1、中央电大经济数学基础复习资料 第 1 页 共 19 页中央电大经济数学基础复习资料 第 2 页 共 19 页21)(,1)(,)1(.4 xxffxf 中央电大经济数学基础复习资料 第 3 页 共 19 页中央电大经济数学基础复习资料 第 4 页 共 19 页中央电大经济数学基础复习资料 第 5 页 共 19 页中央电大经济数学基础复习资料 第 6 页 共 19 页4. 5. 6. 7.已知 ，求 )(xy8.已知 ，求xflnsi2)(f9.已知 ，求 yco510.已知 ，求32lxdy11.设 ，求xeyx5sincody12.设 ，求2ta313.已知 ，求sicxy)(y14.已知
2、，求e53ln15.由方程 确定 是 的隐函数，求2)1n(ex)(xy16.由方程 确定 是 的隐函数，求0siy17.设函数 由方程 确定，求)(xy118.由方程 确定 是 的隐函数，求eycosxdy1. 2. 3.xdsin4.xln)1(5. 6. 7. 8. 9.10)ln(edx10.求微分方程 满足初始条件 的特解。11.求微分方程 满足初始条件 的特解。3)1(y12.求微分方程 满足初始条件 的特解。x)3sin(4lm23xx 2)1tan(lim1xx 625)3(1)(lmxyxc)( 0x四.求积分和解微分方程 dx21in de3l02xe1l dxe21l2c
3、os2xy4703exyln中央电大经济数学基础复习资料 第 7 页 共 19 页13.求微分方程 的通解。yxylnta14.求微分方程 的通解。15.求微分方程 的通解。yx216.求微分方程 的通解。sin五.证明题1.试证：设 ， ， 均为 阶对称矩阵，则 。ABnBA2.试证：设 为 阶矩阵，若 ，则03A21)(II3.已知矩阵 ，且 ，试证明 是可逆矩 阵，并求 。2 14.设 阶矩阵 满足 ，证明 是对称矩阵 。nIIT,25.设 ， 均为 阶对称矩阵 ，则 也是对称矩阵 。ABB六.计算矩阵和解线性方程组1.设矩阵 ， ，求 BAIT)2(2.设矩阵 ，计算 CT3.设矩阵
4、，求 4.设矩阵 ，求逆矩阵1A 1A5.设 矩 阵 ，计 算 6.设 矩 阵 ， ，求1)(B 1)(B7.解矩阵方程 8.解矩阵方程9.设线性方程组 ，讨论当 为何值时 ，方程 组无解，有唯一解，有无 穷多解。ba,10.设线性方程组 ，求其系数矩 阵和的增广矩 阵的秩，并判断其解的情况。11.求齐次线性方程组的一般解12.求线性方程组的一般解13420301021A213B05223112x03421xx1645321xx)(1l12436A 246,20CB142,0B32X 53Xax3210 420中央电大经济数学基础复习资料 第 8 页 共 19 页13.设齐次线性方程组 ，问
5、取何值时 方程组有非零解，并求一般解。14.当 取何值时，方程组 有解？并求一般解。15.已知线性方程组 的增广矩阵经初等行变换化为 ，问 取何值时，方bAX 程组 有解？当方程组有解时，求方程 组 的一般解。bbAX七.应用题1.设生产某种产品 个单位时的成本函数为： （万元），求：（1）当 时的总成本、平x xxC625.01)(10x均成本和边际成本；（2）当产量 为多少时，平均成本最小？2.某 厂 生 产 一 批 产 品 ，其 固 定 成 本 为 2000 元 ，每 生 产 一 吨 产 品 的 成 本 为 60 元 ，对 这 种 产 品 的 市 场 需 求 规 律 为（ 为需求量， 为
6、价格）。 试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？pq10qp3.设 某 工 厂 生 产 的 固 定 成 本 为 50000 元 ，每 生 产 一 个 单 位 产 品 成 本 增 加 100 元 。又 已 知 需 求 函 数 ，其pq420中 为价格， 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润。4.某厂生产某种产品 件时的总成本函数为 （元），单位销售价格为 （元/q 2.420)(qqC 1.件），问产量为多少时可使利润 达到最大？最大利润是多少。5.某厂每天生产某种产品 件的成本函数 （元）。为使平均成本最低，每天 产量应为多980365
