1、 1第 4 单元万有引力与航天来源:万有引力定律记一记1开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 ，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的 公转周期的二次方的比值都相等，表达式： k。a3T22万有引力定律(1)公式：FG ，其中 G6.6710 11 Nm2/kg2，叫引力常量。m1m2r2(2)公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均 匀的球体可视为质点，r 是两球
2、心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。 来源:中教网试一试1一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的( )A0.25 倍 B0.5 倍C2.0 倍 D4.0 倍解析：选 C F 引 2F 地 ，故 C 项正确。GMmr212GM0m12r02 2GM0mr20卫星运行规律及宇宙速度记一记1地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24h86 400 s。2(3)角速度
3、一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据 G m r 得 r 4.24104 km，卫星离地面高度 hr R 6R(为恒量)。Mmr2 42T2 3GMT242来源:中教网(5)速率一定：运动速度 v2 r/T3.07 km/s( 为恒量)。(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。2极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。3三种宇宙速度比较宇宙速度
4、 数值 (km/s) 意义第一宇宙速度7.9这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/sv11.2 km/s，物体绕地球运行( 环绕速度)第二宇宙速度11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/sv16.7 km/s，物体绕太阳运行( 脱离速度)第三宇宙速度来源:16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度)试一试2由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )A质量可以不同 B轨道半径可以不同C轨道平面可以不同 D速率可以不同解析：选 A 同步卫星
5、轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定，但质量可以不同，A 项正确。来源:学科网经典时空观和相对论时空观来源:学科网记一记1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。来源: 中教网3经典力学有它的适用范围3只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。试一试3下列说法正确的是( )A牛顿运动定律就是经典力学B经典力学的基础是牛顿运动定律C牛顿运动定律可以解决自然界中所
6、有的问题D经典力学可以解决自然界中所有的问题解析：选 B 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正确解决此类问题。人造卫星的运行问题1.一种模型无论自然天体(如地球、月亮 )还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止 )做匀速圆周运动。2两条思路(1)万有引力提供向心力即 G ma。来源:中.教.网 z.z.s.tepMmr2(2)天体对其表面的物体的万有引力近似
7、等 于重力，即 mg 或 gR2GM(R、g 分别是天体的半径、GMmR2表面重力加速度)，公式 gR2 GM，应用广泛，称“黄金代换” 。3三个物体求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星) 之间的关系。比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星向心力来源 万有引力的分力 万有引力向心力方向 指向地心重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力线速度 来源:中国教育出版网 来源:学& 科&网 Z&X&X&K v1 1R v2来源:学*科*网GMR v3 3(Rh)来源:学&科&网GMR h4v1v3v2(v2 为第一宇宙速度)1 自 2GMR3
8、 3 自 GMR h3角速度1 32a1 R21a2 R2GMR2 a3 (Rh)23GMR h2向心加速度a1a3a24.四个关系“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。 越高越慢GMmr2 ma a GMr2 a 1r2mv2r v GMr v 1rm2r GMr3 1r3m42T2r T 42r3GM T r3例 1 (2012浙江高考)如图 441 所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )图 441A太阳对各小行星的引力相同B各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C小行星带内侧
9、小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值尝试解题 因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到太阳中心的距离，根据万有引力公式G m m ( )2rma，知太阳对各小行星的引力不相同，各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，则Mmr2 v2r 2T选项 A、 B 错误，由 a 和 v2 ，r 越小，a 越大，r 越大，v 越小，则选项 C 正确，D 错误。GMr2 GMr答案 C5(1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小，但不同轨道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。(2)要熟记经常用到的常数，如
10、地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕地球公转一周为一 月 (27.3 天)等。天体质量和密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R。由于 G mg ，故天体质量 M ，天体密度 。MmR2 gR2G MV M43R3 3g4GR(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r。由万有引力等于向心力，即 G m r，得出中心天体质量 M ；Mmr2 42T2 42r3GT2若已知天体的半径 R，则天体的平均密度 ；MV M43R3 3r3GT2R3若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ，可见，只要
