1、1高二上学期期终考试数学试卷（理科）(时量：120 分钟，满分：150 分)一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将答案填在答卷的表格里1、 42dx等于（ D ）A、 ln B、 2ln C、 ln2 D、 ln22、下列命题错误的是( C )A命题“若 x23 x20，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x23 x20”B若命题 p： xR， x2 x10，则“ p”为： xR， x2 x10C若“ p q”为假命题，则 p， q 均为假命题D “x2”是“ x23 x20”的充分不必要条件3、设抛物线 8y上一点
2、P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( B )A. 4 B. 6 C. 8 D. 124、由曲线 y= 2x,y= 围成的封闭图形面积为（ A ）（A） (B) 14 (C) 13(D) 712165、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ B ）A 4 B 35 C 2 D 156、已知 ，则向量 的夹角为（ C ）),01(),0(baba与A. B. C. D.3406097、已知抛物线 2()ypx，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A、 B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（ B ）（A） 1x
3、 (B) x(C) 2 (D) 28、若点 O 和点 F 分别为椭圆2143xy的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则P的最大值为（ C ）A.2 B.3 C.6 D.82二.填空题：（每小题 5 分, 共 35 分. 请将答案填在答卷的横线上）9、已知复数 z 满足 ，则 z=_izi34)21(i210、已知双曲线 20,)xyab的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点与抛物线 216y的焦点相同.则双曲线的方程为 21411、若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件 ,则 x= . abc()2cab【答案】212、观察下列等式： 321,33
4、26,3321410,，根据上述规律，第五个等式为 _. 5.13、已知 f(x)= 2x 2f(1)，则 f(2)=_ ()2,()fxf14、设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的12bya离心率为_ 515、如图是函数 的导数的图象，对于下列四个命题：()yfx 在 上是增函数；()fx2,1 是 的极小值点；()f 在 上是增函数，在 上是减函数；()fx,2,4 是 的极小值点。3()f其中正确的命题的序号是 高二上学期期终考试数学试卷（理科）答卷一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 3-2 42-1 1
5、Oyx3二、填空题（每小题 5 分，共 35 分）9、 ; 10、 ; 11、 ;12、 ; 13、 ; 14、 ; 15、 三，解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16, (12 分)已知命题 :p方程 210xm有两个不相等的实根； :q不等式24(10xmx的解集为 R，若 q或 为真，且 为假，求实数 m的取值范围解：由方程 2有两个不相等的实根，得 42解得 2或命题 p 为真时， 或 2；又由不等式 2()10xx的解集为 R，得 016)(162解得 3m命题 q 为真时， ；命题 q 为假时， 1或 3m或为真，且 为假 p 真 q 假
6、由 31m或或 得 2或 实数 的取值范围为 或 317、(12 分) 设 、 分别是椭圆 ： 的左右焦点。1F2C21(0)xyaba（1）设椭圆 上点 到两点 、 距离和等于 ，写出椭圆 的方程和焦点坐C3(,)1F24C标；（2）设 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程；K1KB解：（1）由于点 在椭圆上， 得 2 =4, 3(,)2223()aba椭圆 C 的方程为 ，焦点坐标分别为 214xy(1,0)（2）设 的中点为 B（x, y）则点 1KF(,)Kxy把 K 的坐标代入椭圆 中得23x22(434线段 的中点 B 的轨迹方程为 1KF21()34yx18、已
7、知在函数 的图象上，以 为切点的切线的倾斜角为 .3()fxa(,)Nb45（I）求 的值；,ab（II）是否存在最小的正整数 ，使得不等式 对于 恒成立？k()196fxk 1,3x若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由.k解：依题意，得 ，即(1)tan45f 231,.3a因为 ，所以 4 分()fb.（II）由（I）知 . 令32()fx .2,012)( xxf得因为 .5)3(,)(,)(,1)(ffff所以，当 时， 的最大值为 . 8 分,3xfx1f要使得不等式 对于 恒成立，则()196fk ,3519620.k所以，存在最小的正整数 ，使得不等式 对于 恒成立.20(
