1、石室中学高 2019 届 20182019 学年上期入学考试 数学参考答案（理科） 1-5： CBBCA 6-10： ADDBA 11-12： CA 13、 -20 14、 5 15、 13 16、 7(3, 2 17 解 ： （ ） 由题意，任取一天，实体店盈利的概率 1 ( 0 . 0 3 2 0 . 0 2 0 0 . 0 1 2 2 ) 5 0 . 3 8P 网店盈利的概率 2 1 ( 0 .0 0 4 0 .0 2 0 ) 5 0 .8 8P 由实体店和网店销售量相互独立， 故任取一天 ,实体店和网店都盈利的概率 0.38 0.88 0.3344.P .3 分 （ ）因为网店销售量频
2、率分布直方图中，销售量低于 50的直方图面积为 0 . 0 0 4 0 . 0 2 0 0 . 0 4 4 5 0 . 3 4 0 . 5 ， 销售量低于 55的直方图面积为 0 . 0 0 4 0 . 0 2 0 0 . 0 4 4 + 0 . 0 6 8 5 0 . 6 8 0 . 5 故网店销售量的中位数的估计值为 0 .5 -0 .3 45 0 + 5 5 2 .3 50 .3 4 （件） 6 分 （ ）由题意，实体店销售量不低于 40 件的概率 31 (0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 2 4 ) 5 4P 7 分 故 3 (3, )4XB ,X 的可能取值为 0,1,2
3、,3.相应的概率为 303 3101 4 6 4P X C , 213 3 3 9114 4 6 4P X C , 223 3 3 2 72 ( ) 14 4 6 4()P X C , 333 3 2 73 ( )4 6 4P X C , 分布列为 X 0 1 2 3 P 1649642764276411 分 因为 3 (3, )4XB ,所以期望为 39(X) 3 44E .12 分 18.解：（ 1）根据题意， 2b ， 4c ， bCc cos2 ，则 412cos cbC ； 又由 414 1642c o s2222 aaab cbaC， 解可得 4a 即 4BC ，则 2CD ， 在
4、 ACD 中， 由余弦定理得： 6c o s2222 CCDACCDACAD ， 则 6AD ； （ 6 分） （ 2）根据题意， AE 平分 BAC ， 则 21 ABACBECE ， 变形可得： 3431 BCCE ， 41cos C ，则 415sin C ， 615 A C EA C DA D E SSS （ 12 分） 19、 解析： （ I） 依题意， 2K 的观测值 21 0 0 0 3 6 0 1 2 0 2 4 0 2 8 0 125 7 . 8 7 96 0 0 4 0 0 6 4 0 3 6 0 1 2k ， 故可以在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为对 直播大题
5、模式 的态度与性别有关系； 5 分 （ ） 由题意 X 的取值为 10,11,12 ，且后四个题每个题答对的概率为 13. 6 分 2 2 4(X 10) ;3 3 9P 2 1 2 1 2 2 8( X 1 1 ) 3 3 3 3 3 3 2 7P ； 2 2 3 3331 2 1 7( X 1 2 ) ( ) ( )3 3 3 2 7P C C . 故 X 的分布列为 9 分 记 该网友当期可平分奖金为事件 A ，则 3 3 4 4441 2 1 1( ) ( ) ( )3 3 3 9P A C C . 故 该网友当期可平分奖金的概率为 19. 12 分 20、解 ： （ 1） 由 题知
6、： O， P， N 三点共线， 连 2MF 则 4222221 | ONNPONMNMFMF ， 所以点 M 的轨迹是以 21 FF, 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，其中， ， ， ， 则动点 M 的轨迹方程是 4 分 （ 2）如 图：PRFQ P RP Q MRFP Q F SSSS 121 21 6 分 X 10 11 12 P 49 827 727 因 为 l 不 与 y 轴垂 直，设 PR： 3 tyx ， ),(),( 2211 yxQyxP 所 以 14322yxtyx消 去 x 有 ：01324 22 tyyt )( 由 弦 长 公 式 可 得 ：4144 16161 22222
7、 t tt ttPR )(|又因 为点 1F 到 直 线 l 的距离2132td 所 以 S131344134212222 ttttdPR | 10 分 因 为 Rt ，所 以 32131 22 tt（当 2t 等 号成立 ） 所 以 ,( 20S 12 分 21、解 :（）由已知得 ln( 1 )xh x = f x + g x = m xx ， 所以 2221 l n 1 ( 1 l n )xh x = m = x xxx m ， 2 分 当 01x时， 221 0 , l n 0 , 1 l n 0x x x x ； 当 1x 时， 1 0 , l n 0 , 1 l n 0x x x
8、x 3 分 故若 0m ， )(hx 的 单调递增区间为 0,1 ，单调递减区间为 1, ； 若 0m ， )(hx 的 单调递减区间为 0,1 ，单调递增区间为 1, 5 分 （）依题意 111ln 1xm n xx ， 21 1 1ln .+m x n x x ， 同理， 22 2 2+ln .m x n x x 由 -得， 2211 1 2 2 1 2 1 22l1+n xm n x x x x n x x x xx ， 7 分 121212ln1xmxn x xxx ， 112 1 2 221lng ( 1 ) xxx n x x xm m x x ， 8 分 要证 12122 0g
