1、1专题五 中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” ；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” ；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形） ；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） ；7、倍长中线8、圆中遇
2、到弦的中点，常联想“垂径定理”一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图 1 所示，在ABC 中，AB=AC=5 ，BC=6，点M 为 BC 中点， MNAC 于点 N，则 MN 等于（ ）A 65 B 9 C 125 D 165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在ABC 中，A=90,AC=AB,M 、N 分别在AC、AB 上。且 AN=BM，O 为斜边 BC 的中点，试判断OMN 的形状，并说明理由.3、如图，正方形 的边长为 2, 将长为 2 的线段 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑ABCDQF动如果点 从点 出发
3、，沿图中所示方向按 滑动到点 为止，同时点QADCBA从点 出发，沿图中所示方向按 滑动到点 为止，那么在这个过程中，FB线段 的中点 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）MA. 2 B . 4 C. D.1 NMB O CA DABC 图8QFM2三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、 （直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且AC=BD，M、N 分别是 AB、CD 的中点，MN 分别交 BD、AC 于点E、 F.你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？5、 （利用等腰三角形的三线合一找中点，应用
4、中位线定理）如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是三角形 ABCBAC 的角平分线，BDAD，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求 DE 的长6、 （利用平行四边形对角线的交点找中点，应 用 中 位 线 定 理 ）如图所示，ABCD，BCAD ，DE BE ，DF=EF，甲从 B 出发，沿着 BA、AD、DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着 BC、CE、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达 F点？7、 （综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形 ABCD 中，CDAB，对角线 AC、BD 相交于点
5、O，60ACD，点 S、P 、Q 分别是 DO、AO、BC 的中点 .求证：SPQ 是等边三角形。四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）8、如图：梯形 ABCD 中，A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3,E 为 AB 中点，求证：DEECEDCBA图2-1FEDM NCBAPOA BCD图6-1SQ39、如图甲，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CG BC ）中，点 B、C、G 在同一直线上，M 是AE 的中点， （1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针
6、旋转，使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形ABCD 的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。 （1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明五、有中点时常构造垂直平分线10、如图所示，在ABC 中，AD 是 BC 边上中线，C=2B.AC= 21BC。求证：ADC 为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）11、 （1）探索：已知 的面积为 ，ABCa如图 1，延长 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA，若的面积为 ，则 = （用含 的代数式表示）ACD1S如图 2，延长 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，
7、使CD=BC，AE=CA，连接 DE，若 的面积为 ，则 = E2S（用含 的代数式表示）a在图 2 的基础上延长 AB 到点 F,使 BF=AB,连接 FD，FE,得到（如图 3） ，若阴影部分的面积为 ， = （用含 的代数式表示）DEF3 a发现：像上面那样，将 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到 （如图 4） ，此时，ABC DEF我们称 向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的 的面积是原来 面积的 AB ABC倍应用：如图 5，若 ABC 面积为 1，第一次操作：分别延长 AB， BC， CA 至点 A1， B1， C1，使得A1B=AB， B1C= BC， C1A=CA，顺
8、次连结 A1， B1， C1，得到 A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1， B1C1， C1A1至点 A2， B2， C2，使 A2B1= A1B1， B2C1= B1C1， C2A1= C1A1，顺次连结 A2， B2， C2，得到 A2B2C2，第三次操作 ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2010，最少要经过 次操作.AB CDFGEM图乙图甲BACEDFGMB D CA412、如图所示，已知梯形 ABCD，AD BC，点 E 是 CD 的中点，连接 AE 、 BE，求证：S ABE = S 四边形 ABCD。2113、如图，M 是 ABCD 中 AB 边的中点。CM 交
9、BD于点 E,则图中阴影部分面积与 ABCD 面积之比为 14、如图所示，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连AF、CE 交于点 G，则 等于：A、 B、 C、 BCDGS矩 形四 边 形 6543D、 32七、倍长中线15、如图，ABC 中，D 为 BC 中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD16、如图，点 D、E 三等分ABC 的 BC 边，求证：AB+ACAD+AE17、如图，D 为线段 AB 的中点，在 AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACE 与 BCF，连结 DE、DF 、EF，求证：DE
10、F 为等腰直角三角形。八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”D CBMAE5BAODC18、半径是 5 cm 的圆中，圆心到 8 cm 长的弦的距离是_19、半径为 的圆 O 中有一点 P，OP=4 ，则过 P 的最短弦长_，cm最长弦是_，20、如图，在圆 O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD AB，OEAC，垂足分别为D、E ，若 AC=2cm，则圆 O 的半径为_cm。21、如图，在 O 中，直径 AB 和弦 CD 的长分别为 10 cm 和 8 cm，则 A、 B 两点到直线 CD 的距离之和是_.22、如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE2cm，B
11、E6cm，CEA30 0，求：CD 的长；23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出 滴水湖的半径。AB C6倍长中线：1 （2011 平谷二模）24. 已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF
12、 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）2 （2011 朝阳一模）25已知：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点 M是 CE 的中点，连接 BM.（1）如图，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出 BD 与 BM 的数量关系为 ；（2）如图，点 D 不在 AB 上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.NMDECABMECBADFBA DCEG图DFBACE图图 图