7、.)(2少？此时，每件产品平均成本多少？6.已知某厂生产 件产品的成本为 （万元），要使平均成本最少，应生产多少件产品？q7.投资某产品的固定成本为 （万元），且 边际成本为 （万元/ 百台）。试求产量由 4 百台增加到 636402)(xC百台时总成本的增加量，及产 量为多少时，可使平均成本降到最低？8.已知某产品的边际成本为 （万元/百台），固定成本为 0，边际收益 （万元/百台）。问xC8)( xR210)(产量为多少时利润最大？在最大利润的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？9.生产某产品的边际成本为 （万元/百台）， 边际收入 （万元/百台），其中 为产量。问：)( xx2
8、1)(（1）产量为多少时利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润有什么变化？10.已知某产品的边际成本为 （万元/百台）， 为产量（百台），固定成本为 18（万元），求最低平均成34)(xC本。11.设生产某产品的总成本为 ，其中 为产量（百吨），销售 百吨时的边际收入为)( x（万元/百吨），求：（1）利润最大的产量；（2）在利润最大的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变xR215)(化？08352321xx154312x 30011610)(qq中央电大经济数学基础复习资料 第 9 页 共 19 页中央电大经济数学基础复习资料 答案一.单项选择题1. D2. C3. 4
9、. A5. 6. 7. C8. B9. 10. 11. 12. A13. 14. B15. D16. B17. 18. 19. 20. 21. D22. 23. 24. C25. 26. A27. 28. B29. D30. 31. 32. 33. 34. D35. 36. 37. B38. 39. 40. A41. 42. 43. 44. 45. C二.填空题1. 2,52. )(3. 6x4. 5. 轴y6. 3.67. 25.04q8. 19. x10. 2 11. 012. ),2(),1,(13. 5.)y14. ,15. 016. 1x17. 18. 19. dxe220. 21.
10、 )1(22. ceFx23. 024. 025. 收敛的26. 27. 228. 29. 与 是同阶矩阵AB30. 431. 32. sntm,33. 034. 335. ABI1)(36. n37. 238. 无解39. -140. rn41. （其中 是43,x自由未知量）42. -143. 只有 0 解三.求极限和导数1. 2. 3. )10(2sinlm0x4412lim)2(1li423lim2 xxxx1li21xsinl0x 2)(li)()(li)(3(li 1121 xxxx li2snli)(1sinl 000 xxxx10pcxy3qos4231x3 26413中央电大
11、经济数学基础复习资料 第 10 页 共 19 页4. 5.6. 7. y8.9. 5lnsi2)co(5ln)5( coscos2cos2 xxxy则10.由则 dy11. )(cos5)(sin)(cos)( 4i5sin xxexex xxesinco5s4in则 dyco4in12.则13. 222 coslnsi)(cos)2(sin)si()(co) xxxxy xxx 14.15.在方程 两边对 求导，2)1ln(exyyx)()1l(2exyxy，0)()l( y)3sin(4lm23xx21tali1x 65)3()(limxx 2)13()(lim)3sin(l)3sin(1
12、l 33 xxxx 31)2()(cosli1li)2(1coli xxxx 625765 )3(1(lim/)3(limxxxx 265625 )02(1)(1li xx22 cosinlcos)(lncos2( xxxx )(lnl3)(ln)l( 31232 xx3l2d3l0)(1nyxxyxxy1)l(f xxx 1s2ilii is 2lcs3)(2l)(s1)2(ta2323 xxx ddxl3 e5553 l3l 中央电大经济数学基础复习资料 第 11 页 共 19 页则 )(xy16.在 方 程 两 边 对 求 导 ， ， ，0sinyex0)(sinyxe0)(cosyye
