1、第二章 流体的运动,理想流体的定常流动 理想流体的伯努利方程 黏性流体的运动,物态 物体根据存在的形态分为固态、液态和气态.流体(fluid) 气体与液体没有一定的形状,各部分之间极易发生相对运动,具有流动性,因而被统称为流体.,人类长期生活在空气和水环境中,逐渐地对流体运动现象有了认识,现举二例.,1. 高尔夫球表面光滑还是粗糙？2. 汽车的阻力来自前部还是后部？,流体动力学(hydrodynamics) 研究流体运动规律及其与边界相互作用的学科.,一. 基本概念,流体质元 宏观小、微观大的区域中流体分子的集合.,连续介质 将流体看作是大量的宏观小、微观大的流体质元组成并研究其宏观行为,因此
2、可忽略物体微观结构的量子性,这种物质模型就是连续介质.,2-1 理想流体的定常流动,流体运动的描述方法,统计公交车的客运量时,可采用两种方法:,(2)在每个站点设统计员,统计不同时刻经过该站点公交车上、下车的人数,称为当地法.,(1)在每辆公交车上设统计员,统计其在不同时刻(站点)上、下车的人数,称为随体法.,拉格朗日法(随体法) 直接采用牛顿质点力学方法,把流体分成许多流体质元,每个流体质元服从牛顿定律,跟踪并研究每一个流体质元的运动情况,把它们综合起来,掌握整个流体运动规律的研究方法.,拉格朗日(J. L. Lagrange, 1735-1813) 法国数学家、物理学家.,欧拉法(当地法)
3、 研究各流体质元的速度、压强、密度等物理量对流经的空间及时间的分布规律,即用场的观点,从整体上来把握流体的运动.,欧拉 (L. Euler, 1707-1783) 瑞士数学家、力学家、天文学家、物理学家.,可压缩性 流体的体积(或密度)随压强大小而变化的性质,称为流体的可压缩性.,黏滞性 实际流体流动时,速度不同的层与层之间存在阻碍相对运动的内摩擦力,流体的这种性质称为流体的黏滞性.流速大的层给流速小的层以拉力,流速小的层给流速大的层以阻力.,流体的黏滞性,理想流体(ideal fluid) 不可压缩又无黏滞性的流体.,流场(flow field) 每一点都有一个流速矢量与之相对应的空间称为流
4、速场,简称流场.,流 场,流线(streamline) 在流场中画出的一些曲线,曲线上的任意一点的切线方向,与流过该点流体质元的速度方向一致.,流体流过不同形状障碍物的流线,流线,流体运动时,若流线有头有尾不形成闭合曲线,这样的流动称为无旋流动,对应的流场为无旋场;若流线无头无尾形成闭合曲线,这样的流动称为有旋流动,如河流中的涡旋,对应的流场为有旋场.,流管(stream tube) 在流体内部,由流线围成的细管.,流管,非定常流动 流场中各点的流速随时间的变化而改变,流线的形状亦随时间而变的流动.,定常流动 流场中各点的流速不随时间变化的流动.,特点 流线不随时间改变,不同时刻的流线不相交;
5、流管形状也不随时间改变,流管内的流体不会流出到管外,流管外的流体不会流入到管内.,二. 连续性方程,流体作定常流动时,在任一细流管内取与流管垂直的两个截面S1 和S2 与流管构成封闭曲面,流体由S1流入,从 S2 流出,如图所示.,当选取的流管截面足够小时,流管上任一截面上各点的物理量都可视为均匀的.若设S1 和S2 处流体的速度分别为 v1 和 v2 ,流体的密度分别为 1 和 2.,连续性方程推导,由于流体是作定常流动,流管内各点流体的密度不随时间改变,因此封闭曲面内流体的质量不会有变化,即在t 时间内,从S1 流入封闭曲面流体的质量 m1 应等于由 S2 流出流体的质量 m2,即,m1=
