1、问题的提出 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 曲线拟合的最小二乘法,第三章 插值法 /* Interpolation */,1问题的提出 函数y = f(x) 1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，,3）列表函数,问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y = f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi) = f(xi) 。插值问题,已知精确函数 y = f(x) 在一系列节点 x0 xn 处测得函数值 y0 = f(x0), yn =
2、f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足条件p(xi) = f(xi) (i = 0, n)。这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 ?,多项式,p(x) f(x),1.1Taylor插值 函数y = f(x)在点x0处展开有Taylor 多项式:,可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,n因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).Taylor展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于 f(x) 相当简单的情况.,设函数y = f(x)在区间a,b上有定义，且给出一
3、系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,n)，求作n次多项式pn(x) 使得pn (xi)= yi (i=0,1,2,n)函数pn (x)为f(x)的插值函数；称x0,x1, xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间a,b称为插值区间。pn (xi)= yi 称为插值条件。构造的n次多项式可表示为:Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn,1.2 Lagrange插值,证明： ( 利用Vandermonde 行列式论证),这是一个关于a0 , a1 , an 的n+1元线性方程组,其系数行列式:,由于i j时, xi xj ,因此 ,即方程组有唯一解.,2 拉
4、格朗日插值公式,n = 1,可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,称为拉氏基函数,直线方程的两点式：,线性插值,抛物插值,l0(x),l1(x),l2(x),n 1,N次拉格朗日插值多项式,与 有关，而与 无关,节点,f,n次多项式, 插值余项 /* Remainder */,用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.,拉格朗日余项定理,注： 通常不能确定 , 而是估计 , x(a,b)将 作为误差估计上限。,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式
5、是精确的。,解：,n = 1,分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算,利用,这里,而,sin 50 = 0.7660444,外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001,利用,内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596,内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。,n = 2,sin 50 = 0.7660444,2次插值的实际误差 0.00061,高次插值通常优于低次插值,但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿,拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环,如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数 li(x)都将重新计算。,牛顿插值法将讨论该问题。,例：已知数据表,试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数),解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值先作插值基函数 已知x0=11,y0=2.397 9，x1=12,y0=2.484 9 ，x2=13,y2=2.564 9,2(x)=,f(11.75)2(11.75)=,例 已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：,