13、xyyex)(cos则17.在 方 程 两 边 对 求 导 ， ， ， ，yx)1(y )(yyeyy)1则 ，当 时 ，0故18.在 方 程 两 边 对 求 导 ， ，xeyx)cos( xeyxy)(cos( 1)(sinyexy，)sin(1in yey 则故四.求积分和解微分方程1. 2. 3. 4. dxsinx)(xdln)1(xln)(cico1xcos0)(in5. dxex23ln0)1( dxex123ln06. 7. 8.20cosxd)1)l(yxeco12)(x)(10)(x2cosinxcs4cxx224l)(yed10)si(1yxy dxedyin 356)1(
14、31ln0323l0 xxx eed)13ln12)ln1()l(2122 edxxe21lne d1(cdxxxx 2ln2)(22 cxdd 1os)(1si)1(si1si1sinee x121)l(l 41 x)(ln21xi中央电大经济数学基础复习资料 第 12 页 共 19 页9. dxe10)ln(10.由 ，令 则 )1()( 21)()( cdxexecdxeQey dPdxP 又 当 时 ， ，代 入 得1x1c故 特 解 为11.因 属于可分离变量的微分方程，两 边分离 变量得 xye32将 代入， ， dxey32两端同时积分， ， ， dxeye32再将初始条件 代入
15、， ， )1(故满足初始条件 的特解为：3y 32eexy12.由 ，令则 )ln()( 11)()( cdxeecdxeQey dxPdxP 又由 ，得1xyc故满足初始条件 的特解为 x13.因 属于可分离变量的微分方程，两 边分离 变量得 yylnta)1ln(xx102)cos412six110edxdxe10l )ln()(1 100 ee (,2 xccx 24)24( 33ln2lnxycotln1247yx2302yexxy2dx cexy312)3(1)(122xdec6ln (, cxcxdxx 2ln)(lnllnln(ll xy2l中央电大经济数学基础复习资料 第 13
16、 页 共 19 页将 代入， ，两端同时积分， ， ， ，cxylnsilnlxcysinlxcysinl则 xceysin14.由 ，得 ，令 则15.由 ， ，令 yx2x2 xQP2)(,1)(则 )( 1)()( cdecdeQeddP 2)(016.由 ， ，令xyxsin则 sin)( 11)()( cdxeecdxeQe dxPdP 五.证明题1.证明：因 ， ， ；又ATBTBATT)( BT)(故 。2.证明：因 IAIAIIII 0)( 33223222根据 ，可知1 21)(3.证明：因由 ，即A2得 ，或 ，可见 是可逆矩阵，并且IBIB1B4.证明： 由 ，2T而 ，
17、即TTAII2 T1)(0xsincoxsixdot1xdycotl1dy ytl xQxPln1)(,)(xln1l l)(1)()( cdeecdexQey dxPdxP )n(lnln1llxx )22xexxxce Qsi)(,)(sino( )(41)(422IBII 2I)(I)(4xe)i(sinll cx xxeysin1中央电大经济数学基础复习资料 第 14 页 共 19 页故 是 对称矩阵。A5.证明：因 ， ，TBT而 BABABATTT )()(故 是对称矩阵。六.计算矩阵和解线性方程组1.解 ：2.解： 3.解：由 则4.解：由10351242031 30)14201
18、2()2(BAIT 246020CT 02460 21074101271012436)(AI 21074210037721071 21073231A 12083014012401240)(I 213104123041230 )( )(423中央电大经济数学基础复习资料 第 15 页 共 19 页则5.解：因而故6.解：令 2435021031BAC由 54011145)(I 54201故 2531)(1CBA7.解：令 ， ，得矩 阵方程 ，4321BAX而则由 ，得BAX8.解：令 ， ，得矩 阵方程 ，5321 BXA21341A 143601B 12012020142)(AI 25103
