1、1.2 平面曲线运动的描述,质点的运动总是要经过一定的轨道. 曲线运动是常见的运动形式.本节只研究平面曲线运动.,描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表示形式。,在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向(人为的，随意的),这样就建立了自然坐标系.,1 平面自然坐标系,沿轨道切线,指向运动的一方.,P点的位置不同，二者的方向往往不同.,指向曲线的凹侧, .,不是恒矢量.,?,单位矢量,2 质点的位置,位置是时间的函数: s = s(t),位置坐标用距离原点的弧长表示,位置坐标可正可负.,自然坐标系下的
2、运动学方程,P1,3 质点的速度,P2,s,自然坐标系中,速度仅有切向分量,-自然坐标系,t,t+t,-直角坐标系,t0时,P2,4 质点的加速度,P1,t时刻:,t+t时刻:,A,B,C,D,AC上截取AD=AB, 连接BD.,当t0时, 0, 则ABD90,即,当t0时,t0时, 是速度增量的切向分量,由速度大小变化引起。 是速度增量的法向分量,由速度方向变化引起。,加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧.,切向加速度 tangential acceleration,法向加速度 normal acceleration,自然坐标系,直角坐标系,-v是速度大小,对于作曲线运动的物体，以下几种说法
3、正确的是：（A）切向加速度必不为零；（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .,例题1 一球以30ms-1的速度水平抛出，试求5s钟后加速度的切向分量和法向分量。,解：由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为,速度在坐标轴上的分量为,时刻速度的大小为,t时刻切向加速度的大小为,切向加速度与法向加速度满足关系,且互相垂直，则法向加速度为：,代入数据，得,例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为求:(1) 质点的轨迹方程;(2) 在t
4、1=1.00s到t2=2.00s时间内的平均速;(3) t1=1.00s时的速度及切向和法向加速度.,消去t得质点的轨迹方程:,(2)在t1=1s到t2=2s时间内的平均速度,(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为：,则t1=1s时的速度为:,切向和法向加速度分别为:,1.3 圆周运动及其描述,运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系）运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）,一 圆周运动的线量描述,圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。,位置 s = s(t),速度,R是圆的半径，而v则是
5、质点做圆周运动的速率. 如果圆周运动的切向加速度为0，就是匀速圆周运动.,加速度,用平面自然坐标系描述：,O,1 极坐标系,极轴,以圆心O为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了极坐标系.,2 角位置 矢径 与极轴的夹角.,3 角位移 t 时间内转过的角度.,角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.,二 圆周运动的角量描述,运动方程 = (t ),先绕 x 轴转 / 2，再绕 y 轴转 / 2.,最后的效果是不一样的.,先绕 y 轴转 / 2，再绕 x 轴转 / 2.,有限大小的角位移不是矢量不符合交换律，无限小的角位移 才是矢量.,4.角速度(angu
6、lar velocity ),5.角加速度(angular acceleration ),三 圆周运动中线量与角量的关系,右手定则判定方向.,四 匀变速圆周运动与匀变速直线运动的比较,描述质点的位置只需要一个标量即可. 于是，二维运动退化为一维运动；匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律与匀变速直线运动相似.,匀变速圆周运动,匀变速直线运动,求: (1) t 时刻其速度为多少？(2) 其切向加速度的大小为多少？(3) 该质点运动的轨迹是什么？,例题3 在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：,解：（1）,（2）,（3）,两式平方后相加，,轨迹为一半径为10m的圆.,解：,例题4 一质点
7、作圆周运动，其路程与时间的关系为 , v0和 b 都是常量。 求: (1) 质点在 t 时刻的速度; (2) t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度的大小相等。,分析： 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动学求解的方法即可得到。,例题5 一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置 求（1）在t=2.0s时法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？（3） t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。,解： （1）由于,则角速度,在t=2s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为,（2）当 时，有 即,此时刻的角位置为,（3）要
8、使 ，则有,解得,solve(144*t3-24) ans = 6(2/3)/6 (6(2/3)*(3(1/2)*i)/2 - 1/2)/6 -(6(2/3)*(3(1/2)*i)/2 + 1/2)/6 取实数解6(2/3)/6=0.5503,例题6 一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在t=2.0s时测得轮缘一点的速度为4.0m.s-1。 求（1）该轮在t=0.50s时的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2.0s内所转过的角度。,解: (1) 由题意 = k t 2,所以=( t )=2t2,t=0.5s时角速度、角加速度和切向加速度分别为,总加速度,（2）在2.0s内该点所转过的角度,例题7 一质点P沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s,设t=0时,质点位于o点,按图中所示oxy坐标系,求: (1) 质点P在任意时刻的位矢; (2) 5s时的速度和加速度.,如图所示,在 坐标系中,因 ,则质点P的参数方程为,坐标变换后,在oxy坐标系中有:,解：,则质点P的位矢方程为:,5s时的速度和加速度分别为:,没 了,
