1、黑龙江省哈尔滨市第三中学 2015 届高三第一次模拟考试数学（理）试题）第 I 卷 （选择题, 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 集合 ， ，则031xP24xyQQPA B C D2,(2,(,3)(1,)2,2. 等差数列 的前 项和为 ，且 = ， = ，则公差 等于nanS36a4dA B C D 15233. 在 中， ， ， ，则 的面积为 ，C31A0BAC2CA B C D30456754. 下列函数在 上为减函数的是),(A B C D1xyxey)1ln(xy)2(xy5.
2、 方程 的解所在的区间为2log2A B C D ),5.0()5.1,()2,5.()5.,(6. 将函数 的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的一个xfsin8y可能取值为A B C D434047. 给出下列关于互不相同的直线 、 、 和平面 、 的四个命题：mln若 ， ，点 ，则 与 不共面；mAl 若 、 是异面直线， ， ，且 ， ，则 ；l/l/lnmn 若 ， ， ，则 ；/l/ml/ 若 ， ， ， ， ，则 ，lmAl/l/m/其中为真命题的是 A B C D 8. 变量 、 满足条件 ，则 的最小值为xy10xy2)(yxA B C D235295
3、9. 如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高，点 在射线 上，O1OAABPOC则 的最小值为PAA B 18C D42110. 如图，四棱锥 中， ， ， 和 都是等边三ACP90BADADC2PBAD角形，则异面直线 与 所成角的大小为A 90B 75C 6D 411. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若xy82FlPlQPFC，则 =QFP3A B C D 2533612. 设函数 在 上存在导数 ， ，有 ，在 上 ，若)(xfR)(xfR2)(xfxf),0(xf(，则实数 的取值范围为m484OPBDCPA24正视图4侧视图2俯视
4、图A B C D 2,),2),0(,2,)哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第卷 （非选择题, 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上 ）13. 正项等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和等于 na2164ana914. 某几何体的三视图如图所示， 则它的表面积为 15. 已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭圆的离心率1F2 P321PF为 ，双曲线的离心率 ，则 1e2e213e16定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足)(xfy,ba0x)(ba，则称函数
5、是 上的 “平均值函数” ， 是它的一个均值点，例abfxf)(0 )(xfy0x如 是 上的平均值函数， 就是它的均值点现有函数 是 上的平均2y1,0 mf3)(1,值函数，则实数 的取值范围是 m三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.（本小题满分 12 分）设 是锐角三角形，三个内角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，并且ABCABCabc.)3sin()si()in)(sin(s （）求角 的值；A（）若 ， ，求 ， （其中 ） 12CB7abcc18.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 ， ，令 .na)(3)1(11
6、nnnaa21nab（）证明：数列 是等差数列；nb（）求数列 的通项公式a19.（本小题满分 12 分）为等腰直角三角形， ， ， 、 分别是边 和 的中点，现ABC4BCA90ADEACB将 沿 折起，使面 面 ， 、 分别是边 DEDEHF和 的中点，平面 与 、 分别交于 、 两点HFIG（）求证： ；I/BC（）求二面角 的余弦值；GA（）求 的长AHICDBFGE20.（本小题满分 12 分）如图，抛物线 ： 与椭圆 ： 在第一象限的交点为 ， 为坐标原点，1Cpxy22C162yxBO为椭圆的右顶点， 的面积为 .AOAB38（）求抛物线 的方程；1（）过 点作直线 交 于 、
7、两点，射线 、 分别交 于 、 两点，记 和l1CDOCD2EFOE的面积分别为 和 ，问是否存在直线 ，使得ODS2l？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由7:3:21Sl21.（本小题满分 12 分）设函数 ，曲线 过点 ，且在点bxxaf )1ln()()2)1()(xfy)1,2e处的切线方程为 .0,(0y（）求 ， 的值；bOACBDyxEF（）证明：当 时， ；0x2)(xf（）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围mm请考生在第 22、23 、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，四边形
