1、 帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题1、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数 增区间，则在此区间上 ()fx导函数 ，如已知函数 减区间，则在此区间上导函数 。()0fx()fx 0（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例 1.已知 R，函数 .（ R，e 为自然对数的底数）a2()xfa（1）若函数 内单调递减，求 a 的取值范围；1,x在（2）函数 是否为 R 上的单调函数，若是，求出 a 的取值范围；若不是，请说明 ()f理由.解： （1） 2-()exfxa= . 2-()(exa2-()exa上单调递减， 则
2、对 都成立，f要 使 在 -1, )0f1,对 都成立 . 2()0x1,x令 ，则2ga(,).g, . 1()032a（2）若函数 在 R 上单调递减，则 对 R 都成立()fx()0fx即 对 R 都成立. 2-(ea对 R 都成立e0,)x ax令 ，2()gx图象开口向上 不可能对 R 都成立 若函数 在 R 上单调递减，则 对 R 都成立，()fx0fx即 对 R 都成立，2-()exa对 R 都成立.e0,x22()40a故函数 不可能在 R 上单调递增.fx综上可知，函数 不可能是 R 上的单调函数 例 2：已知函数 ln3fxa,若函数 ()yfx的图像在点 (2,)f处的切
3、线的倾斜角为 45，对于任意 1,2t，函数 32/()mgxfx在区间 (,3)t上总不是单调函数，求 m的取值范围；解： /(2),af由32/2ln()(), ()3(4)2xxggxmx令 /0x得， 240m故 /()g两个根一正一负，即有且只有一个正根 函数 32/()xfx在区间 (,3)t上总不是单调函数/()0在 (,)t上有且只有实数根 / /02,()0,(3)ggt27 433mtt故 4mt，而 2yt在 1,单调减， 9，综合得 793m 例 3.已知函数 43ln)(xxf （）求函数 的单调区间；（）设 2)(bxg，若对任意 )2,0(1， ,1x，不等式1f
4、 恒成立，求实数 的取值范围解：（I） 431ln)(xx的定义域是 (,) 223f 由 0x及 )(f 得 1x；由 0及 )(xf得 310x或 ，故函数 )(f的单调递增区间是 )3,(；单调递减区间是 ),( （II）若对任意 2,01x， 1x，不等式 )(21xgf恒成立，问题等价于 maxin)()(gf， 由（I）可知，在 (0,2)上， 1x是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以 min1()()2ff； 2()4,gxbx当 1b时， ma()(1)5gb；当 2时， 2x4；当 时， ma()()8； 问题等价于125b或 214b或 1b解得
5、或 或 即 142b，所以实数 b的取值范围是 14,2。例 4设函数 ,2()ln,()fxmxhxa(1)当 a0 时， f(x) h(x)在(1，)上恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)当 m2 时，若函数 k(x) f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a 的 取值范围解：(1)由 a0， f(x) h(x)，可得 mlnx x， x(1，)，即 m .xlnx记 (x) ，则 f(x) h(x)在(1，)上恒成立等价于 m (x)min.xlnx求得 ( x)lnx 1ln2x当 x(1，e)， ( x)0；当 x(e，)时， ( x)0.故 (x)在 xe 处取得
6、极小值，也是最小值，即 (x)min (e)e，故 me.(2)函数 k(x) f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程 x2ln x a，在1,3上恰有两个相异实根令 g(x) x2ln，则 g( x)1 .2x当 x1,2)时， g( x)0；当 x(2,3时， g( x)0. g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数故 g(x)min g(2)22ln2.又 g(1)1， g(3)32ln3， g(1) g(3)，只需 g(2) a g(3)故 a 的取值范围是(2ln2,32ln3. 二、针对性练习1.已知函数 若函数 在1，4上是减函数，求实数
7、 a 的2()ln.fxx()2gfx取值范围。解：由 agl)(2，得 2)(a 又函数 xxln)(2为1，4上的单调减函数。则 0g在1 ，4上恒成立， 所以不等式 22xa在1，4 上恒成立即 在1 ，4上恒成立。 设 2)(x，显然 )(在1，4上为减函数， 所以 )(的最小值为 .2634 a的取值范围是 a 2.已知函数 ()1xfe（1）若存在 ，使 成立，求 的取值范围；4,ln310xe（2）当 0x时， 恒成立，求 t的取值范围.2()fxt解:（1） 1,aex即 ().afx令 10,.fe0x时，(),fx时，()0.fx()f在 ,上减，在 0,上增.又041,l
8、n3x时， ()fx的最大值在区间端点处取到.144(),ln,1ln33fe，4lnll0,3ff e(1)l,()fffx在41,ln3上最大值为1,e故 a的取值范围是a， （3）由已知得 0x时， 210xetx恒成立，设 ().xgt()12.xget由（2）知 1,xe当且仅当 0时等号成立，故 ()2()gttx，从而当 12,t即12t时， ()0),(xg为增函数，又 (0),g于是当 时， ,g即 2fxt，1t时符合题意. 由 1(0)xe可得 1(0),e从而当 2t时， 2()(),xxxxgtet故当 (0,ln)xt时， 0,(g为减函数，又 (0,g于是当 (,l2)t时， ),x即 2(),fxt故1,2t不符合题意.综上可得 t的取值范围为1,3.已知函数 ，设 在（0，2）上有极值，求 a 的取值范围.ln(xf)） 3h()xfa解：由 可得，3h(fa
