1、收稿日期：2012-05-11作者简介：郭允远（1963），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山 东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.攻克解析几何综合题的几种策略郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)摘要：解析几何综合题，在高考解答 题中一般出现在最后两 题之一的位置，以其 综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、 经久不衰的 热点、 难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形 结合、减少运算等一般性策略,在关键之处有点评,可有效解决这类难题之难点.关键词：解析几
2、何；综合题；高考题例；解题策略解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一, 而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点, 很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.一、全面审题，分部转化由于解析几何综合题具
3、有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形） ，通过审结论明确解题目标。但是，由于条件和结论距离甚远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。例 1（2011
4、 年湖南卷理 21）如图 1，椭圆 的离心率为 ，x 轴被曲线21:byaxC)0(12322:xyc截得的线段长等于 的长半轴长b(1)求 的方程；21、图 1(2)设 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 相交于点2C2C分别与 相交于点 D、E.BA、 ,1证明： ;ED记 的面积分别是 问：是否存在直线 l，使得、 ,21S、 ?3217S请说明理由.解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线 l 与 相交问题.第2C（1）问易得 的方程分别为21C、 .1,422xyx第(2)问，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线 l 与 相交于点 A、B，2实施
5、如下转化即可使问题获得解决:.1MBAkMED第(2)问为存在性问题，假设存在直线 l 满足 ，需要分别求出 、 的表327S1S2达式，由 与 ，则求出点 A、B 与 D、E 的坐标即可.A设直线 MA 的斜率为 ，则直线的方程为 ，由 解得 或1k1ykx12ykx01y，则点 A 的坐标为12xky21(,)又直线 MB 的斜率为 ，同理可得点 B 的坐标为 .1k 21(,)k【点评】利用类比推理，直接得到点 B 的坐标，节省了运算.于是22 11 121| |.2 |SMAkkk又由 得 ，1240ykx211(4)80x解得 或 ，则点 D 的坐标为 ；01xy12184k2118
6、4(,)k又直线的斜率为 ，同理可得点 E 的坐标 ，1k2112(,)4k于是 ，2123()|kSMD因此 .2112(47)6k由题意知， ，解得 或 .211()32214k21又由点 A、B 的坐标可知， ，所以121kk3.2故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为 和 .yx【点评】若直接设 AB 的方程为 y=kx 与抛物线 的方程联立，可以用 k 表示出 ，但用2C1Sk 表示 的运算就复杂了.所以注意运用的结论，即 与 ，转化为直2S MDEAB线 MA(MD)与 、 的关系，进而把 、 都用 MA 的斜率 表示，通过点 A、B 的坐标1C21S21完成了与 k
7、的“对接”.二、设而不求，整体处理在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数） ，如点的坐标、直线方程、圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键.要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越功效.例 2（2011 年浙江卷理 21）已知抛物线 ，圆 的圆心为点 M.1:C2xy2:2(4)1xy（1）求点 M 到抛物线 的准线的距离；1（2）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点） ，过点 P 作圆 的2C两条切线，交抛物线 于 A、B 两点，若过 M、P 两点的直线 l 垂足于AB，求
8、直线 l 的方程 .解析：（1）易得圆心 M(0,4)到准线的距离为 .417（2）本题涉及三个动点 P、A、B，两条动直线 AB，l 两种位置关系：相切、垂直，要求直线 l 的方程，需求 l 的斜率或点 P 的坐标,离已知条件甚远,所以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.设 ， 、 由题意得 ， ， .),(2aP),(21t)(2t0a12t【点评】利用点 P、A、B 在抛物线 上,巧设点的坐 标,较少了变量个数，使得以1:Cxy下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点.所以 PA 方程为 ,即 .)(122aty 0)(11atyx
9、t因为 PA 与圆 M 相切，所以 ,即 .)(|4|21td 056)(212at同理 ,056)1(222tta所以 、 是关于 t 的方程 的两个根.t 0562ata所以 ， .21121而 = .21tkABat【点评】整体求出、整体代换的整体策略在 这里得到了充分地体 现！至此， 问题的解决便水到渠成.又 ，因为 ，所以 ，akMP42MPAB1MPABk即 ，解得 .162 523a所以 ，所以直线 的方程为 .15234akMP l 4153xy三、 数形结合，减少运算解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题” ，核心思想是“数形结合” ，注意利用图形特点和性质,往往可以减
