1、2016-2017 学年宁夏石嘴山三中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题 5 分，在每个小题只有一项是符合要求的）1 （5 分） （2014 秋 厦门期末）已知向量 =（m，1） ， =（m 2，2） ，若存在 AR，使得 + = ，则m=（ ）A0 B2 C0 或 2 D0 或22 （5 分） （2012 新课标）复数 z= 的共轭复数是（ ）A2+i B2 i C 1+i D1i3 （5 分） （2016 洛阳校级模拟）已知 sin（+ ）+sin= ， 0，则 cos（+ ）等于（ ）A B C D4 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）在数列a n中，a
2、1=2，a n+1= ，则 a2016=（ ）A2 B C D35 （5 分） （2010 厦门一模）给出下列四个命题： 的对称轴为 ；函数 的最大值为 2；函数 f（x）=sincosx 1 的周期为 2；函数 上是增函数其中正确命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）已知数列a n中，a 1=1，a n=n（a n+1an） （nN *） ，则数列a n的通项公式为（ ）A2n1 Bn C Dn 27 （5 分） （2016 揭阳校级模拟）在ABC 中，若 sin（ AB）=1+2cos （B +C）sin（A+C） ，则AB
3、C 的形状一定是（ ）A等边三角形 B不含 60的等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形8 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）数列a n中，a n= ，S n=9，则 n=（ ）A97 B98 C99 D1009 （5 分） （2013 浙江）已知 ，则 tan2=（ ）A B C D10 （5 分） （2015 南昌校级二模）设函数 f（x）=cosx （0） ，将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（ ）A B3 C6 D911 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）已知 O 是ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足， （0，
4、+） ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A内心 B垂心 C外心 D重心12 （5 分） （2013 攀枝花一模）在等比数列a n中，0a 1a 4=1，使不等式成立的最大自然数是（ ）A5 B6 C7 D8二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13 （5 分） （2010 南通模拟）曲线 y=2xlnx 在点（1，2）处的切线方程是 _14 （5 分） （2015 红河州一模）如图所示，嵩山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角为ABC=120 ；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道AC，发现张角为A
5、DC=150；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处则索道 AC 的长为_15 （5 分） （2013 春 黄陂区校级期中）已知复数 z1=m+（4m 2）i（mR ） ，z 2=2cos+（ +3sin）i（，R） ，并且 z1=z2，则 的取值范围_16 （5 分） （2014 春 温州校级期末）已知数列a n满足递推关系式 an+1=2an+2n1（nN *） ，且 为等差数列，则 的值是_三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17 （10 分） （2016 江苏）在ABC 中，AC=6，cosB= ，C= （1）求 AB 的长；（2）求 cos（A ）的值18 （
6、12 分） （2013 春 江西期末）设函数 f（x）=sin（2x+ ）+ sin2x cos2x（I）求 f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（II）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，求 g（x）在区间 ，上的值域 19 （12 分） （2015 秋 泰州校级期中）在等比数列a n中，a 1=1，且 a2 是 a1 与 a31 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 求数列b n的前 n 项和 20 （12 分） （2014 余杭区校级模拟）已知数列a n，S n 是其前 n 项的和，且满足 3an=2Sn+n（nN *）（
7、）求证：数列a n+ 为等比数列；（）记 Tn=S1+S2+Sn，求 Tn 的表达式21 （12 分） （2012 陕西二模）已知函数 f（x）=Asin（ x+）的图象的一部分如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 时，求函数 y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的 x 值22 （12 分） （2013 广州一模）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，a 2=8，S n+1+4Sn1=5Sn（n2） ，Tn 是数列log 2an的前 n 项和（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn；（3）求满足 的最大正整数 n 的值2016-2017 学年宁夏石嘴山