8、)fx ,3x20、如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， PD DC， E、 F 分别是 AB、 PB 的中点(1)求证： EF CD；(2)求 DB与平面 DEF 所成角的正弦值解：以 DA， DC， DP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 (如图)设 AD a，则 D(0,0,0)，A(a,0,0)， B(a， a,0)， C(0， a,0)，E(a，0)， P(0,0， a)， F( ， )a2 a2a2 a2(1)证明： ( ，0， )(0， a,0)0，EF DC a2 a25 ， EF CD.EF DC (2
9、)设平面 DEF 的法向量为 n( x， y， z)，由Error!，得Error!，即Error!，取 x1，则 y2， z1， n(1，2,1)，cos ， n .BD BD n|BD |n| a2a6 36设 DB 与平面 DEF 所成角为 ，则 sin .3619、数列 的通项公式为 ，设 ，试求na2)1(na )1()(1)(2naanf 的值，推导出 的公式，并证明。)4(,3)2(,1ff f证明： ,4321a 64)1()2(2a，85)()()3f 106)(43af猜想： ，证明如下：假设当 时成立，即)1(2nf kn)(2kf那么 )(1kafkf )2(1)(2k
10、2)(1)1()(221、设 12,F分别是椭圆 E:21xyab（ab0）的左、右焦点，过 1F斜率为 1 的直线l与 E 相交于 ,AB两点，且 2F, AB, 2成等差数列.（)求 E 的离心率；（）设点 P（0,-1）满足 P,求 E 的方程.【规范解答】 （)由椭圆的定义知， 24AFBa，又 2ABF得 43ABa，l的方程为 yxc，其中 2b6设 12,AxyB，则 ,AB两点坐标满足方程组2cab化简得， 222()()0abxacb则 212cx，21()ab.因为直线 AB 斜率为 1，所以 22111()4ABxxx得 243ab，故 2ab,所以 E 的离心率 cab
11、e.（）设 ,AB两点的中点为 0,Nxy，由（)知2120 3xc，03cyx.由 P，可知 1PNk.即 01yx，得 3c，从而 2,3ab.椭圆 E 的方程为289xy.备选1，设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ D ）(A) 2 (B) 3 (C) 12 (D) 5122，已知双曲线2(0,)xyab的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 4y的准线上，则双曲线的方程为 ( )（A）213608x（B） 2197xy（C）2y（D）27【规范解答】选 B，由题意可得 2239,76baabc，
12、3，已知抛物线 C： 2(0)ypx过点 A （1 , -2）.（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于 5？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想. 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l 的方程为 y2xt，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数 t 的范围，再由直线 O
13、A 与直线 l 的距离等于 5列出方程，求解出 t 的值，注意判别式对参数 t 的限制. 【规范解答】 （I）将 12， 代入 2ypx，得 21p， 2，故所求的抛物线方程为 4，其准线方程为 ；（II）假设存在符合题意的直线 l，其方程为 2yxt，由24yxt得20yt，因为直线 l与抛物线 C 有公共点，所以 80，解得1t。另一方面，由直线 OA 与直线 l的距离等于 5可得 5,1tt，由于 1,22，所以符合题意的直线 l存在，其方程为1yx.4，已知椭圆2yab（ab0）的离心率 e= 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交
14、于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.8（i）若 42AB5|=，求直线 l 的倾斜角；（ii）若点 Q y0（ ， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 .求 y0的值.4QAB【规范解答】 （）解：由 e 32ca，得 24ac.再由 22ab，解得 a2b.由题意可知 142b，即 ab2.解方程组 ,a得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为214xy.()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 1(,)xy，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2(),1.4ykx消去 y 并
