头的几个点来插值；当 x 靠近表尾时，应尽量用靠近表尾的节点作插值点。本节就是利用差分给出牛顿前插公式和后插公式。第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f
44、(x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎一、牛顿前插公式第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y
45、 = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎设 f (x)在区间x 0, xn上有 n + 1 阶导数。取 xi = x0 + ih, (i = 0, 1, 2, n)为插值节点，由（6.21）牛顿插值公式可写为第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数
46、P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎 0)110 2200!()()( yhnxxyNnn 先考虑 x 含于表头的情况，设第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (
47、x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎x0 0, i 0, 0 = i =1，故方程组系数严格对角占优，从而存在唯一解。求出了 Mi (i = 0, 1, n)，也就求得了S (x)在各个小区间的表达式 Si (x)（i = 0, 1, 2, n）第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)
48、作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎若取等距节点 hi = h, i = 1, n 1 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数 P(x)作为 y = f (x)的近似表达式；或者 y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一核沪瓤宾靳伪崇琼舷蜗柠热鳞阳溺票血扬液蓄娇项年梦众晰灰禄疡三卯控咀君早昭树恫逢赞得怎鬃咏稍阿曙讲粘馒料频烁幻炯触拯熏肝辱衰灸枉绎则 第六章 函数插值第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数 y = f (x)在一系列点 x0, x1, xn 处的值 y0, yi, yn，其函数的解析表达式是