8、三中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 5 分，在每个小题只有一项是符合要求的）1 （5 分） （2014 秋 厦门期末）已知向量 =（m，1） ， =（m 2，2） ，若存在 AR，使得 + = ，则m=（ ）A0 B2 C0 或 2 D0 或2【分析】根据向量的坐标运算和题意求出 + ，利用向量相等的条件列出方程组，求出 m 的值即可【解答】解：因为向量 =（m ，1） ， =（m 2，2） ，且 + = ，所以（m+m 2，1+2）=（0，0） ，则 ，解得 ，所以 m=0 或 2，故选：C【点评】本题考查向量的坐标运算，以及向量相等的条件，属于基
9、础题2 （5 分） （2012 新课标）复数 z= 的共轭复数是（ ）A2+i B2 i C 1+i D1i【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为 a+bi 的形式，然后求法共轭复数即可【解答】解：复数 z= = = =1+i所以复数的共轭复数为：1 i故选 D【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力3 （5 分） （2016 洛阳校级模拟）已知 sin（+ ）+sin= ， 0，则 cos（+ ）等于（ ）A B C D【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答【解答】解：sin（+ ）+sin
10、= ， ， ，cos（ ）= ，cos（+ ）=cos+（ ）=cos（ ）= 故选 C【点评】本题考查了两角和与差的三角函数的个数的正用和逆用，灵活运用公式是关键4 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）在数列a n中，a 1=2，a n+1= ，则 a2016=（ ）A2 B C D3【分析】由已知递推关系可得次数列是周期为 4 的数列，即可得出【解答】解：由已知可得：a 1=2，a 2= ，a 3= ，a 4=3， a5=2，a 6= ，数列a n是以 4 为周期的数列，a 2016=a4=3故选：D【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5
11、（5 分） （2010 厦门一模）给出下列四个命题： 的对称轴为 ；函数 的最大值为 2；函数 f（x）=sincosx 1 的周期为 2；函数 上是增函数其中正确命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】本题考查的知识点有：正弦型函数的对称性，正弦型函数的周期，正弦型函数的最值，正弦型函数的单调性根据正弦型函数的性质对题目中的四个命题逐一进行判断即可得到答案【解答】解： 的对称轴满足：2x =k+ ，即 ；故 正确函数 =2sin（x+ ） ，其最大值为 2，故正确函数 f（x）=sincosx 1= sin2x1，其周期为 ，故错误函数 上是增函数，在区间 上是减函数
12、故函数 上是增函数错误故只有正确故选 B【点评】函数 y=Asin（x+） （A0，0）中，最大值或最小值由 A 确定，周期由 决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为|A|，周期 T= 进行求解6 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）已知数列a n中，a 1=1，a n=n（a n+1an） （nN *） ，则数列a n的通项公式为（ ）A2n1 Bn C Dn 2【分析】a n=n（a n+1an） ，可得 = ，利用“ 累乘求积” 即可得出【解答】解：a n=n（a n+1an） ， = ，a n= a1= 1=n，故
13、选：B【点评】本题考查了递推关系的应用、 “累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分） （2016 揭阳校级模拟）在ABC 中，若 sin（ AB）=1+2cos （B +C）sin（A+C） ，则ABC 的形状一定是（ ）A等边三角形 B不含 60的等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出【解答】解：sin（A B）=1+2cos（B+C ）sin（A+C） ，sinAcosBcosAsinB=12cosAsinB，sinAcosB+cosAsinB=1 ，sin（A+B ）=1，sinC=1C（0，） ， ABC 的形
14、状一定是直角三角形故选：D【点评】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）数列a n中，a n= ，S n=9，则 n=（ ）A97 B98 C99 D100【分析】先对通项进行变形，将 an= = ，然后代入 Sn=9，求解即可【解答】解：a n= = ，S n=（ ）+（ ）+（ ）= 1=9，n=99故选：C【点评】本题体现了数学中化归的思想，体现了形式在数学中的重要性，同样一个题在不同的形式下，解题的难度是不一样的，属于基础题9 （5 分） （2013 浙江）已知 ，则 tan2=（ ）A B
15、C D【分析】由题意结合 sin2+cos2=1 可解得 sin，和 cos，进而可得 tan，再代入二倍角的正切公式可得答案【解答】解： ，又 sin2+cos2=1，联立解得 ，或故 tan= = ，或 tan=3，代入可得 tan2= = = ，或 tan2= = =故选 C【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题10 （5 分） （2015 南昌校级二模）设函数 f（x）=cosx （0） ，将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于（ ）A B3 C6 D9【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象