10、少运算量,使问题获得简捷解决.例 3(2010 年陕西卷理 20）如图，椭圆 的顶点为 焦点为2:axC1by,21A、,21B、,21F、,7|1BA21BAs21FBS（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 n 是过原点的直线，l 是与 n 垂直相交于 P 点且与椭圆相交于 A、 B 两点的直线， 是否存在上述直线 l 使|1.OP成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请1P说明理由解析: （1）易得 .1342yx(2)由条件 ,则有 ，|,OPAB1|2OPBA即 可得 所以 ，故,|,RtPt.90AB当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 l：y=kx+m ，由 ，得|1O，即1|
11、km2.1k将直线 l 的方程代入椭圆方程，整理得 3( .0124.8)42mxk设点 A、 B 的坐标分别为 ，则 .,),(21yx、 221 43,3kx由上得 ，即 ，再把120Oxy )(k)(21x代人并化简，得 ，将 代入得21x、722m2km，矛盾即此时直线 l 不存在.0)(5k当 l 垂直于 x 轴时，可验证也不存在.【点评】由条件 得到 ，再由三角形相似关系推|1,OPAB2|APBO得 ，从而得到 ，这是一个由数到形、又由形到数的推理过程,既为AB20y本题的解决找到了突破口，又大大减缩了运算过程.如果单纯 从已知的向量等式出发， 设出P、A、B 的坐标 代入 ，来
12、 寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，但运算过程较为繁琐.也可用下列向量方法推得 ：AB,()PlABPA()110,OPBO .四、特“形”引路，先知后证在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明. 例 4（2005 年全国卷 I理 21）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 a=（3，-1 ）共线B（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 MA，求证： 为定值.(,)OR2解析：（1）易得离心率 .36e（2）设出 M 点的坐标，将
13、条件中的等式用坐标表示 .，则12(,)(,)(,)(,xyOxyx)y21,yx由（1）问的结果，得椭圆方程为 ，将点 M 坐标代入即得23b(x.)(3)212y展开，围绕解题目标：证明 为定值，故要分离出 .2 2，于是2212()(xyx 21213)()byxy)3212 b再如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向.此时，如果先通过点M 的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.当点 M 运动到点 A 时，则 ,即可发现定值是 11,012【点评】抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法.于是,只要证明 ,这样解答方向明确，问题迎刃而解 .过程如下:32121yx)(
14、312121 cyx 233)(4)( 221212 ccxcxx .,02bc例 5 以 为焦点的椭圆 C 过点)1,0()(1F、)1,2(P（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在),3(S一个定点 T，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：第（1）问易得椭圆 C 的方程为 .12yx第（2）问为定点问题,如果直接设定点 T 的坐标,转化为恒成立问题去解决,则运算非常繁琐；若研究直线 l 的两种特殊情况：当直线 l 与 x 轴重合时，以 AB 为直
15、径的圆是 ;12yx当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆是 916)3(2yx由 解得两圆相切于点（1，0） 。因此所求的点 T 如果存在，只能是96)31(,22yx.0,再给出一般情况下的证明：当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T(1,0), 若直线 l 不垂直于 x 轴，可设直线 l 的方程为 )31(xky由 得,12),3(yxk 22293)(k.0记点 ，则),(),(21yxBA、 .291,22kxk又因为 1(,)(,)TxyTy1212()TABxy2222 93)1(9)( kkk,0所以 ，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0)
16、. TAB即在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件.五、耐心细致，谨防错漏以上介绍的四种策略,分别对应了五道例题作重点说明.事实上,解答一道解析几何综合题几乎都要用到以上策略，而且因为题目的长度大、难度大、运算量大，在学生找到入口形成思路的的前提下,还会出现因某一步运算出错导致半途而废,或沿着错误的结果做下去的会而不对的现象,还会因考虑不周出现对而不全的现象.如:在设直线方程时忽略了斜率不存在的情况,在消元转化为一元二次方程后忽略了对判别式的讨论,等等.所以在这部分的解题中,要特别注重培养学生细心缜密的做题习惯,指导学生掌握合理简捷的运算方法,培养学生坚强的意志力,有一种坚持到底定能成功的自信.当目标确定时，坚持比方法更重要！参考文献：1陆伟平从一道高考题谈解析几何运算的简化策略J中国数学教育(高中版) ，2011(4)：32-342夏繁军解析几何综合问题.中学数学教学参考(上旬)J2012(1/2)：101-108
