1、1 空间直角坐标系与矢量代数 原点到定点两点间的距离： ，22dxyz22dxyz 两定点间的距离： 212121()()() 点 将已知线段 分为定比 ，求点 的坐标：MABM， ， ，中点为 ， ，12x12y12z12x12yz 零矢量方向为任意。 两矢量相等：长度相等、平行、方向相同 矢量的加法适用于交换律、结合律。 矢量与数量的乘法：矢量 A 乘以数量 m 等于矢量 A 的模乘以数量|m|，积与矢量A 方向平行，如果 m 为正，则方向与 A 相同，如果 m 为负，则方向与 A 相反。适用分配律、交换律、结合律。 矢量 在任何轴 上的投影等于矢量的模乘以轴与矢量间的夹角 的余弦，记作B
2、u ；一矢量与其投影轴成锐角时，矢量的投影为正，成钝角为负，成uPrjcos直角为零。 相等的矢量在同一轴上的投影相等。 有限个矢量的和在任何轴上的投影等于各个矢量在同轴上的投影的和。 矢量在三坐标轴的投影 X、 Y、 Z 叫矢量 A 的坐标记作 A=X，Y，Z 。 矢量的模的平方等于它在坐标轴上各投影的平方的和。 矢量与坐标轴的夹角的余弦叫矢量的方向余弦：， ，22cosYZ22cosYZ22cosYZ任何矢量的方向余弦的平方和恒等于 1： 21与方向余弦成比例的一组实数 为矢量的方向数： 。,mnpcoscosmnp 两矢量的数量积等于两矢量的模和它们间的角的余弦的积。记作：两矢量的数量积
3、等于其中一矢量的模和另一矢量在这矢量Acos(,)ABB的方向上的投影的积。 ABPrj, PrjBA 当且仅当两矢量之一为零矢量或两矢量垂直时，它们的数量积才为零。两矢量垂直的充分必要条件是它们的数量等于零。 矢量的数量积具有分配律、交换律和结合律。2 两矢量垂直的充分必要条件为： 12120XYZ 两矢量的夹角的余弦等于它们的数量积与模的乘积之商： ，用坐标表cosAB示则为： ，用两矢量的方向余弦表示则为：1212cos YZXX121212csocso 矢量的矢量积：两矢量 A，B 的矢量积 C 的模在数值等于以两矢量 A，B 为两边的平等四边形面积；矢量的矢量积 C 的同时垂直于两矢
4、量 A，B；矢量 C 的正方向按照“右手法则”确定。矢量积记作 C=AB。 矢量积的性质： 当且仅当两矢量之一为零矢量或两矢量平行时，其矢量积为零； 矢量积对于因子对调要改变符号，即 AB= -( BA)，不具备交换律； 矢量的矢量积与数量相乘有结合律，即( A)B= ( AB)； 矢量的矢量积具有分配律，即(A+B)C= AC+ BC； 矢量积的坐标表示法：；故两矢量平行的充分必要条件为1122(,) ijkXYZij为 单 位 矢 量AB=0，即 ；1122= 矢量的混合积：先作二矢量 A 和 B 的矢量积 AB，再与第三个矢量 C 作数量积为混合积，记作 。C 轮 序 置 换 三 矢 量
5、 混 合 积 的 三 个 因 子 ， 其 积 不 变 ， 对 调 两 个 相 邻 的 因 子 ， 要 改 变符 号 ， 即；()()()()()()ABABACBAB 矢量的混合积 = 是这样的一个数，它的绝对值表示以矢量C为棱的平行六面体的体积，如果矢量 组成右手系，那末积的符, ,号为正，组成左手系，积的符号为负。 曲面方程与曲线方程 球面方程： 。222()()()xaybzcR 母线平行于坐标轴的柱面方程(二次曲面不含立标)： 圆柱面方程： ( 为圆柱半径)220a3 椭圆柱面方程：210xyab 双曲柱面方程：2 抛物柱面方程： 20ypx 空间曲线作为两曲面的交线：设 和 为两个曲
6、面方程，它1(,)0Fyz2(,)0Fxyz们的交线为 ，则方程组 ， 为 L 的方程。L1(,)xyz2x 空间曲线的参数方程： (),ttzt 螺旋线： (其中： 为螺旋线上升的角度，cos,ing)xryrkr为螺旋线绕立轴旋转的角度，螺距 )t 2th 空间曲线在坐标面上的投影：曲线 L 方程组 ， 消去变量1(,0Fxyz2(,)0Fxyz后所得方程 ， 即为 L 在 平面投影的方程。z(,)0FxyzxO 空间的平面与直线 若一矢量(非零矢量)垂直于一已知平面，则矢量为平面的法线矢量。点法式方程： 或000()()()AxByCz0AxByCzD 任何平面可用 的一次方程来表示,z
