1、作业：4.52. 解：把 中向量改写为V34314210xxx则 ，又 线性无关，所以 是 的一个基，12span(,)V12,12,Vdim2V3. 解 易知 ，又 线性无关， 线性无关，所以3rk323,与 都是 的基. 13,23,12span(,)解方程组 得1x120.5,1x于是 在基 下的坐标是 . 13,.,T解方程组 得2x12,x于是 在基 下的坐标是 . 23,T5. 解 由 12312310234, 10r 得 1231234,01由基 到基 的过渡矩阵为123,123,23401PP117： 1. 证：因为 可由 线性表示，设r,21 rrkk121又因为 不能由 线
2、性表示，所以 ，因此21,r 0r11rrr kk即 可由 线性表示. r121,r2. 解： 记 ， ，由于 不能由,321A,321B123,线性表示，所以 ，从而123,)(0)(2a得 或 . a当 时， ，故 可由 线性表示，但 不能1132132,321,2由 线性表示. 所以 符合题意. 32,a当 时，由a12120603rBA 知 不能由 线性表示，与题设矛盾. 123,123,综上， .a12. 证：当 时， ，由行列式的展开定理： ，立即知 是nAr)(0EA可逆矩阵，即 . 当 时， 的所有 阶子式都等于零，这时 是零矩阵，故 . 1)(r10)(r当 时， ，由行列式的展开定理)(nA00EA由例题 nr)()1r再由 知 有一个 阶子式不等于零，故 至少有一个元素不为零，因此1)(nAr1n. 综上， . ()0rA1)(Ar16. 证：由 和例题()EOr()nEA又 r()()r()n综上 . r()AE25. 证 （1）由 , 知 是 的一个解. 又12n (1,)Tx Ax，故 有无穷多解. ()rAnx（2） 线性相关，存在不全为零的数 使121,n 121,nll120nll说明 是 基础解系. 的通解为121,0Tnll AxAx121(,),1TTTnkll