16、重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果【解答】解：f（x）的周期 T= ，函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以 ，k Z令 k=1，可得 =6故选 C【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型11 （5 分） （2016 秋 石嘴山校级月考）已知 O 是ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足， （0，+） ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A内心 B垂心 C外心 D重心【分析】可先根据数量积为零得出 与 （ + ）垂直，可得点 P 在 BC 的高线上，从而得到结论【解答】解：即 又
17、 （ + ）=| |+| |=0 与 （ + ）垂直，即 ，点 P 在 BC 的高线上，即 P 的轨迹过ABC 的垂心故选 B【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出出 与 （ + ）垂直，属于基础题12 （5 分） （2013 攀枝花一模）在等比数列a n中，0a 1a 4=1，使不等式成立的最大自然数是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】在等比数列a n中，由 0a 1a 4=1，知 q1，故 n4 时， 由 a4= =1，知 a1= ，故 ，同理得 ， ，所以 +=0，由此能求出 n 的最大值【解答】解：在等比数列a n
18、中，0a 1a 4=1，q 1，n4 时， a 4= =1，a 1= ， ， + =0，n7 时， ，所以 n 的最大值为 7故选 C【点评】本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13 （5 分） （2010 南通模拟）曲线 y=2xlnx 在点（1，2）处的切线方程是 xy+1=0 【分析】求出曲线的导函数，把 x=1 代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数 y=
19、2xlnx 知 y=2 ，把 x=1 代入 y得到切线的斜率 k=2 =1则切线方程为：y2= （x1） ，即 xy+1=0故答案为：xy +1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程14 （5 分） （2015 红河州一模）如图所示，嵩山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角为ABC=120 ；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道AC，发现张角为ADC=150；从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处则索道 AC 的长为 400 米 【分析】在ABC 中根据ABD=120，A
20、DB=180ADC=30，利用内角和定理算出DAB=30 ，从而 AB=BD=400，利用余弦定理算出 AD=400 然后在ADC 中，根据两边 AD、DC 长和夹角ADC=150，利用余弦定理解出 AC2 值，从而得出 AC=400 ，得到本题答案【解答】解：在ABD 中，BD=400 米，ABD=120，ADB=180ADC=30 DAB=180120 30=30得ABD 中，AB=BD=400，AD= =400 （米）在ADC 中，DC=800，ADC=150AC 2=AD2+DC22 ADDCcosADC =40023+80022400 800cos150=400213（米 2）AC=
21、 =400 （米） 故答案为：400 米【点评】本题以山上的索道为例，求嵩山的一条索道 AC 之长着重考查了三角形内角和定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题15 （5 分） （2013 春 黄陂区校级期中）已知复数 z1=m+（4m 2）i（mR ） ，z 2=2cos+（ +3sin）i（，R） ，并且 z1=z2，则 的取值范围 ，7 【分析】利用复数相等的概念，整理可得 =44cos23sin=4 ，利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案【解答】解：依题意，m=2cos ，且 4m2=+3sin，即 =44cos23sin=4sin23sin=4 ，1 sin1，当 sin=
22、时， min= ；当 sin=1 时， max=7； 的取值范围是 ，7故答案为： ，7【点评】本题考查复数相等的充要条件，着重考查配方法的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题16 （5 分） （2014 春 温州校级期末）已知数列a n满足递推关系式 an+1=2an+2n1（nN *） ，且 为等差数列，则 的值是 1 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义即可得到结论【解答】解：若 为等差数列，则 = = = 为常数，即 =0，则 12=0，解得 =1，故答案为：1【点评】本题主要考查等差数列的应用，利用数列的递推关系是解决本题的关键三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过
23、程或演算步骤）.17 （10 分） （2016 江苏）在ABC 中，AC=6，cosB= ，C= （1）求 AB 的长；（2）求 cos（A ）的值【分析】 （1）利用正弦定理，即可求 AB 的长；（2）求出 cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求 cos（A ）的值【解答】解：（1）ABC 中，cosB= ，sinB= ， ，AB= =5 ；（2）cosA=cos（C+B ）=sinBsinCcosBcosC= A 为三角形的内角，sinA= ，cos（A ）= cosA+ sinA= 【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题18 （12 分） （