6、 m2,1(v1t)S1=2(v2t)S2,连续性方程推导,1 v1 S1=2 v2 S2,上式对流管中任意两个与流管垂直的截面都是正确的,一般可以写成,Qm= vS = 常量,其中 Qm称为质量流量.,此式称为定常流动的连续性方程,也称为质量流量守恒定律.,对于不可压缩流体, 为常量,则有,v1 S1= v2 S,及 QV = vS = 常量,式中 QV 称为体积流量.,该式称为不可压缩流体的连续性方程,也称为体积流量守恒定律.,连续性方程的物理实质体现了流体在流动中质量守恒.这些方程均是对细流管而言,若不是细流管,则 v、 应理解为其在截面 S 上的平均值.,由连续性方程可知:,(1)不可
7、压缩流体作定常流动时,流管的任一垂直截面积与该处的平均流速的乘积为一常量.,(2)同一流管,截面积较大处流速小;截面积较小处流速较大.,(3)流场中,流线密集处流速较大;流线稀疏处流速较小.,哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的一个很好例证.,人体血液循环示意图,血液循环,血液流速与血管总截面积的关系,河道宽的地方水流比较缓慢,而河道窄处则水流较急.,穿堂风 城市风,交通拥挤,1738年伯努利(D. Bernoulli)提出了著名的伯努利方程.,一.理想流体的伯努利方程,丹伯努利(Daniel Bernoull, 1700-1782) 瑞士科学家.,2-2 理想流体的伯努利方程,在定常
8、流动的理想流体中,取任一细流管,设某时刻 t,流管中一段流体处在 a1a2 位置,经很短的时间t,这段流体到达 b1b2 位置,如图所示.,由于流体中各点的压强、流速、密度等物理量不随时间变化, b1a2 段流体的运动状态在流动过程中没有变化.,伯努利方程,根据能量守恒定律及功能原理,可推得,考虑到 S1、 S2 的任意性,上式还可以写成,此两式称为理想流体的伯努利方程.,伯努利方程给出了理想流体作定常流动时,同一流管上任一截面处流体的压强、流速和高度之间关系.,方程实质上是能量守恒定律在流体运动中的具体表现.由于 , gh 和 p 都是压强的量纲,因此常称 为动压强, ghp为静压强.,显然
9、 , gh 分别相当于单位体积流体所具,有的动能和重力势能,而p则可视为单位体积流体的压强能.,推导中,选择的是一段细流管内流体的运动,所涉及的压强 p 和流速 v 实际上是细流管横截面上的平均值.若令 S0,流管就演变为一条流线,伯努利方程中的各量则表示在同一流线上各点的取值.可得以下结论: 重力场中的理想流体作定常流动时,同一流管内(或流线上)各点,二. 伯努利方程的应用,(一)压强与高度的关系 若流管中流体的流速不变或流速的改变可以忽略时,伯努利方程可以直接写成,或,在流体力学中,伯努利方程十分重要,应用极其广泛.,表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理想流体稳定流动过程中流体压强能与重
10、力势能之间的转换关系,即高处的压强较小,低处的压强较大.,两点的压强差为,体位对血压的影响,(二) 流速与高度的关系,在自然界、工程技术和我们的日常生活中,存在着许多与容器排水相关的问题,如水库放水(泻洪与发电)、水塔经管道向城市供水及用吊瓶给患者输液等,其共同的特点是液体从大容器经小孔流出.,小孔流速,管涌,铜壶滴漏,“寸金难买寸光阴”对我们来说是再熟悉不过的诗句了,其中揭示了计量时间的方法. 我国古代用铜壶滴漏计时,使水从高度不等的几个容器里依次滴下来,最后滴到最低的有浮标的容器里,根据浮标上的刻度也就是根据最低容器里的水位来读取时间.,请说明其计时原理.,铜壶滴漏,(三) 压强与流速的关
11、系,平行流动(即重力势能不变)的流体,流速小的地方压强大,流速大的地方压强小(例).,在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1h2,伯努利方程可直接写成,流速计原理,问题: 气体流速如何测量,皮托管,Q =S1 v1= S2 v2,流量计,例 用一根跨过水坝的粗细均匀的虹吸管,从水库里取水,如图所示.已知虹吸管的最高点C比水库水面高2.50 m,管口出水处D比水库水面低4.50 m,设水在虹吸管内作定常流动.,(1) 若虹吸管的内径为3.0010-2m,求从虹吸管流出水的体积流量. (2) 求虹吸管内B、C两处的压强.,(1) 取虹吸管为细流管,解:
12、水面为参考面,则有A、B点的高度为零,C点的高度为2.50m,D点的高度为- 4.50 m.,对于流线ABCD上的A、D两点,根据伯努利方程有,结果表明,通过改变D点距水面的垂直距离和虹吸管内径,可以改变虹吸管流出水的体积流量.,(2)对于同一流线上A、B两点,应用伯努利方程有,根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vB=vD.,结果表明,在重力势能不变的情况下,流速大处压强小,流速小处,压强大.B点压强小于大气压,水能够进入虹吸管.,对于同一流线上的C、D两点,应用伯努利方程有,均匀虹吸管内,水的速率处处相等,vC=vD ,整理得,虹吸管最高处C点的压强比入口处B点的压强低,正
13、是因为这一原因,水库的水才能上升到最高处,从而被引出来.,2-3 黏性流体的运动,层流,一. 黏性流体的运动,甘油缓慢流动,管内甘油的流动是分层的,这种流动称为层流(laminar flow).,层流示意图,流体层流时,流动稳定,相邻各层以不同的速度作相对运动,彼此不相混合.,这对作用力为流体的内摩擦力,也称为黏性力.,流体的黏性力,牛顿黏滞定律 黏度,黏性流体作层流时,速度的逐层变化可以用速度梯度来定量表示.,相距x的两流层的速率差为v ,则 表示这两层之间的速率变化率.,称为沿 x 方向(与流速方向垂直)的速率梯度.,黏性流体的流动,实验证明,流体内部相邻两流体层之间黏性力为,上式称为牛顿
14、黏滞定律.其中比例系数 称为黏度或黏性系数,是反映流体黏性的宏观物理量. 流体的黏度与物质的性质有关,还与温度有关.,一般说来,液体的内摩擦力小于固体之间的摩擦力,古人开凿运河,用于运输;用机油润滑机械,减少磨损,延长使用寿命,都是这一原理的应用.气体的黏滞性则更小,气垫船的使用就是利用了气体的这一特性.,遵从牛顿黏滞定律的流体称为牛顿流体(如水、酒精、血浆等),不遵从牛顿黏滞定律的流体称为非牛顿流体(如血液、胶体溶液和燃料水溶液等).,湍流,黏性流体作层流时,层与层之间仅作相对滑动而不混合.但当流速逐渐增大到某种程度时,层流的状态就会被破坏,出现各流层相互混淆,外层的流体粒子不断卷入内层,流
15、动显得杂乱而不稳定,甚至会出现涡旋,这种流动称为湍流(turbulent flow).,核爆蘑菇云,火山爆发,流体在作湍流时,能量消耗比层流多,湍流发声的强度要远远大于层流,而且音调也有显著的差别,这在医学上具有实用价值.,利用湍流的这一特性,医生能用听诊器辨别出血流的非正常情况,从而诊断某些心血管疾患;通过听取支气管、肺泡呼吸音的正常与否,诊断肺部疾病.测量血压时,在听诊器中听到的声音,也是血液通过被压扁的血管时,产生湍流所发生的.,雷诺数,雷诺最早对湍流现象进行系统研究,1883年他通过大量的实验,证实了流体在自然界存在两种迥然不同的流态,层流和湍流.,雷诺 (Osborne Reynol
16、ds 1842-1912)英国力学家、物理学家、工程师.,雷诺在实验中发现,玻璃直圆管道中的黏性液体,其流动状态是层流还是湍流主要取决于比例系数(后人称之为雷诺数, Reynolds number)Re 的大小：,式中 为液体的密度, r 为管道的半径, v 是液体的平均流速, 是液体的黏性系数.,雷诺数是一个无量纲的纯数,它是鉴别黏性流体流动状态的唯一参数.,实验表明,对于刚性直圆管道中的黏性流体:Re1000 时,流体作层流;Re1500时,流体作湍流;1000Re1500时,流体可作层流,也可作湍流,称为过渡流.,烟缕由层流转变为湍流,Re 1,Re =1.54,Re9.6,Re=200