15、整理，得222(14)6(1)0kxk.由 2，得284x.从而 124ky.所以222|1kkABk.由 42|5，得245k.整理得 3930k，即 22(1)3)0k，解得 k 1.所以直线 l 的倾斜角为 4或 .（ii）设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为228,14k.以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是002,2,.QAyy由 4QA，得 y20。（2）当 k时，线段 AB 的垂直平分线方程为2184kkx。9令 0x，解得 02614ky。由 2,QA， 10,Bxy， 21010 222
16、8646411kkxy42654k，整理得 27。故 17k。所以 02145y。6，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AA12， AD1， E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE所成角的余弦值为_解析：建立坐标系如图，则 A(1,0,0)， E(0,2,1)，B(1,2,0)， C1(0,2,2)，(1,0,2)， (1,2,1)，BC1 AE cos ， .BC1 AE BC1 AE |BC1 |AE | 3010答案：30107，如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA平面 ABCD，AP=AB=2， BC=2，E，F 分别是 AD,PC 的中点
17、.（）证明： PC平面 BEF；（）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。（）如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2， BC=2，四边形 ABCD 是矩形.A，B，C，D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2,0)，D(0， ，0) ，P(0,0,2)又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，10E(0， 2，0),F(1， 2，1). PC=（2， ，-2） BF=（-1， 2，1） EF=（ 1,0,1） ， =-2+4-2=0， PC =2+0-2=0， ， E，PCBF,PCEF, BF
18、 ,来源:Zxxk.ComPC平面 BEF（II）由（I）知平面 BEF 的法向量 1(2,),nPC平面 BAP 的法向量 2(0,),nAD18A设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 ，则 121282cos, ,4n 045， 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 0458，已知直线 与双曲线 相交于两个不同点 、 1ykx12yxAB（）求 的取值范围；（）若 轴上的点 到 、 两点的距离相等，求 的值x)0,3(MABk【解析】（）由 得 2 分12yk 04)2(kx 4 分0)(6)(61,0222kkk解得： 且 6 分（）设 ，则 7 分),(1yxA),(2B2214
19、kx设 为 中点，则 ，即P)(,kxP ,21,kP 到 、 两点的距离相等， ， ，10 分)0,3(MMABABMk11即 ，解得 ，或 （舍去） 12 分1321k2k121k9，已知 f(x)=ex-ax-1.（1）求 f(x)的单调增区间；（2）若 f(x）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围；（3）是否存在 a,使 f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解： )(xf=ex-a.（1）若 a0， )(f=ex-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增.若 a0,ex-a0,e xa,xlna.f(x)的单调递增区间
20、为(lna,+).（2）f（x）在 R 内单调递增， )(xf0 在 R 上恒成立.e x-a0，即 ae x在 R 上恒成立.a（e x） min，又e x0，a0.（3）方法一 由题意知 ex-a0 在（-，0上恒成立.ae x在（-，0上恒成立.e x在（-，0上为增函数.x=0 时，e x最大为 1.a1.同理可知 ex-a0 在0，+）上恒成立.ae x在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点. )(f=0,即 e0-a=0,a=1.10，已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1
21、=0，若 x= 32时，y=f(x）有极值.（1）求 a,b,c 的值；（2）求 y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 )(xf=3x2+2ax+b,当 x=1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a+b=0 当 x= 3时，y=f(x)有极值，则 f=0,可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, )(xf=3x2+4x-4,令 )(xf=0,得 x=-2,x= .当 x 变化时，y,y的取值及变化如下表
