1、上次课回顾：,1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角,2、挠曲线近似微分方程,3、挠曲线近似微分方程的积分,4、积分常数确定,位移边界条件，,连续条件，,光滑条件。,5、积分法求解梁位移的思路：, 建立合适的坐标系；, 求弯矩方程M(x) ；, 建立近似微分方程：, 用约束条件或连续条件，确定积分常数；, 求指定截面的挠度和转角,5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角,由于：1）小变形，轴向位移可忽略；,简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV。,因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。,2）线弹性范围工作。,例5-5 利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI
2、的简支梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。,解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。,+,1）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转角分别为：,2）对反对称荷载，跨中截面C的挠度等于零，并可分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有：,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,（逆时针）,例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。,解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。,对图a，可得C截面的挠度和转角为：,由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,对图b，
3、可得D截面的挠度和转角为：,同理可得此时B截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,例5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。,解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。,（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。,+,图c中D截面的挠度和B截面的转角为：,图d中D截面的挠度和B截面的转角为：,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：,所以：,原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：,（向下）,（顺时针）,例5-8
4、利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。,解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：,q,+,图a和b中分别给出了两部分的变形情况。,(c),并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。,（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：,进行相应的叠加可得：,（向下）,（逆时针）,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：,（向下）,例5-9 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B截面的挠度和转角。,解：分布荷载可看成为无数微小集中荷载所组成，
5、求梁的位移也可利用叠加原理。任取一个微段dx。,可将该微段上的均布力看成为作用在x处的一个微小集中力，讨论此时自由端的位移，如图a所示。,由附录IV可知该微力作用下x处梁的位移为：,对图a所示任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微集中荷载为：,在x=0, l范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于对上两式在前述范围内积分，即：,其在B处产生的挠度和转角分别为：,5-4 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施,1、梁的刚度校核,保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：,例5-10 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, =150MPa, w/l=1/400
6、, E=200GPa, 选择工字钢型号。,解：1、由强度条件选择工字钢型号：,应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4,2、校核刚度,选择22a工字钢。,2）减少梁的跨度或增加支承。,2、提高刚度措施,除外加载荷外，梁的位移w、还与梁的弯曲刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比，因此，提高刚度的措施有：,1）升高EI。,各种钢材E相差不大，主要提高I，在截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。,如工字形、箱形等截面。,如下图所示结构：,超静定梁:,5-5 弯曲应变能,或,图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：,则应变能为：,可见，满足线性关系。,外力功：,功能转换定律：,或：,全梁的弯曲应变能为：,需分段列出时，V分段求，然后求和。,对横力弯曲：弯曲应变能+剪切应变能,对弯曲应变能，取dx段（见左图）：dx很小，dM(x)为一阶无穷小量，则dx段上的应变能为,对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。,例5-11 求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁内储存的应变能，并利用功能原理求A端的挠度wA。,解：梁的弯矩方程为：,梁内的应变能为：,外载F所作的功为：,由功能定理有：,即：,最后可得A端的挠度为：,