17、0,不同雷诺数的圆柱绕流流场,根据雷诺数,讨论影响流体流动状态的因素.,管口突变对流动状态的影响,生理流动人体中时刻存在着各种生理流动,对生命和健康最重要的是血液循环与呼吸系统.健康人体的血管和气管等流动管道都具有良好的弹性,管壁可以吸收扰动能量,起着稳定流场的作用,因而生理流动的临界雷诺数(由层流转变为湍流时的雷诺数)要远远超过刚性管流的临界雷诺数.,人体主动脉按直径不同,其雷诺数约在1000 1500,在正常情况下,血流仍保持层流状态.在气管和支气管中气体的流动也是类似的,正常呼吸时,气体一直保持层流状态,只有当深呼吸或咳嗽时,才会发生湍流,此时,雷诺数峰值可高达不可思议的50000,在相
18、同雷诺数条件下,层流的摩擦阻力和能量损耗要远远低于湍流,而湍流中的物质交换和化学反应又比层流充分得多.难怪力学专家会发出惊叹:人体已经发展成为近乎最优化的系统.,然而,一旦循环系统或呼吸系统管道弹性减弱,则吸收扰动能量的能力就要大打折扣.如果管道(循环系统的管道还应包括心脏瓣膜在内)发生狭窄阻塞,内壁粗糙时,就容易引发湍流,湍流旋涡还会对病变的管壁造成进一步的损伤.,雷诺数相等的流场具有相同的流动状态和性质.,建立在相似性原理基础上的风洞、水洞试验(几何相似的小尺度模型).,流动的相似性原理,在流体力学工程的模拟实验中有着重要的应用.,流动相似性,二. 黏性流体的运动规律,黏性流体的伯努利方程
19、,均匀水平管中黏性流体的压强分布,人体循环系统各类血管中的血压,泊肃叶公式,由图可知,要使管内的黏性液体作匀速运动,必须有外力来抵消液体的内摩擦力,这个外力就是来自管道两端的压强差.,均匀水平管中黏性流体的压强分布,1840年泊肃叶通过大量实验证明,在水平均匀的细长玻璃圆管内作层流的不可压缩黏性流体,其体积流量 Q 与管道两端压强梯度 及管半径 R 的四次方成正比,即,泊肃叶 (J. L. M. Poiseuille，1799-1869) 法国生理学家.,若令,或,Rf 称为流阻,医学上称为血流阻力.流阻的国际制单位是Pasm-3 (帕秒米-3).,则,三. 物体在黏性流体中的阻力,静止流体中
20、的物体受到浮力的作用,黏性流体中的运动物体(根据运动的相对性,也可以看成是物体静止,流体运动)则会受到阻力作用.由流体的黏滞性所导致的这种阻力,表现为直接的黏性摩擦阻力与间接的压差阻力.,黏性摩擦阻力,流体与物体作相对运动时,物体表面附着了一层流体(附面层,即边界层),附面层内的流体存在速率梯度,层内与物体相接触的流体微团的流速为零,层外侧的流体微团则具有流体的速度,层与层之间存在内摩擦力,表现为对物体的黏性摩擦阻力.附面层外可近似为无黏性流场.,当物体速度不大或个体较小时,物体所受到的黏性摩擦阻力与速度成正比,即,F = k v,斯托克斯阻力公式,1851年斯托克斯研究了小球在黏性很大的液体
21、中缓慢运动时所受到的阻力问题,给出计算阻力的公式,斯托克斯 (G.G.Stokes, 1819-1903)英国力学家、数学家.,让半径为 r 的小球在黏性流体中自由下沉,开始时,小球受到方向向下的重力和方向向上的浮力作用,重力大于浮力,小球加速下降.随着速度的增加,黏性摩擦阻力逐渐增大.当小球的下降速度达到一定值时,重力、浮力和黏性摩擦阻力三力平衡,小球匀速下降,小球这时的速度称为终极速度(terminal velocity)或沉降速度(sedimentation velocity),用vT表示.,若小球的密度为 ,流体的密度为 ,则小球所受的重力为 ,浮力为 ,黏性摩擦阻力为 6 rvT ,