9、x xm x x ，即证：122 1 1 2ln 20xxx x x x， 即证：11212221ln + 01xxxxxx（ ）， 9 分 令 12 1xt x，即证 1ln + 2 0 , 11tp t t tt 222114011tpt t t t t ， 10 分 pt 在区间 1, 上单调递增， 1 0 , 1p t p t 成立故原命题得证 12 分 22. 解 ： （ 1） 因为 ， ， ， 所以 的极坐标方程为 04 sincos ， 因 为 的普通方程为 ， 即 ，对应极坐标方程为 5 分 （ 2） 因 为 射线 ),(: 200 l ，则 ),(),( 21 NM ， 则
10、sin,cossin 2421 ， 所 以)cos(sinsin| | 2112ONOM 414242 )sin( 又 ， ),( 43442 ， 所以当 242 ，即 83 时，| |ONOM取得最大值 4 12 10 分 23、 解： 当 1x 时，不等式可化为 124 xx ， 1x 又 1x ， x ； 当 31 x 时，不等式可化为 12 x ， 1x 又 31 x ， 31 x 当 3x 时，不等式可化为 142 xx ， 5x 又 3x ， 53 x 综上所得， 51 x 原不等式的解集为 5,1 （ 5 分） （ ）证 明：由绝对值不等式性质得， | 1 | | 3 | | (
11、1 ) ( 3 ) | 2x x x x ， 2c ，即 2ba 令 ma 1 ， nb 1 ，则 1m ， 1n ， 1,1 nbma ， 4nm ， nnmmb ba a 2222 )1()1(11 nmnm 114 mn41)2(42 nm， 原不等式得证 （ 10 分） 石 室 中 学 高 2019 届 2018 2019 学 年 度 上 期 入 学 考 试数 学 答 题 卡 （ 理 科 ）姓名班级考号注意事项1 .答题前先将姓名、班级、考号填写清楚。2 .选择题用2 B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。3 .非选择题使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。4 .保持卡面清洁，严禁折叠，严禁做标
12、记。填涂样例正确填涂错误填涂缺考（考生禁填）第卷选择题（共6 0分）1 5 92 6 1 03 7 1 14 8 1 2第卷非选择题（共9 0分）二、填空题（共2 0分）1 3 . 1 4 .1 5 . 1 6三、解答题（共7 0分）1 7 . 1 8（1 2分）1 9（1 2分）贴条形码区（正面朝上切勿贴出虚线框外）2 0（1 2分）2 1（1 2分）2 2（1 0分）理科数学 第 1 页 共 4 页 命题 /审题 :： 胡健 李正军 曹亚桴 石室中学高 2019 届 20182019 学年上期入学考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选
13、项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设 iiiz 211 ，则 |z A 0 B 12 C 1 D 2 2.设集合 )2(lo g| 2 xyxA ，若全集 AU ， 21| xxB ，则 UCB A ,1 B ,1 C 2, D 2, 3.命题 “ 0x ， 1ln 1x x ”的否定是 A 0x ， 1ln 1x x B 0 0x，0 01ln 1x xC 0 0x，0 01ln 1x xD 0x ， 1ln 1x x 4.在如图的程序框图中，若输入 77, 33mn， 则输出的 n 的值是 A 3 B 7 C 11 D 33 5.在区间 0， 2上随机取一个数 x，使 232sin
14、x 的概率为 A 13 B 12 C 23 D 34 6. 九章算术中，将底面是 等 腰 直角三 角 形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为 A. 2 B.32 C. 1 D. 4 6 2 7.已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn， 2531 aa且 4542 aa，则 nnaS A 14n B 41n C 12n D 21n 理科数学 第 2 页 共 4 页 命题 /审题 :： 胡健 李正军 曹亚桴 8.已知函数 fx是定义域为 R 的奇函数， 11f x f x ，且当 01x时， 1 1cosfx x，则下列结
15、论正确的是 A. 3212 9f f f B. 19 322f f f C. 22913f f f D. 19223f f f 9 已知约束条件为3 2 4 02020xyxyxy ，若目标函数 ykxz 取最大值时的最优解有无数多个 ,则 k 的值为 A. 1 B. 1 C. 32 D. 1 或 1 10.已知抛物线 xy 42 的一条弦 AB 经过焦点 ,FO为坐标原点，点 M 在线段 OB 上，且 3OB OM ，点 N 在射线 OA 上，且 3ON OA ， 过 ,MN 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ,CD,则 CD 的最小值为 A 4 B 6 C 8 D 10 11.向量 cb,
16、a, 满足 ： | | 4a ， | | 4 2b ， b 在 a 上的投影 为 4， ( ) ( ) 0 a c b c ， 则 bc的最大值是 A. 24 B. 2824 C. 2824 D. 28 12已知函数 ( ) ( 1 ) ( 2 ) e exf x m x x ，若关于 x 的不等式 0)( f 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为 A 3ee2 B 2ee2 C 3ee2 D 2ee2二、填空 题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若 nxx )1( 的展开式中第 3 项和第 5 项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 14. 直线 : 2(