19、52031 231042310430)(AI012)(12341 12341A )( )( 2 )(2中央电大经济数学基础复习资料 第 16 页 共 19 页而则由 ，得BXA9.解：由当 ，即 时 ，秩 秩 ，方 程 组 无 解 。03,1ba3,1ba)(A)(当 ，即 时 ，秩 秩 ，方 程 组 有 唯 一 解 ；)(当 ，即 时 ，秩 秩 ，方 程 组 有 无 穷 多 解 ；,)(32)(10.解：由则系数矩阵的秩 ，增广矩 阵的秩2)(A3)(A因为秩 秩 ，所以 该方程组无解。11.解：由因秩 ，齐次 线性方程组有非 0 解 （ 、 是自由未知量）42)(A 3x412.解 ：由
20、180921614251642315故秩 秩 ，方 程 组 有 无 穷 多 解 （其 中 是 自 由 未 知 量 ）)(A3x13.解 ：由 31024210210 ba 012120135120009431219321x 30121051320 50610383521 130251310231025312)(AI1 403832521A432x 1中央电大经济数学基础复习资料 第 17 页 共 19 页当 ，即 时，秩 ，方程组有非零解，055)(A32一般解为 （其 中 是 自 由 未 知 量 ）3x14.解 ：由当 时 ，秩 秩 ，方 程 组 有 无 穷 多 解 （其 中 是 自 由 未
21、 知 量 ）0)(A233x15.解 ：由 当 ，即 时 ，秩 秩 ，03)(A23方程组有无穷多解 （其中 、 是自由未知量）3x4七.应用题1.解：（ 1）由 ，xxC625.0)(得 ， 65.0)(xC则 万元1861025.)10(万元万元.)(C（2）由令 ，得 ，由 实际问题可知，当产量为 时平均成本最小0)(x2202.解：（1）成本函数 06qC由 ，得pq1则收入函数（2）利润函数21x 02615261026105144321x0116235x.）（ .5.1q1210)0()( qqR20140)6(12 qqCL中央电大经济数学基础复习资料 第 18 页 共 19 页
22、而令 ，得 ，由 实际问题可知，当产量为 200 吨时利润最大。0)(qL23.解 ：由成本函数 pppC 40250)40(151 收入函数 2)()(R则利润函数 250)(2) pLpp840)5420()2令 ，得 ，由由 实际问题可知，当价格为 300 元时利润最大。3最大利润为 （元）10253)( L4.解：由 ，01.401.4)( qqpqR 20.)()( qqCRL， )2令 ，得 ， （元）)(L5 1230250.( L由由实际问题可知当产量为 250 元时利润最大，最大利润为 1230 元5.解：因平均成本而令 ，得 ， （舍去），由实际问题可知，当 产量为 140
23、 件时平均成本最低。0)(qC1402q又平均成本为 （元/件）。6.解：因平均成本 10251025)( qqq而令 ，得 ， （舍去），由 实际问题 可知，当 产量为 50 件时平均成本最低。0)(qC5102q7.解： 由 （万元）1故产量由 4 百台增至 6 百台时总成本增加了 100 万元由)2(将 、 代入 ，得 、 万元0x3)(Ccxx40)(2363640)(2xxCqq51)142 qqq986.9836.0)(2 25.)98365. )2 7649836.1046)()4()(266 xdxdxx中央电大经济数学基础复习资料 第 19 页 共 19 页又 、令 ，得 或
24、 （舍去）0)(xC6x可见当产量为 6 百台时平均成本最低。8.解： 由)1(RL10)(令 ，得0)(x可见当产量为 10 件时利润最大。由 （元）)2(故利润减少了 12500 元。9.解：（1）由 xxCRxL10)()(令 ，得 （百台）0可见当产量为 10 百台时，利润 最大。（2）由 （万元）故利润减少了 20 万元。10.解：由将 、 代入 ，得 、0x18)(Ccxx32)(181832)(xxC而 ，令 ，得 （百台）， （万元）)(x39)(C故最低平均成本为 9 万元。11.解：（1）由 ，1)()CxxRL214)()(令 ，得0xL7可见当产量为 7 百吨时利润最大。（2）故利润减少了 1 万元。2361)(xC3412506)5()1()( 206 d201)50()1()(2120 xdxxLd422178)14()24()(28 xdx