8、 是 的内接四边形，延长 和 相交于点 ， ，ABCDOBACDP41BA.21P（）求 的值；B（）若 为 的直径，且 ，DO1PA求 的长C23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是xOyl（ 是参数） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标24tyxt x C方程 .)cos(（）判断直线 与曲线 的位置关系；lC（）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围Myx24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21)(xxf（）解不等式 ；0（）若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围x
9、axf)(PACDO哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准来源:Z.X.X.K一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D B B C D B A B B二、填空题：13. 14. 15. 16. 1028(25)43(,4三、解答题：17.解：() BBBA 22 sin)i1cos23()sin1co3(sin ，4)ic422， 6 分23sinA() ， ，1cosbCB24bc又 ， ， bcAa3)(22 10， ， 12 分cb46c18.解：() ，)1()(3)1(1 nnnn aa，即 ， 是等差
10、数列 6 分1nna1nbn() ， ， 10 分b32， 12 分231na5na19. ()因为 、 分别是边 和 的中点，DEACB所以 ，B/因为 平面 ， 平面 ，HDH所以 平面/E因为 平面 ， 平面 ，平面 平面DBCEABCHIAED所以 HIED/又因为 ，BC所以 . 4 分I/() 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得， ， ，)0,(D),2(E)2,0(A， ， ，),13(F),()1,(H， ，)2,0(EA)0,(EF， ，1,CH,1DI设平面 的一个法向量为 ，则AGI ),(11zyxn， ，令 ，解得 ， ，则01nEB01yxz11x1y)1,(n
11、设平面 的一个法向量为 ，则CHI ),(22zyxn， ，令 ，解得 ，则02nI0221xzy21y)2,10(2n，153,cos21所以二面角 的余弦值为 8 分CGIA（）法（一） ，设)2,13(F)2,3(AF1),(0H则 ，解得 ， 2nG32AHICDBFGEzyx 12 分3142)(132AFG法（二）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 与 相似，CDJCHKJHKCA得 ，易证 ，所以 12 分2KGI/ 3142AF20. 解: ()因为 的面积为 ,所以 ，2 分OAB3686By代入椭圆方程得 ， )4,(抛物线的方程是： 4 分xy82() 存在直线 :
12、符合条件l041解：显然直线 不垂直于 轴，故直线 的方程可设为 ，yl 4xmy与 联立得 . xy823282m设 ,则)(),(21yDC32,11yy.6 分1221sinEFOCODySEFFEy由直线 OC 的斜率为,故直线 的方程为 ，与 联立得18yxOCxy18126y，同理 ，)264(2E )4(2F所以 8 分Ey 1)26)(1(yF可得 2236548m要使 ，只需 10 分712S22()73即 24891解得 ，1m所以存在直线 : 符合条件 12 分l04yx21.解：() ，bxaaf )1()ln(2)(，0b22(1)feee2e， 4 分1a() ，x
13、xf)1ln()(2设 ， ，2)g)0(xxg )1ln(2(， 在 上单调递增，(2l()0x xg,， 在 上单调递增， )(, 0)(gx 8 分2(xf（）设 ，22)1ln()(mxxh，xl12)() 中知 ， ，)1()()(22xxx)1ln(，mxh3)当 即 时， ， 在 单调递增， ，成立0220)(xh)(xh,00)(hx当 即 时， ，m)21(ln，令 ，得 ，mxh3)1ln(2)( 0)(xh030e当 时， ， 在 上单调递减 ，不成立0,h,x0)(hx综上， 12 分222. ()由 ， ，得 与 相似，PADCBAPDCB设 则有,xy，224y所以 5 分24ADxBCy() ，9010 分,2,2PA23.解：()直线 的普通方程为l 40xy曲线 的直角坐标系下的方程为C22()()1y圆心 到直线 的距离为2(,)40xy5d所以直线 与曲线 的位置关系为相离. 5 分l()设 ，2(cos,sin)2M则 .10 分ii(2,4xy24. () 当 时， ，所以1223xx3x 当 时， ，所以为0x11 当 时， ，所以综合不等式的解集为 5 分,3,()即 12122axax由绝对值的几何意义，只需 10 分3
