1、,2.2 平面向量的线性运算数与向量的乘法,1.向量加法三角形法则:,特点:首尾相接，首连尾,特点:共起点,特点：共起点，连终点，方向指向被减数,2.向量加法平行四边形法则:,3.向量减法三角形法则:,实际背景,在物理中：位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量,=,A,B,C,D,(- ),(- ),(- ),-,A,B,C,D,练习1:,探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？,定义:,它的长度和方向规定如下：,数乘向量的几何意义,数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当
2、沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题.,练习2:,(2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。,=,三、向量的数乘运算满足如下运算律：,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,解: (1) 原式 =,(2) 原式 =,(3) 原式 =,思考:,定理:,例2,小结回顾:,附加： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 三点共线。,基础知识反馈,C.,A.,B.,(2).,设 是非零向
3、量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).,D.,(1).,下列四个说法正确的个数有( ).,B.2个,A.1个,C.3个,D.4个,B,C,例4:若 其中 , 是已知向量,求 ，,分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得,解：记 ， ,3得 ,-得,例5,如图所示，已知 说明 向量 与 的关系,解： 因为,所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍,问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?,反馈演练：,1. 在 中,设D为边的中点,求证:,解：因为,（）,所以，所证等式成立,则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.,由向量加法平行四边形法则有,解2:,例6:,如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .,分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。,解：因为A是BC的中点，所以,练习,（ C ）,分析:由 所以,在平行四边形ABCD中, ,M为BC的 中点,则 等于,(1),(2),A,B,C,D,课堂小结：,
