1、 ANSHUN UNIVERSITY本 科 生 毕 业 论 文（20092013 年）题 目： 数学分析中极值原理在实际中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学 2009 级 学生姓名： 方秀萍 学号： 200902014069 指导教师： 令狐荣涛 职称： 副教授 起讫日期： 2012.9.12013.4.9 安 顺 学 院学士学位论文原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明
2、。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密，在 年解密后适用本授权书。本学位论文属于不保密。（请在以上相应方框内打“” ）作者签名： 日期：导师签名： 日期：数学分析中极值原理在实际生活中的应用专业：数学与应用数学 学 号：200902014069姓名：方秀萍 指导教师：旷雨阳摘 要极值问题
3、是数学研究中最重要的问题，是经典微积分最成功的应用!它不仅在许多实际问题中占有重要的地位，也是研究函数性态的一个特征。在工农业生产，经济管理和核算中，常常需要解决怎样投入资金成本最少，产出最多，效益最高等问题。在实际生活中，也会遇到求利润最大化、用料最省等问题。这些经济和生活问题都可以转化为数学中的函数问题进行探讨，进而转化为求函数中最大值最小值的问题，而且函数的最大值最小值与函数的极值是密不可分的。本文将以数学分析中学过的极值原理为基础，给出求解极值问题的具体方法。结合生活实际中的问题，给出系统的解决方案。综合性的阐述极值原理在实际生活中的应用。在极值原理的理论学习后，如何运用所学知识解决实
4、际问题应该引起我们的重视，从而认识到极值原理在数学中的重要性以及数学在实际生活中的必不可少性！通过结合实际问题，让数学理论知识进一步运用到实际中，为我们以后能够更好的在实际生活中应用数学理论知识提供了典范！关键词：数学分析；极值原理；函数；实际生活；应用Mathematical analysis of extreme value principle applied in the practical lifeExtreme value problems are the most important issues in mathematical research, is the most succ
5、essful application of classical calculus! not only plays an important role in many practical problems, is also studying the functional State of a feature. In industrial and agricultural production, economic management and accounting, often need to address how to invest capital cost at least, outputs
6、 up to, such issues as efficient. In real life, they will have issues such as seeking to maximize profits, material to be used in most. These economic and social problems can be translated into mathematical functions to explore, turn into for maximum value minimum value the function problem, minimum
7、 value and the maximum value of the function and the function extreme value go hand in hand. This article uses a secondary school of mathematical analysis based on maximum principle, gives methods for solving extreme value problems. Combined with problems in life, given a system solution. Comprehens
8、ive description of applications of extreme value theory in real life. After the maximum principle theory of learning, how to apply the knowledge to solve real-world problems should be brought to our attention, thus recognizing the importance of extreme value theory in mathematics, and mathematics in
9、 practice indispensable! by practical problems, further use of mathematical theory to practice, as we will be able to better theoretical knowledge in real-life applications of mathematics provides a model!Keywords: mathematics；the extreme value；function；the actual；application.目 录摘要.1ABSTRACT.2 第一章 前