17、5)l y x过双曲线 )0,0(1:2222 babyaxC 的右焦点 F 且与双 曲线 C 只有一个公共点，则 C 的离心率为 15.已知直三棱柱 1 1 1ABC A BC 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 13 4 , 1 2A B A C A B A C A A , , ,则球 O 的直径为 16.函数 2( ) 3 s i n 2 c o s ( 0 )2 xf x x ，已知 ()fx在区间 2( , )33恰有三个零点，则 的范围为 . 理科数学 第 3 页 共 4 页 命题 /审题 :： 胡健 李正军 曹亚桴 三、解答题： 共 70 分 解 答应写出文字说明、证明过程
18、或演 算步骤 第 17 21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、 23 题 为选考题，考生根据要求作答 （一）必 考题：共 60 分 17.（本小题满分 12 分） 某服装店对过去 100 天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图 ，已知实体店与网店销售量相互独立 . 实体店销售量 （ 单位 ： 件 ）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量 （ 单位 ： 件 ）70656055504540350.0680.0460.0440.0200.0100.008
19、0.004（ ） 若将上述频率视为概率， 已知实体店每天销售量不低于 50 件可盈利，网店每天销量不低于 45件可盈利，求任取一天 ,实体店和网店都盈利的概率 ； （ ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到 0.01） （ ）若将上述频率视为概率，记该 服装店未来三天实体店销售量不低于 40 件的天数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 18.（本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 已知 4 , 2 , 2 c o s ,c b c C b ,DE分 别 为 线 段 BC 上 的 点 ， 且BD C
20、D ， BAE CAE (I)求线段 AD 的长； (II)求 ADE 的面积 19.（本小题满分 12 分） 直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有 12 道题，每题三个选项中恰有一个正确 选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完 12 题就可以平分当期奖金 . 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取 1000 名网民进行了调查，得到的数据如下表： 男 女 认为 直播答题模式可持续 360 280 认为 直播答题模式不可持续 240 120 理科数学 第 4 页 共 4 页 命题 /审题 :： 胡健 李正军 曹亚桴 (I)根据表格中的数
21、据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (II)随 着答题的发展，某平台推出了复活卡， 每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活， 即 默认 此题回答 正确 ， 并 可 接着 回答下一题， 但一场仅可使用一次 .已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项 .求该网友本场答题个数 X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率 . 参考公式： 22 n a d b cKa b c d a c b d 临界值表： 2 0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
22、0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20.（本小题满分 12 分） 如图 O 为坐标原点，圆 22: 4,O x y点 ),(),( 0303 21 FF ，以线段 MF1 为直径的圆 N 内切于圆 O，切 点为 P，记点 M 的轨迹为曲 线 C. （ I） 证明： 12| | | |F M F M 为定值，并求曲 线 C 的方程； （ II） 设 Q 为 曲线 C 上的 一个动点，且 Q 在 x 轴 的上方， 过 2F 作直线 QFl 1/ ，记 l 与曲 线 C 的上半部分交 于 R 点，求四边形 21FRQF 面积的取值范围 . 2
23、1.（本小题满分 12 分） 已知函数 lnmxfx x ， 1g x n x ，其中 0mn . （ I） 若 mn ，讨论 h x f x g x的单调区间； （ II） 若 ( ) 0f x g x的 两根为 12,xx，且 12xx ， 证明： 12122 0g x xm x x . （二）选 考题：共 10 分 请 考生在第 22、 23 题 中任选一题作答 如 果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 041 yxC : ，曲线 为参数） (s in1c o s:2 yxC，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 （ I） 求曲线 21 CC, 的极坐标方程； （ II） 射 线 ),(: 200 l 分别交 21 CC, 于 NM, 两点， 求 | |OMON 的 最大值 23 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 3f x x x （ I） 解不等式 ( ) 1f x x； （ II） 设函数 ()fx的最小值为 c，实数 a， b 满足 0, 0,a b a b c ，求证： 111 22 bbaa