7、 的一次方程 表示一个平面，其中 常数，且不,xyzD,同时为零。 平面一般方程 0AByCz 若 时变成 表示通过原点的平面。0Dx 若 时变成 表示平行(或通过) 轴的平面。yDz 若 时变成 表示平行(或重合于) 面的平面,AB0CzxOy 平面的截距式方程： (其中 分别为平面在 轴上的截距)1xabc,abc,z 点到平面的距离：平面的一般式方程 与平面外一点0AxByCD4的距离1(,)Mxyz1122AxByCzDd 两平面间的夹角等于两平面法线矢量间的夹角1212cos AB两平面垂直的充分必要条件是 12120ABC两平面平行的充分必要条件是 22 直线作为两平面的交线(空间
8、直线)的一般方程： 11220AxByCzD空间直线的投影式方程： ( 各为常数)。xpzqyrs,rs 直线的矢量式方程： ( 是直线的方向矢量， 为参数)0t t直线的参数方程： ,xamybntzcpt直线的标准方程： ( 为直线的方向数),将直线一般方程转成标准方程： 111222 npBCAB 两直线的标准方程为： 、xaybzcmnpxaybzcmnp夹角 222cos np 两直线垂直的充分必要条件是 0(cos)np 两直线平等的充分必要条件为 m 直线方程为 ，平面方程为 ，则直线与平面xaybzcmnp 0AxByCzD5的夹角： 222sin AmBnCp 直线与平面垂直
9、的充分必要条件： ABCmnp 直线与平面平行的充分必要条件： 0 直线方程为 ，平面方程为 ，设直线方程的xaybzcmnpAxByCzD比值为 ，则得 ，代入平面方程 中，得t,ttt0：()()0ABnCptAaBbCcD 若 ，则得 ，求得平面与直线交点坐标)mAaBbCcDtmnp 若 ，则直线与平面平行，且无交点。0,ABnp0c 若 ，则直线与平面重合。CAaBb 二次曲面 椭球面：方程为221xyzabc 若 则方程变成 ，表示一个由椭圆 绕短轴旋c22xyzac21xzac转而成的扁旋转椭球面。 若 则方程变成 ，表示一个由椭圆 绕长轴,abc221xyzb2xyb旋转而成的
10、长旋转椭球面。 若 则方程变成 ，表示一个以原点为中心，以 为半径22xyzaa的球面。 单叶双曲面，方程为： ，其2222221, 1, 1xyzxyzabcabcabc中 为双曲面的半轴。,abc6仅以 为例：221xyzac 平面 截得的截痕为一椭圆 ，平行于平面 的平面(0)Oz21xyabxOy截得的截痕也为一椭圆 ；h22hc 平面 截得的截痕为一双曲线 ，平行于平面 的平面(0)xOzy21xzaxOz截得的截痕也为一椭圆 ；h22zhcb 平面 截得的截痕为一双曲线 ，平行于平面 的平面(0)yOzx21yzxOz截得的截痕也为一椭圆h22zhbca 若 ，叫单叶旋转双曲面。a
11、b 双叶双曲面，方程为2222221, 1, 1xyzxyzxyzaccabc仅以 为例：221xyzabc 平面 与此面不相交，平行于平面 的平面，只有当 才能相(0)OxOzhb遇， 时截痕为一双曲线 ； = 时截痕为一对点，叫顶点。hb21xyabhb 平面 或平行于平面 的平面( )截痕为一双曲线。若 时(0)xyzxac叫双叶旋转双曲面。 椭圆抛物面，方程：2xyzpq(,)同 号 坐标面 切曲面于原点； ( )截曲面为一椭圆 ，Oyh02xyzphq( )不曲面不相交。zh07 坐标面 ( )切曲面为抛物线： ；平行于 ， 截曲面为xOz0y2xpzxOzyh抛物线： 。坐标面 (
12、 )及平行于 ， 截曲面亦22hpqO0y为抛物线。 若 ，方程变成 ，表示由抛物线 旋转而得，叫旋转抛pq2xyzp2xpz物面。 双曲抛物面：方程： ( 同号)亦叫鞍形双曲面。2xyzq, 坐标面 截痕为一对相交于原点的直线： ，(0)xOyz 02xypq；平行于 的平面( )截曲面于双曲线 ，2pqxOyzh21xyh当 ，它的实轴与 轴平行；当 ，它的实轴与 轴平行。0h0 坐标面 截痕为抛物线： ；平行于 平面( )截痕亦()xOzy2pzxOzy为抛物线： 。22()hpzq 坐标面 及平行于 平面( )截痕亦为抛物线，(0)yzxyOxh 二次锥面 由二次齐次方程 ， ，220yzabc220xyzabc确定的曲面；以 为例，若 ，方程变成220xyzabc220xyzabc，表示以 轴为旋转轴的旋转锥面。22z