24、2013 春 江西期末）设函数 f（x）=sin（2x+ ）+ sin2x cos2x（I）求 f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；（II）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，求 g（x）在区间 ，上的值域 【分析】 （1）利用和差角公式对 f（x）可化为：f （x）= sin（2x+ ） ，由周期公式可求最小正周期，令 2x+ =k+ ，解出 x 可得对称轴方程；（2）根据图象平移规律可得 g（x）= cos2x，由 x 的范围可得 2x 范围，从而得 cos2x 的范围，进而得 g（x）的值域；【解答】解：f（x）=sin2xcos +cos2xsi
25、n cos2x= sin2x+ cos2x= sin（ 2x+ ） ，（1）所以 f（x）的最小正周期为 T=，由 2x+ =k+ ，得 x= ，kZ，所以函数 f（x）图象的对称轴方程为： x= ，kZ；（2）由题意得，g（x）=f（x ）= sin（2x ）= cos2x，x ， ，从而 cos2x ，1，所以 g（x）的值域为 ， 【点评】本题考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期及其求法、三角函数的图象变换等知识，熟练掌握有关基础知识解决该类题目的关键19 （12 分） （2015 秋 泰州校级期中）在等比数列a n中，a 1=1，且 a2 是 a1 与 a31 的等差中项（1）求数列
26、a n的通项公式；（2）若数列b n满足 求数列b n的前 n 项和 【分析】 （1）设等比数列a n的公比为 q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 q，即可得到所求通项公式；（2）化简 bn=2n1+（ ） ，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，a2 是 a1 与 a31 的等差中项，即有 a1+a31=2a2，即为 1+q21=2q，解得 q=2，即有 an=a1qn1=2n1；（2） =an+=2n1+（ ） ，数列b n的前 n 项和 =（1+2+2 2+2n1）+（1 + + + ）= +1 =2n 【点
27、评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题20 （12 分） （2014 余杭区校级模拟）已知数列a n，S n 是其前 n 项的和，且满足 3an=2Sn+n（nN *）（）求证：数列a n+ 为等比数列；（）记 Tn=S1+S2+Sn，求 Tn 的表达式【分析】 （）由 3an=2Sn+n，类比可得 3an1=2Sn1+n1（n2） ，两式相减，整理即证得数列a n+ 是以为首项，3 为公比的等比数列；（）由（）得 an+ = 3nan= （3 n1） ，S n= ，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，
28、即可求得 Tn 的表达式【解答】 （）证明：3a n=2Sn+n，3a n1=2Sn1+n1（n2） ，两式相减得：3（a nan1）=2a n+1（n2） ，a n=3an1+1（n2） ，a n+ =3（a n1+ ） ，又 a1+ = ，数列a n+ 是以 为首项，3 为公比的等比数列；（）解：由（）得 an+ = 3n1= 3n，a n= 3n = （3 n1） ，S n= （3+3 2+3n）n= （ n）= ，T n=S1+S2+Sn= （3 2+33+3n+3n+1） （1+2+ +n）= = 【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列
29、与等差数列的求和公式是关键，属于难题21 （12 分） （2012 陕西二模）已知函数 f（x）=Asin（ x+）的图象的一部分如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 时，求函数 y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的 x 值【分析】 （1）由图象知 A=2，T=8 ，从而可求得 ，继而可求得 ；（2）利用三角函数间的关系可求得 y=f（x）+f（x+2）=2 cos x，利用余弦函数的性质可求得x6， 时 y 的最大值与最小值及相应的值【解答】解：（1）由图象知 A=2，T=8 T= =8= 图象过点（1， 0） ，则 2sin（ +）=0，| ，= ，于是有 f（x
30、）=2sin（ x+ ） （2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（ x+ ）+2sin（ x+ + ）=2sin（ x+ ）+2cos （ x+ ） =2 sin（ x+ ）=2 cos xx6 ， ， x 当 x= ，即 x= 时，y max= ；当 x=，即 x=4 时，y min=2 【点评】本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题22 （12 分） （2013 广州一模）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，a 2=8，S n+1+4Sn1=5Sn（n2） ，Tn 是数列log 2an的前 n 项
31、和（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn；（3）求满足 的最大正整数 n 的值【分析】 （1）将条件中的和关系式转化为数列的项关系，判断数列的特征，再求解；（2）利用等差数列的前项 n 和公式求解即可；（3）利用约分消项化简左式，判断 n 满足的条件，分析求解即可【解答】解：（1）当 n2 时，S n+1+4Sn1=5Sn，S n+1Sn=4（S nSn1） a n+1=4ana 1=2，a 2=8，a 2=4a1数列a n是以 a1=2 为首项，公比为 4 的等比数列 （2）由（1）得：log 2an=log222n1=2n1，T n=log2a1+log2a2+log2an=1+3+（2n1）= =n2（3） = = = 令 ，解得： 故满足条件的最大正整数 n 的值为 287【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式，数列的项与和之间的关系及数列的综合问题