22、：x -3 (-3,-2) -2 32, 1,321y + 0 - 0 +y 8 单调递增 13 单调递减 2795单调递增 4y=f（x）在-3，1上的最大值为 13，最小值为 .27951211、如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB BC2， AA11，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( D )A. B.63 2 55C. D.155 10513, 已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式yx为 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( c )31824yx（A）13 万件 (B)11 万件(C) 9 万件 (D)7 万件1
23、4, 已知动点 P 到直线 3:xl的距离 d1是到定点 )0,3(F的距离 d2的 3倍则动点 P 的轨迹方程 42y15, 设 、 分别是椭圆 ： 的左右焦点。1F2C2()aba（1）设椭圆 上点 到两点 、 距离和等于 ，写出椭圆 的方程和焦点坐3(,)1F24C标；（2）设 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程；K1KB（3）设点 是椭圆 上的任意一点，过原点的直线 与椭圆相交于 ， 两点，当直PCLMN线 ， 的斜率都存在，并记为 ， ，试探究 的值是否与MNPMkNPkK点 及直线 有关，并证明你的结论。L解：（1）由于点 在椭圆上， 得 2 =4, 3(,)2
24、223()1aba椭圆 C 的方程为 ，焦点坐标分别为 214xy(,0)（2）设 的中点为 B（x, y）则点 1KF(,)Kxy把 K 的坐标代入椭圆 中得23x221(14313yx0MF1 F2P线段 的中点 B 的轨迹方程为 1KF21()34yx（3）过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称 设 , 00(,)(,)()MxyNxypx在椭圆上，应满足椭圆方程，得 P22011yxyabab，= = MNkK 2000xx2故： 的值与点 P 的位置无关，同时与直线 L 无关，P16，已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（ ()fx(
25、)fx ()fx）【解析】 A；由 的图象知 和 是 的极值点，且 时， 单调递减，故选 A()fx02()fx0x()fx17，复数 等于（ ）21iA B C Dii1i1i【解析】 C；2()2(1)i1ii18，已知函数 bxaxf3，其中 a,为实数.14() 若 xf在 1处取得的极值为 2，求 ba,的值;（）若 在区间 ,上为减函数，且 9，求 的取值范围.解 ()由题设可知:01f且 2f， 2 分即 36ba，解得 .5,34ba 4 分（） axxxf 96622， 5 分又 在 ,1上为减函数， f0对 ,恒成立， 6 分即 9632ax对 2,1x恒成立.1f且 f，
26、 10 分即 73092aa，a的取值范围是 .1 19，由下列不等式： 2， 13， 13272 ， 125 ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解：根据给出的几个不等式可以猜想第 n个不等式，即一般不等式为：11()232nN用数学归纳法证明如下：（1）当 时， ，猜想成立；（2）假设当 nk时，猜想成立，即 11232k ，则当 时， 1 1111 2322 kkkkkk ，即当 n时，猜想也正确，所以对任意的 nN，不等式成立20，20、已知函数 bxaxf23，其中 a,为实数.() 若 在 1处取得的极值为 ，求 的值;（）若 f在区间 ,上为减函数，且 9，求 的取值范围.
27、解 ()由题设可知:01f且 2f， 15即 23106ba，解得 .5,34ba （） axxxf 9662， 又 在 ,上为减函数， f0对 ,1恒成立， 即 932ax对 2,x恒成立.f且 f， 即 17309126aa， a的取值范围是 . 18、设 为实数,函数 .)(23axxf()求 的极值.)xf()当 在什么范围内取值时,曲线 与 轴仅有一个交点 .a)(xfy【解析】(I) =3 2 1()fx若 =0，则 = ， =1x3当 变化时， ， 变化情况如下表：()ffxx(， )1 ( ，1)131 (1，+)f+ 0 0 +(A极大值 A极小值 Af(x)的极大 值是 ，
28、极小 值是15()327fa(1)fa(II)函数 2(1)fxx由此可知，取足够大的正数时 ，有 f(x)0，取足够小的负数时有 f(x)0 即 (1，+)时，它的极大 值也大于 0，因此曲 线 y= f(x)与 轴16仅有一个交点，它在(， )上。13当 (1，+)时，曲 线 y= f(x)与 x 轴仅有一个交点5,)27a19、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： .22bac设想:正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用 321,s表示三个侧面面积， 4s表示截面面积，请你写出类比得到的结论，并判断真假，若为真命题请给出证明。解： 24321SS。
