1、知识要点第一部分： 【圆的知识点复习】1、圆有关的公式：周长： 面积 弧长 扇形面积2cR2s180nRl2360nRl2、圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴） ，又是中心对称图形（圆心是对称中心） 。（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧（5）弦：连接
2、圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。3、点与圆的位置关系：点 与圆心的距离为 ，则点在直线外 ；Pdrd点在直线上 ；点在直线内 。4、圆的确定： 确定圆的基本条件：（1）圆心确定圆的位置（2）半径确定圆的大小确定圆的方式：（1）已知圆心的位置与半径的长度（2）已知直径及其位置（3）不在同一直线上的三点5、三角形的外心和内心：1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内
3、切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。如图：O 为ABC 的内切圆，O 为ABC 的内心。说明：（1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。（2）三角形的内心到三边的距离是相等的。注：锐角三角形的外心在该三角形的内部直角三角形的外心为斜边的中点钝角三角形的外心在该三角形的外部6、圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90 0的圆周角所对的弦是直径（3）圆心角与圆周
4、角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧（或劣弧） 、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组相等，那么他们所对应的其他三组量也分别相等。运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论的注意事项（1）条件“在同圆或等圆中”不能丢，它是等弦、等弧的必不可少的大前提（2）弦所对的“弧相等” ，指的是“弦所对的劣弧与劣弧、优弧与优弧相等”定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心
5、距相等8、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。2、如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径） ，那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并平分这条弦所对的弧。5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心
6、，并平分这条弦。注：在圆中，当一条直线：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的弧（包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。其中当（1） （3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有（2） （4）成立。口决：垂径定理不一般；题设结论二推三；定理推论也重要，总结起来共十条；求半径，连半径，弦的计算与证明；巧作垂线过圆心，构造直角三角形第二部分： 【直线与圆的位置关系】一、 直线与圆的位置关系的定义及有关概念：1、相交、相切、相离直线与圆的位置关系：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 。当直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆 。这
7、时直线叫做圆的 。当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 。这时直线叫做圆的 。2 、直线与圆的位置关系的性质和判定。设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d（1）直线 l 与O 相交 ；（2）直线 l 与O 相切 ； （3）直线 l 与O 相离 ； 3 、切线的性质定理：（1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径（2）符号语言：直线 l 切O 于点 A，lAO4、切线的判定定理：（1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）符号语言：OAAB，A 在O 上，AB 是O 的切线。说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆的切线，千万不要只凭
8、一个条件就判定一条直线为圆的切线。5 、切线的判定方法。判定切线有三种方法：方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径，有时需添加垂线段，这两种方法简记为：（1）“连半径，证垂直”（2）“作垂直，证半径”第三部分： 【圆与圆的位置关系】1、圆与圆的位置关系：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆 。两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆 。这个唯一的公共点叫做 。两个圆有两个
9、公共点时，叫做这两个圆 。两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆 。这个唯一的公共点叫做 。两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆 。当两个圆的圆心重合时，称它们为 。2、如果两个圆的半径长分别为 、 ，圆心距为 ,那么两圆的位置关系可用1R2d、 和 之间的数量关系表达1Rd 两圆内含： 。 两圆内切： 。 两圆相交： 。 两圆外切： 。 两圆外离： 。3、相交两圆的连心线垂直平分 。4、相切两圆的连心线经过 。第四部分： 【多边形的外接圆】如果一个圆经过多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边
10、形叫做圆的内接多边形 注意：多于三边的多边形不一定有外接圆正多边形的中心角的度数= n360正多边形常用的计算公式：设正 n 边形的中心角、半径、边心距、周长、面积分别是 、 、 、 、 和nRnarnp，则：nS（1）正 n 边形的内角和是 （2）正 n 边形的内角是 ，即 （3）正 n 边形的外角是 （4）正 n 边形的对角线的条数是 习题讲解与演练1：如图，O 的半径是 10cm，弦 AB 的长是 12cm，OC 是O 的半径且 ，垂CAB足为 D，CD=_cm.2：RtABC，A=90，AB=6，AC=8，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 BC 于 D ，求弦 BD 的长。3：在半径
11、为 5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为 6cm,8cm,则这两条平行弦之间的距离是多少？4、矩形 ABCD 中，AB =5，BC=12 ，如果分别以 A、 C 为圆心的两圆相切，点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围是 A CEBDRanOBA H5、 已知半径分别是 17cm 和 10cm， O1 与 O2 相交于 A、 B 两点，如果公共弦 AB 的长是 16cm，求圆心距 0102 的长.6：（2004 年上海中考）在 ABC 中, BAC=90,AB=AC=2 ,圆 A 的半径为 1,如图 5 所2示,若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C
12、 不重合),设 BO=x,AOC 的面积为 y,（1）求 y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;（2）以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当圆 O 与圆 A 相切时,AOC 的面积.7、 （2005 年上海中考）已知：如图 6，圆 O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，E、F 分别是边 AC 和 BC 的中点，求证：四边形 CEDF 是菱形.AB COE FD BAOCABC C图 5-2图 5-1O1 O2O2 O1AB8、 （2006 年上海中考）本市新建的滴水湖是圆形人工湖为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 ， ， 三根木柱，使得 ， 之间的距
13、离与 ， 之间的距离相等，并ABCABAC测得 长为 米， 到 的距离为 米，如图 5 所示请你帮他们求出滴水湖的半240径9：（2007 年上海中考）已知： ，点 在射线 上， （如图60MAN BAM4B10） 为直线 上一动点，以 为边作等边三角形 （点 按顺时针排PANBPPQ， ，列） ， 是 的外心OBQ（1）当点 在射线 上运动时，求证：点 在 的平分线上；OAN（2）当点 在射线 上运动（点 与点 不重合）时， 与 交于点 ，设BC， ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；APxCyAx（3）若点 在射线 上， ，圆 为 的内切圆当 的边 或DN2DID PQ与圆 相切
14、时，请直接写出点 与点 的距离BQIAOBMQNP图 10ABMQNP备用图BAC图 510：（2008 年上海中考） “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图 7 所示） 已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆 的半径 所在的直线为对称轴的轴对称图形， 是 与圆 的交OCAOD点（1）请你帮助小王在图 8 中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆 的半径 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中 是坡面Or 1:0.75i的坡度） ，求 的值CEr图 7 OCAD E H图 8课后练习1：（2008 年上海中考）已知 ， ， （如图 13
15、） 24ABD， 90ABDBC是射线 上的动点（点 与点 不重合） ， 是线段 的中点EBCEME（1）设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；xM yx（2）如果以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长；A B（3）联结 ，交线段 于点 ，如果以 为顶点的三角形与 相似，DNAD， ， ME求线段 的长BEBA DME C图 13 BA DC备用图2.已知：在ABC 中，AB=AC ， B=30，BC =6，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段 DC 上，DE=3，DEF 是等边三角形，边 DF、EF 与边 BA、CA 分别相交于点 M、N （1）求证：BDMCEN；（2）当点 M、 N 分别在边 BA、CA 上时,设 BD= ，ABC 与 DEF 重叠部分的面积为 ，x y求 关于 的函数解析式，并写出定义域yx（3）是否存在点 D，使以 M 为圆心, BM 为半径的圆与直线 EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由ABFD EMNC第 25 题