11、测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估测出中心天体的密度。3GT2例 2 (20 12福建高考) 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为 ( )A. B.mv2GN mv4GNC. D.Nv2Gm Nv4Gm审题指导(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系。(2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系。尝试解题 由题意知行星表面的重力加速度为 g ，又在行星表面有 g ，卫星在行星表面运行时有
12、Nm GMR26mgm ，联立解得 M ，故选项 B 正确。v2R mv4GN答案 B估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量而非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星，才有 rR；计算天体密度时，V R3 中的“R” 只能是中心天体的半径。43卫星的变轨问题1.圆轨道上的稳定运行G m mr 2mr( )2Mmr2 v2r 2T2变轨运行分析(1)当 v 增大时，所需向心力 m 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来v2r的圆轨道，轨道半径变大，但卫星
13、一旦进入新的轨道运行，由 v 知其运行速度要减小，但重力势能、GMr机械能均增加。(2)当卫星的速度突然减小时，向心力 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向mv2r心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由 v 知运行速度将增大，但GMr重力势能、机械能均减少。例 3 2012 年 6 月 16 日 18 时 37 分，执行我国首次载人交会对接任务的 “神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面 343 公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于 6 月 29日 10 时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是(
14、 )A若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量B在对接前， “神舟九号”轨道应稍低于 “天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接C在对接前，应让“神舟九号 ”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接7D “神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速审题指导(1)航天器在圆形轨道上运行时，地球对航天器的万有引力恰好提供向心力。(2)航天器要实现变轨，应增大或减小其运行速率。尝试解题 由 m (Rh) 可知，要计算出地球的质量，除 G、h、T 已知外，还必须知道地球的半径GMmR h2 42T2R，
15、故 A 错误；在对接前， “神舟九号”的轨道应稍低于“ 天宫一号”的轨道， “神舟九号”加速后做离心运动，才能到达较高轨道与“天宫一号”实现对接，故 B 正确，C 错误；“神舟九号”返回地面时，应在圆形轨道上先减速，才能做近心运动，D 正确。答案 BD(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由 v 判断。GMr(2)卫星绕过不同轨道上的同一点( 切点)时，其加速度大小关系可用 F ma 比较得出。GMmr2万有引力定律与其他知识的综合应用例 4 我国探月的“嫦娥”工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球。假设探月宇航员站在月球表面一
16、斜坡上的 M 点，并沿水平方向以初速度 v0 抛出一个小球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 N，斜面的倾角为 ，如图 442 所示。将月球视为密度均匀、半径为 r 的球体，引力恒量为 G，则月球的密度为( )图 442A. B.3v0tan 4Grt 3v0tan GrtC. D.3v0tan 2Grt v0tan Grt审题指导第一步：抓关键点关键点 获取信息8从 M 点平抛落到 N 点小球平抛的竖直位移 y 与水平位移 x 间满足 tan yx宇航员在月球表面平抛小球 小球运动的加速度为月球表面的重力加速度第二步：找突破口要求月球的密度 应用关系式 tan ，求出月球表面的重力加速度
17、 应用物体的重力等于月球yx对物体的万有引力 月球质量 由 得出月球密度。MV尝试解题 根据平抛运动规律有 sin ， cos v 0t，两式相比得月球表面的重力加速度 g ，MNgt22 MN 2v0tan t月球对表面物体的万有引力等于物体的重力，有 mg，月球的密度 ，解以上三式得 GMmr2 M4r33，故 C 正确。3v0tan 2Grt答案 C天体表面的重力加速度一方面与天体有关(gG )，另一方面又可以从相关运动(平抛运动、自由落体MR2运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。Error! Error!Error! mgGMmR2g9(1)
18、两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系：r 1r 2L。典例 (2012重庆高考)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 71，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕 O 点运动的( )A轨道半径约为卡戎的17B角速度大小约为卡戎的17C线速度大小约为卡戎的 7 倍D向心力大小约为卡戎的 7 倍解析 两星绕 连线上某点稳定转动，
