1、第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 1本章说明与要求行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用。在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组( 克莱姆法则)。本章的重点：是行列式的计算，要求在理解 n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的 n 阶行列式。计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算。
2、常用的行列式计算方法和技巧：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法。行列式在本章的应用：求解线性方程组(克莱姆法则) 要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。=1.1 二阶、三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 2解的公式引出来的。因此我们首先讨论解方程组的问题。设有二元线性方程组 -1 2axbycdef用消元法求解：， ，12:eb()abxcfcebfxad， 。adedyy即得方程组的
3、解： 。cfxabyed这就是一般二元线性方程组的解公式。但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。-二阶行列式：(课本 P1)定义：由 4 个数 及双竖线 组成的符号 称为二阶行,abcd abcd列式。构成：二阶行列式含有两行，两列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数 2 称为行列式的阶。含义：它按规定的方法表示元素 的运算结果，即为：由左上,abcd至右下的两元素之积 ，减去右上至左下的两元素之积 。其中每个积adbc中的两个数均来自不同
4、的行和不同的列。第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 3或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线 )上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对角线( 又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号。即： +abdcc【例 1】求 的值。(课本 P2 例 1)532【解】 。(1)3【例 2】当 为何值时，行列式 的值为 0？(课本 P2 例 2.)21D【解】因为 ，223()31要使 ，须使 或 ，()0即知，当 或 时，行列式 的值为 0。3231D【例 3】当 为何值时，行列式 的值不等于 0？(课本 P2 例22.)【解】因
5、为 ，22331D要使 ，须使 且 ，20第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 4即知，当 且 时，行列式 的值不为 0。03231D规律性表示方法：更一般地，为使行列式的抽象表达更具规律性，习惯上使用大写英文字母作为行列式的代码，其元素使用该大写英文字母对应的小写英文字母统一表示，并在每一小写英文字母的右下方以更小字号排放两个足码，前一足码代表该元素所在的行，后一足码代表该元素所在的列。如 表示该元素位于行列式 中第二行第一列。即如：21aA， 等等。12A12bB这样表达的行列式，形式简便整齐，元素排列的规律性明显，便于记忆。于是，将二元线性方程组 的解121 axb当中的212112
6、12 abx两个不同分子，以及一个共同的分母，按其在方程组中的排列方法，以及二阶行列式的运算规律，可令： 解中的分母，亦称方程组的系数行列式，为，121221aDa 解中未知数 的分子，亦称 的分子行列式，为1x1x，2112bab 解中未知数 的分子，亦称 的分子行列式，为2x2x第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 5，12121abDab其中，系数行列式 是由方程组中两未知数 、 的系12a1x2数按其原有的相对位置排列而成的；的分子行列式 是将系数行列式1x12bDa中的第 1 列换成方程组的常数项而得到，12aD的分子行列式 则是把系数行列式2x122abD中的第 2 列换成方程
7、组的常数项而得到。12aD这样用行列式来表示方程组的解，就得到如下简便、整齐，便于记忆与运算的形式：(亦称克莱姆法则 ，课本 P31)当 时，成立 ， 。01Dx2【例 3】求解二元线性方程组 。548 6xy【解】由于系数行列式 ，知该方程组有219045D解，再由于 ，18021665，234D第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 6即得方程组的解为 ， 。169Dx29x似乎这样表示线性方程组的解比原来更为烦琐，但这创造了多元线性方程组的解的公式及其规律性的解法，并为用电脑程序解多元线性方程组打下了良好的基础。更为下一步学习矩阵知识，为学习高级、大型的管理知识做好了准备。相应练习见课
8、本【第四版】习题一(A) 中的 大题全部和 40.大题=与二阶行列式相仿，对于三元一次线性方程组作类似的讨论，我们得到三阶行列式：三阶行列式：(课本 P3)定义：由在双竖线内，排成三行三列的 9 个数组成的符号：，称为三阶行列式。12133a构成：三阶行列式含有三行，三列。横排的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数 3 称为行列式的阶。含义：三阶行列式按规定的方法表示 9 个元素的运算结果，为 6 个项的代数和，每个项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下图所示：第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 7从图中可见，三阶行列式是这样的六个项的
9、代数和：从左上角到右下角的每条蓝色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取正号；从右上角到左下角的每条红色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取负号。即 12133a123123123aa（ ） 123123123a（ +）运算时，在整体上，应从第一行的 起，自左向右计算左上到右下方a向上的所有的三元乘积，再从第一行的 起，自左向右计算右上到左下的1方向上的所有的三元乘积。对于各项的计算，应按行标的自然数顺序选取相乘的元素。这样较为不容易产生错漏。【例 4】求行列式 的值。 （课本 P3 例 1）1234056【解】 1012()340第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 815
10、024630(1)。8【例 5】 满足什么条件时有 。 （课本 P3 例 2）,ab01ab【解】由于 ，220()1ab可见，若要使 ，必须 与 同时为 0，20a因此，当 时， 。ab1b【例 6】 的充分必要条件是什么？（课本 P4 例 3）104【解】因为 ，2101a而 成立的充分必要条件是 ，2a1a因此可得， 的充分必要条件是 。104类似于二元线性方程组的行列式解公式，三元线性方程组也有其系数行列式以及相应未知数的分子行列式，得到如下解法（克莱姆法则）：第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 9记三元线性方程组 的121323 aaxxb系数行列式为 ，12133Da的分子行列式为 ，1x12313ba的分子行列式为 ，2x113223D的分子行列式为 ，3x12331ba则当 时，方程组的解为 ，0D1Dx， 。2x3【例 4】求解线性方程组 。12354 9x【解】由于 2158(108)D43方程组有解，再计算各分子行列式，得第一章 行列式 1.1 二阶、三阶行列式 10，1241036(420)930135D28(157)9，3072，3512468(418)59649D即得方程组的解为：， ， 。14x234Dx34x相应练习见课本：【第四版】习题一(A) 中的 大题全部和 3.7.大题，40.大题中的。
