1、4、关于方程根的研究, 只知 在 连续，一般用零点定理证明, 作出 的一个原函数 ，证满足洛尔定理条件，从而得到 的零点的证明,解题步骤：,、方程 根的个数的讨论, 求出各单调区间的极值或最值, 求出 的驻点和不可导点，划分 的增减区间, 分析极值或最值与 轴的相对位置,解题思路：,、关于方程根的唯一性的讨论, 利用零点定理或洛尔定理证明,至少存在一个根, 利用函数的单调性或反证法证明,最多只有一个根,例1 设 在 可微，证明：,在 的任何两个零点之间必有,的一个零点。,分析：设 为 的任意两,个零点，欲证存在一个 使得,因 可微，故可用洛尔定理，,其辅助函数可用积分法构造,于是，令,显然，
2、在 上连续，在,个零点 ，即,证明：设 为 的任意两,作辅助函数,可微，且,由洛尔定理，存在一个,使得,而,即,亦即,例2 证明方程,在 内有且仅有两个不同的实根,证明：,令,列表如下：,至多有一个零点。,由上表知， 在 与 分别,由于 而,可知 在 与 分别至少,有且仅有两个实根，即原结论成立。,有一个零点，故 在 内,例3 设 在 可微，对,都有 且 证明：,在 内有且仅有一个 ，使,证明：令 由题设可知,在 连续，又,由零点定理知，在 内至少存在,一点 ，使,个零点。若不然，,用反证法证 在 内至多有一,使得,由拉格朗日中值定理，至少存在一个,即,使得,与题设矛盾。综上所述，命题得证。,例4 设 在 二阶可导，并,满足 当,时 证明：方程,在 内有且仅有一个实根。,证明：,因而当 时，,故 在 内严减，因此，方程,在 内至多有一个实根。,勒公式：,由题设， 在 的右侧可展成泰,于是,令,则,又,由零点定理，至少存在一个,使 综上所述，命题得证。,方程,例5 证明：当 时，实系数,只有唯一的实根。,证明：令,先证 在 内至少有一零点,当 充分大时， 与 符号相同,取充分大的 值为 ，使,由零点定理，至少存在一个,使,再证 至多有一个零点,有,（已知）,因此 至多只有一个零点。,综上所述，命题成立。,又 故 单增,