22、小球达到终极速度时,三力平衡,有,终极速度,当小球(例如空气中的尘粒,雾中的小雨滴,黏性液体中的细胞、大分子、胶粒等)在黏性流体中下沉时,终极速度与小球的大小、黏性流体与小球的密度差、重力加速度成正比.对于非常微小的颗粒(细胞、大分子、胶粒),可利用高速或超速离心机来增加有效 g 值,加快其沉降速度.,离心分离,对于混合悬浮液体,根据斯托克斯公式,可采用增加悬浮介质黏度、密度和减小悬浮颗粒尺寸的方法,来降低液体流速,提高其流动的稳定性.,涡旋尾流,当物体运动速度增大,因黏性的作用,在物体的后部,附面层的流体质元减速并从物体表面脱落(流动分离).,流动分离旋涡脱落,物体前方的流体不能及时填充物体
23、后的空间,导致已流到后方的外层流体回旋过来补充,使物体的后部出现涡旋尾流区.,流动分离现象,压差阻力,由于物体前部流体的相对流速几乎为零,压强大,涡旋区通常是低压区,因此,伴随着涡流的产生,物体前后之间产生压强差,出现阻碍物体运动的压差阻力.,压差阻力也是因流体的黏性产生的,但与黏性摩擦阻力有不同机制,它们同时存在.对于高速运动,涡旋一旦产生,压差阻力将取代黏性摩擦阻力成为阻碍物体运动的主要因素.,压差阻力主要取决于流体流到物体后半段时,能否紧贴物体表面流动.流体脱离物体表面越早,涡旋尾流区越大,压差阻力就越大.,不同流动状态下流动分离的位置不同,实验发现,物体后段的截面积缓慢减小,附面层流体
24、微元可以较长时间地附着在物体表面,压差阻力也就越小.,有同样阻力的不同物体,所以高速运动的物体,如航空器、车船等都被设计成能减少涡旋产生的收缩尾部流线型.,动物与流线型,粗糙球与光滑球的阻力差异,小球在运动时,流体在小球的背面都将产生分离,这个分离是压差阻力产生的主要原因.低速时,两球都处于层流,两者的分离点大致相同,因而有大致相同的压差阻力,但粗糙表面增加了摩擦力阻力,所以粗糙球的总阻力比光滑球的要大.,不同表面的球在不同风速下所受阻力,不同表面的球在不同风速下所受阻力,当流速进一步提高,达到B点时,光滑小球的附层面气体也进入湍流状态,此时两球的分离点大致相同,压差阻力相近,但由于粗糙球的表
25、面粗糙,摩擦阻力大于光滑球的,所以粗糙球总阻力又比光滑球的大.,不同表面的球在不同风速下所受阻力,本章结束,谢谢！,1. 高尔夫球表面光滑还是粗糙？ 高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰,当时人们认为表面光滑的球飞行阻力小,因此用皮革制球.,后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远,这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论才得以解开.,现代高尔夫球,早期高尔夫球,2. 汽车的阻力来自前部还是后部？ 汽车发明于19世纪末,当时人们认为汽车的阻力主要来自前部对空气的撞击,故制造的是箱型车.,后来认识到汽车阻力主要来自后部形成的尾流,便运用流体力学原理逐步地改进汽车尾部形状.,早期的箱型车,现代的流线
26、型车,物理量的场 一般而言,当某时刻一个物理量在空间中每一点都有确定值,即物理量在空间有确定分布时,则该物理量在此空间形成一个场.例如重力场、电磁场和本章要讨论的流场.如果物理量是标量,这个场就是一个标量场;若是矢量,则是一个矢量场.,在标量场中,常用等值面(如等温面、等势面)形象地表示物理量的空间分布状态.在矢量场中,则常用矢量线描述场中物理量的分布(如用电场线表示电场),不仅可以用矢量线上每一点的切线方向表示该点矢量的方向,还可以用矢量线的疏密表示矢量的数值.,地铁安全线,水流抽气机原理,伯努利管,香蕉球原理,只平动(向下),只旋转,平动加旋转,几种流体的黏度,袖带法测量血压原理,雷诺实验演示,湍流,层流,过渡流,飞机的风洞实验,汽车的风洞实验,运动员在进行风洞实验,
