1、3.2 时间序列的协整检验 与误差修正模型,一、长期均衡关系与协整 二、协整的E-G检验 三、协整的JJ检验 四、关于均衡与协整关系的讨论 五、结构变化时间序列的协整检验 六、误差修正模型,一、长期均衡与协整分析 Equilibrium and Cointegration,1、问题的提出,经典回归模型（classical regression model）是建立在平稳数据变量基础上的，对于非平稳变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非平稳的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（cointeg
2、ration)，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子, 从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。,经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述,2、长期均衡,该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。,在t-1期末，存在下述三种情形之一： Y等于它的均衡值：Y
3、t-1= 0+1Xt ； Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ；,在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为:,vt=t-t-1,如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则t期末Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化大一些； 反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，则t期末Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳
4、序列。如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。,式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：,如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。,非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。,3、协整,如果序列X1t,X2t,Xkt都是d阶单整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)，其中，b0，X=(X1t,X2
5、t,Xkt)T，则认为序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)阶协整，记为XtCI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。,3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。,（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。 例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们
6、之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。,尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。,从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。,二、协整检验EG检验,1、两变量的Engle-Granger检验,为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t 并计算非均衡误差，得到
7、：,称为协整回归(cointegrating)或静态回归(static regression)。,非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。 需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。 于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。,MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值。,例题：对经过居民消费价格指数调整后的19782006年间中国居民总量消费Y与总量可支配收入X的数据，检验
8、它们取对数的序列lnY与lnX间的协整关系。,对于lnY与lnX，经检验，它们均是I(1)序列，最终的检验模型如下：,在5%的显著性水平下，ADF检验的临界值为2.97,对lnY与lnX进行如下协整回归：,对计算得到的残差序列进行ADF检验，最终检验模型为：,5%的显著性水平下协整的ADF检验临界值为3.59,结论：中国居民总量消费的对数序列lnY与总可支配收入的对数序列lnX之间存在（1,1）阶协整。,注意：查什么临界值表？,2、多变量协整关系的检验扩展的E-G检验,多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它
9、们有如下的长期均衡关系：,非均衡误差项t应是I(0)序列：,然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：,则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如,由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1, -0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。,一定是I(0)序列。,检验程序： 对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时，需
10、通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检验残差序列是否平稳。 如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的OLS估计及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,d）阶协整。,检验残差项是否平稳的DF与ADF检验临界值要比通常的DF与ADF检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。,MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。,3、高阶单整变量的Engle-Granger检验,E-G检验是针对2个及多个I(1)变量之间的协整关系检验而提出的。 在实际宏观
11、经济研究中，经常需要检验2个或多个高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用E-G两步法，但是残差单位根检验的分布同样已经发生改变。,三、协整检验JJ检验,1、 JJ检验的原理,Johansen于1988年，以及与Juselius一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为Johansen检验，或JJ检验，是一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法。,没有移动平均项的向量自回归模型表示为：,差分 Yt为M个I(1)过程构成的向量,I(0)过程,I(0)过程,只有产生协整，才能保证新生误差是平稳过程,将y的协整问题转变为讨论矩阵的性质问题,于是，将yt中的协整检验变成对矩阵
12、的分析问题。这就是JJ检验的基本原理。,2、 JJ检验的预备工作,第一步：用OLS分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵S0，为一个(MT)阶矩阵。,第二步：用OLS分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵S1，也为一个(MT)阶矩阵。,第三步：构造上述残差矩阵的积矩阵：,第四步：计算有序特征值和特征向量。,第五步：设定似然函数。,3、JJ检验之一特征值轨迹检验,服从Johansen分布。被称为特征值轨迹统计量。,嵌套检验,，一直检验下去，直到出现第一个不显著的(Mr)为止，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征值的经过正规化的特征向量。,4、JJ检
13、验之一最大特征值检验,该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。,嵌套检验 备择假设：至多有,由 Johansen和Juselius于1990年计算得到 Johansen分布临界值表。,5、JJ检验实例,国内生产总值GDP、居民消费总额CONSR、政府消费总额CONSP、资本形成总额INV取对数后为I(1)序列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV。 对它们之间的协整关系进行检验。,两种方法的结论是一致的。,6、JJ检验中的几个具体问题,能否适用于高阶单整序列？ JJ检验只能用于2个或多个I(1)变量的协整检验。 对于多个高阶单整序列，采用差分或对数变
14、换等将其变为I(1)序列，显然是可行的。但是，这时协整以至均衡的经济意义发生了变化，已经不反映原序列之间的结构关系。,如何选择截距和时间趋势项？ 分别考虑CE和VAR中是否有截距和时间趋势项 作为假设 显著性检验 重新检验 对协整关系检验结果无显著影响（检验统计量发生变化，但临界值同时发生变化）,如何在多个协整关系中作出选择？ 一般选择对应于最大特征值的第1个协整关系 从应用的目的出发选择,四、关于均衡与协整关系的讨论,协整方程等价于均衡方程？,协整方程不等价于均衡方程,协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上存在
15、协整关系的时间序列之间，在经济上并不一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必要条件，而不是充分条件。 均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时间序列。 协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程的随机扰动项必须是白噪声。 不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。,五、结构变化时间序列的协整检验 GH检验,1、检验模型,Gregory and Hansen(1996)将Zivot and Andrews(1992)的方法推广到协整领域。 提出的模型有3个，依次为模型A、B、C：,2、检验步骤,给定的迭代区间 内，依次假定每一个点为断点，逐次进行回归得到残差序
16、列； 作残差的单位根检验； 得到最小的t统计量，此最小值就是关键统计量的值。,六、误差修正模型 Error Correction Model, ECM,1、一般差分模型的问题,对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。,模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。关于变量水平值的重要信息将被忽略。,误差项t不存在序列相关， t是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的。,2、误差修正模型,是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。,由于
17、现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1, 1）阶分布滞后形式,Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。 一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式：,若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解0+1X，ecm为正，则(-ecm)为负，使得Yt减少； 若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解0+1X ，ecm为负，则(-ecm)为正，使得Yt增大。 体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。,复杂的ECM形式，例如：,误差修正模型的优点：如：a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题；b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在
18、的多重共线性问题；c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取；等等。,3、误差修正模型的建立,Granger 表述定理（Granger representaion theorem）Engle 与 Granger 1987年提出如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。,模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后； 由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非滞后差分项Xt 。,建立误差修正模型，需要： 首
19、先对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关系假设。 然后对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即即检验长期均衡关系假设，并以这种关系构成误差修正项。 最后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。,Engle-Granger两步法 第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）； 第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。 需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。 另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。,例题：建立中国居民总量消费Y的误差修正模型。 经检验，中国居民总量消费（Y）与总的可支配收入（X）的对数序列间呈协整关系。 以lnY关于lnX的协整回归中稳定残差序列作为误差修正项，可建立如下误差修正模型 ：,滞后阶数由LM检验确定,
