1、平方根 知识点总结【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 x 叫做 的算术平方根（规定xa2xa0 的算术平方根还是 0）； 的算术平方根记作 ，读作 “ 的算术平方根”， 叫做被a开方数. 要点诠释：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 0， 0.a a2.平方根的定义如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方2xxa与开平方互为逆运算. (
2、 0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算a(0)a术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和a2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质 2(0)|a20a要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的
3、小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如： ， ， ， .6250656.25.0.625【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若 2 4 与 3 1 是同一个正数的两个平方根，求 的值mm【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2 4（3 1） ，解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2 4（3 1） ，解得 1； 的值为 1m【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知 2 1 与 2 是 的平方根，求 的值.am【答案】2 1 与 2 是 的平方根，所以 2 1 与 2 相等或互为相反数.a解：
4、当 2 1 2 时， 1，所以 a1当 2 1（ 2）0 时， 1，所以 m22()39a2、 为何值时，下列各式有意义？x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 4x1x13x【答案与解析】解：(1)因为 ，所以当 取任何值时， 都有意义202(2)由题意可知： ，所以 时， 有意义4x4xx(3)由题意可知： 解得： 所以 时 有意10111x义(4)由题意可知： ，解得 且 3xx3所以当 且 时， 有意义1x1x【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为 0 时，式子才有
5、意义举一反三：【变式】已知 ，求 的算术平方根43232baa1b【答案】解：根据题意，得 则 ，所以 2， ，0,.312a 的算术平方根为 1ab1ab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1) ；(2) 22543A1120.369045【思路点拨】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1) ；2543A92573A(2) 118120.600.65490.261.7【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据 来解2(0)a
6、类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 .x（1） （2） ；2360;x2189x（3） 294【答案与解析】解：（1） 2610x 3 9x（2） 218 x 117x16 或 18.（3） 29640 x 823 149x或【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的 ：x（1）若 ，则 _； （2） ，则 _；2.1x2169xx（3）若 则 _； （4）若 ，则 _9,42【答案】 （1）1.1；（2）13；（3） ；（4）2.32类型四、平方根的综合应用5、已知 、 是实
7、数，且 ，解关于 的方程ab6|0abx2()1x【答案与解析】解： 、 是实数， ， ， ，ab6|2|0ab60a|2|0b ， 260 3， 2把 3， 代入 ，得 24， 6ab2()1axbaxx【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出 、 的值，ab再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若 ，求 的值210xy2012xy【答案】解：由 ，得 ， ，即 ， 210xy210xy1xy当 1， 1 时， 2120()当 1， 1 时， xy201 1xy6、小丽想用一块面积为 400 的
8、正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符2cm:3合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为 3 ( 0) ，则宽为 2 ，依题意得 xcxcm. 320x.6.25 0，x . 长方形纸片的长为 .350cm 5049, .507 , 即长方形纸片的长大于 20 .321c由正方形纸片的面积为 400 , 可知其边长为 20 , 2cmm 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20的正方形纸片裁出长方形纸片.cm