19、则转动周期和角速度相同，根据两星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，两星受到的万有引力为相互作用力，有 ， ，解之得Gm1m2L2 42m1R1T2 Gm1m2L2 42m2R2T2 ，A 选项正确，B 选项错误；线速度 vR ， ，C 选项错误；因两星向心力均由大小R1R2 m2m1 17 v1v2 R1R2 17相等的相互作用的万有引力提供，D 选项错误。答案 A题后悟道我们通常研究卫星绕地球 或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙双星问题中，行星间距与轨道半径是不同的，这点要引起重视。银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由
20、质量不等的星体 S1 和 S2 构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为 T，S 1 到 C 点的距模型概述在天体运动中，将两颗彼此相距较近且在相互之间万有引力作用下，绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。10离为 r1，S 1 和 S2 的距离为 r，已知引力常量为 G。由此可求出 S2 的质量为( )A. B.42r2r r1GT2 4r21GT2C. D.42r2GT2 42r2r1GT2解析：选 D 取 S1 为 研究对象， S1 做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得： G m 1( )2r1，得：m1m2
21、r2 2Tm2 ，所以选项 D 正确。42r2r1GT2【当堂练习】一、单项选择题1.牛顿有句名言：“如果说我比笛卡尔看得更远，那是因为我站在巨人的肩上 ”就牛顿发现万有引力定律而言，起关键作用的这位“巨人”是指( )A伽利略 B哥白尼C开普勒 D胡克2.宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的 9 倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )A3 年 B9 年C27 年 D81 年3.(2012新课标卷)假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 ( )A1 B
22、1dR dRC( )2 D( )2R dR RR d4.(2012北京高考卷)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是 ( )A分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期B沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合5.我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24 小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要 24 小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48 小时轨道”和“ 72 小时轨道” ；最后奔向月球如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每
23、次变轨完成后与变轨前相比( )A卫星动能增大，引力势能减小B卫星动能增大，引力势能增大C卫星动能减小，引力势能减小D卫星动能减小，引力势能增大6.星球上的物体脱离该星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度星球的第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2 v1.已知某星球的半径为 r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度 g 的 ，216不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )11A. B. gr16grC. D. gr13gr 137.(2013一中模拟)“嫦娥二号 ”卫星发射后直接进入近地点高度 200 千米、远地点高度约 38 万千米的地月转移轨道直接奔月，如图所示当
24、卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹车” ，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又不会撞上月球，并由此进入近月点 100 千米、周期 12小时的椭圆轨道 a.再经过两次轨道调整，进入 100 千米的极月圆轨道 b，轨道 a 和 b 相切于 P 点下列说法正确的是 ( )A “嫦娥二号”卫星的发射速度大于 7.9 km/s，小于 11.2 km/sB “嫦娥二号”卫星的发射速度大于 11.2 km/sC “嫦娥二号”卫星在 a、b 轨道经过 P 点的速度 vav bD “嫦娥二号”卫星在 a、b 轨道经过 P 点的加速度分别为 aa、a b，则 aaab8.据报道，天文学家近
25、日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球” ，名为“55 Cancri e”该行星绕母星(中心天体) 运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 ，母星的体积约为太阳的 60 倍假设母星与太阳1480密度相同， “55 Cancri e”与地球做匀速圆周运动，则“55 Cancri e” 与地球的 ( )A轨道半径之比约为360480B轨道半径之比约为3604802C向心加速度之比约为 3604802D向心加速度之比约为 3604809.(2013福建卷)设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视为 r 的圆已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足 ( )AGM BGM
26、42r3T2 42r2T2CGM DGM 42r2T3 4r3T2二、多项选择题10.(2013新课标卷)2012 年 6 月 18 日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 343km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气下列说法正确的是 ( )A为实现对接两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用11.(2013浙江卷)如图所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设12地球质量为 M，半径为 R.下列说法正确的是 ( )A地球与一颗卫星之间的引力大小为GMmr R2B一颗卫星对地球的引力大小为GMmr2C两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2D三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2
