1、1,第五节 函数的连续性,* 函数的连续性 * 函数的间断点及分类 * 初等函数的连续性 * 闭区间上连续函数的性质,2,。,自由落体路程变化模型,火箭发射质量变化模型,物理特征：一级火箭烧完脱壳时质量发生突变,物理特征：路程随时间渐进性地增加,几何特征：曲线 在 处间断,引例：,几何特征：曲线 连接不断,3,1、函数的增量 2、函数在一点处的连续定义 3、区间上的连续函数,一、函数的连续性,4,定义 设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2 ，其差称做变量u的增量或改变量，记作 ，即,增量 可以是正的，也可以是负的.当 为正时，变量u从u1变到 是增大的；当 为负时，变量u从 u1变到 是减
2、少的.,1、函数的增量,5,6,2、函数在一点处的连续定义,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数增量 也趋于零，即,则称函数y=f(x)在点x0处连续.,7,图1: 在 处无定义,图2:,8,图4:,图3:,9,可见 , 函数,在点,定义2:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,10,证明：,11,注意：,12,左连续 右连续,13,如果函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f
3、(x)在(a,b)内连续，并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间a,b上连续.,函数在区间I上连续，称它是I上的连续函数.,3、区间上的连续函数,14,可以证明：基本初等函数在其定义域内为连续函数.,函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f( x0) 处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线.,15,定义,二、函数的间断点及其分类,16,17,例1 正切函数y=tan x在点 处无定义，所以点 是函数tan x的间断点.,例3 函数 在x=1处无定义，因此x=1是该函数的间断点.,18,根据函数f
4、(x)在间断点处单侧极限的情况，常将间断点分为两类：,(1)若x0是f(x)的间断点，并且f(x)在点x0处的左极限、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点；,(2)若x0是f(x)的间断点，但不是第一类间断点，则称x0是f(x)的第二类间断点.,间断点的分类:,19,(1) 当,与,均存在,但不相等时,称,为,的跳跃间断点;,(2),当,存在,但不等于,在,处的,函数值时,称,为,的可去间断点.,20,在x=0是否为函数f(x)的间断点.,例4,解,即x=0是函数f(x)的间断点,且为可去间断点,21,在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即 存在.则称此间断点为可去间断点.如例
5、3中x=1为y的可去间断点.例4中x=0为f(x)的可去间断 点.这是因为如果x0为f(x)的可去间断点，我们可以补充定义f(x0) 或者修改f(x0) 的值，由f(x)构造出一个在x0处连续的函数.如,22,23,在点x=0处的连续性.,故x=0是函数f(x)的间断点,即为跳跃间断点.,例5,解,24,在第二类间断点中，如果当 时， 可称x0为f(x)的无穷间断点.如例1中 为tan x的无穷间断点.如果当 时，f(x)的极限不存在，呈无限振荡情形，则称x0为f(x)的振荡间断点.如例4中x=0为f(x)的振荡间断点.,25,例6,解,所以 f(x)在x=0 点连续.,26,三、初等函数的连
6、续性,定理 若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续，,则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) g (x) 在该点亦均连续，,又若 g(x0) 0，,（一）连续函数的和、差、积、商的连续性,27,（二）复合函数的连续性,定理 设函数y=f(u)在点u=u0处连续， 函数u=(x)在点x=x0处连续,且(x0) = u0， 则复合函数y=f(x)在点x=x0处连续。,28,复合函数求极限的方法,29,30,解:,31,（三）反函数的连续性,定理 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=(y)也在对应的区间Iy=y=f(x),x Ix上单调增加（或单调减少）且连续.,32,1 初等函数的连续性,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的,求初等函数的连续区间就是求其定义区间关 于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段 函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性,（四）初等函数的连续性,33,2 利用函数的连续性求极限,34,35,定理 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值,四、 闭区间上连续函数的性质,36,37,
