1、数学建模竞赛中应当掌握的十类算法（上）1 十类常用算法 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 F:蒙特卡罗算法 举例.doc2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种
2、，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际
3、来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 MATLAB 进行处理。 2以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一
4、。举个例子就是 97 年的 A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和 108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正 态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多
5、赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。 2.3 规划类问题算法 竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规
6、划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。2.4 图论问题 98 年 B 题、00 年 B 题、95 年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。 2.5 计算机算法设计中的问题 计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。比如 92 年 B 题用分枝定界法，97 年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中
7、的问题类似，推荐看一下计算机算法设计与分析 （电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。 2.6 最优化理论的三大非经典算法 这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，象 01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。03 年 B 题伽马刀问题也是
8、目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。 2.7 网格算法和穷举算法 网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在a, b 区间内取 M + 1 个点，就是 a , a + (b -a)/M , a +2*(b - a)/M , , b 那么这样循环就需要进行(M + 1)N 次运算，所以计算量很大。比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久的。穷举法大家都熟悉，就不说了。2.8
9、 一些连续数据离散化的方法 大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。 2.9 数值分析算法 这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。 2.10 图象处理算法 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要
10、编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。一般的数学建模论文都是摘要 5 分，数学筛选 35 分，数学模型35 分，数据模拟 15 分，总体感觉 10 分，不过话虽然是这样说的，一般好的数学建模论文最重要的就是摘要，你要逐词、逐句的抠清字眼，思路要清晰、语句要简洁易懂。评委老师一般看主要摘要的分数，分数高了，后面的也会认真地看下去，分数太底，就直接的被 pass 了，除了这些呢，还有你的方法问题，一定要让老师看到你的亮点，然后就是整篇论文的血做问题，同样的方法，如果你的写作很漂亮，那么影响到的就不只是印象分了，而是整体的分数。多看看数学建模网上的优秀论文，好好参照一下别人的写作语言，相信你会有很大的收获。Mathematica,Matlab,Maple,Lindo,Lingo,SPSS用得较多的有运筹学、概率与统计、计算方法、离散数学、微分方程要了解的基础学科1数学分析（高等数学） 2高等代数 （线性代数）3概率与数理统计4最优化理论 （规划理论）5图论 6组合数学7微分方程稳定性分析 8排队论