10、言.41.1 绪论.41.2 研究背景.41.3 国内外研究现状.41.4 研究目的.51.5 研究意义.5第二章 概述极值问题.62.1 函数极值的定义.62.2 一元极值与多元极值的关系.6第三章 一元函数极值原理在实际生活中的应用.73.1 最大利润和最小成本问题.73.2 税收额最大问题.83.3 工厂废气对环境污染最小问题.8第四章 二元函数极值原理在实际生活中的应用.104.1 最大利润问题.104.2 用材最省问题.114.3 合理调控价格问题.12第五章 多元函数极值原理在实际生活中的应用.145.1 无条件极值的应用.145.2 条件极值的应用.15第六章 结论.17参考文献
11、.18致谢.19第一章 前言1.1 绪论作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮
12、助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值不仅是函数重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值问题的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值的相关问题及在生活实际中的各种应用！1.2 研究背景极值原理在实际生活中的应用是基于函数极值问题的研究，通过分析具体问题建立适当的函数关系，进而转化成为函数极值问题进行求解，无论是在国内还是在国外，对于函数极值方面的研究已经比较完备。因此
13、，研究函数极值的应用就变得相当重要。1.3 国内外研究现状在函数极值问题中，尤其是多元函数，其涉及的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难。目前国内函数极值的求解方法主要有代入法、拉格朗日乘数法、不等式法、二次方程判别式符号法、数行结合等等方法。总的来说，函数极值问题的研究已经形成了比较完善的体系，因此，极值原理在实际生活中的应用的研究是具有十分重要的意义！1.4 研究目的本文通过有关函数极值在不同的情况下的求解问题，特别是当目标函数是一元，二元或者多元的条件下的极值求解问题。进而对现实生活中特定的例子寻找最优的解决方法。企业经营者经常依据这方面的知识来预计企业发展和项目开
14、发的前景。他们可以通过投资和利润间的关系，以及其它制约因素对总收益的影响，从而判断企业的经济效益是否得到提高，项目有没有开发前景等问题。也可以判断最小成本和最大收益之间的关系。从而将数学分析中的极值原理在实际生活中发挥最好的作用！更加进一步将数学应用到生活中，实现极值原理在实际中的应用！1.5 研究意义极值问题是数学研究中最重要的问题，是经典微积分最成功的应用!它不仅在许多实际问题中占有重要的地位，也是研究函数性态的一个特征。在工农业生产，经济管理和核算中，常常需要解决怎样投入资金成本最少，产出最多，效益最高等问题。在实际生活中，也会遇到求利润最大化、用料最省等问题。这些经济和生活问题都可以转
15、化为数学中的函数问题进行探讨，进而转化为求函数中最大值最小值的问题，而且函数的最大值最小值与函数的极值是密不可分的第二章 概述极值问题2.1 函数极值的定义一元函数极值的定义：设函数 在 附近有定义，如果对 附近的所有()fx0 0x的点，都有 ，则 是函数 的一个极大值。如果附近所有0fxf0f的点，都有 ，则 是函数 的一个极小值，极大值与极小fxx值统称为极值。二元函数极值的定义：设函数 在点 的某个邻域内有定义,对),(yfz)(0y于该点邻域内任一个异于点 的点 ，如果 ,则),(0yxx)(0yxfxf称 在点 处有极大值 。如果 ,则称),(yxfz),(0 ),(0yf ),(
16、y在点 处有极小值 。x多元函数极值的定义：若多元函数 于点 的邻域),()21nxfpfu0p内有定义,并且当 时, (或 ),则说函数p0(0f(0f在 处取极大值(或极小值),点 称为函数 的极值点。)(pf0 )f2.2 一元极值与多元极值的关系在此我们来简单探讨一元函数与多元函数的关系，以一元函数与二元函数之间的关系为例：一元极值与二元极值的关系：如果二元函数 在点 处取得极值),(yxfz),(0y则一元函数 及 在 也取得极值。但若一元函数),(0yxfz),(0yxfz,(0及 均在 取得极值，则二元函数 在点),(0yxfz ),(yxfz处不一定取得极值。故同理可得一元极值
17、与多元极值的关系：如果多元函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点取得极值。但若一元函数在某点处取得极值，则多元函数不一定在该点取得极值。第三章 一元函数极值原理在实际生活中的应用一元函数的极值原理在实际生活中应用相当广泛，例如企业的最大利润和最小成本问题，税收额最大问题，以及如何采取措施，使得工厂的废气对环境的污染最小的问题等等，这些都需要一元函数的极值原理来解决！因此一元函数的极值原理在实际生活中的应用相当重要！3.1 最大利润和最小成本的问题利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场
18、价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。例 1：某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，平均每生产 1 吨产品所需要成本费用为 60 元，市场对该产品的需求规律为 Q=1000-10P(其中 为价格，p为需求量)，求产量为多少时该工厂获得的利润最大；获得最最大利润时的价Q格又是多少？分析过程：一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。如果设总成本为 C，固定成本为 ，可变成本为 ，产量为 Q，那么，总成本函数可表0 1示为： = + 。设产品销售量等于产量 Q，产品价格为 P，则收益函数为：
19、()01R(Q)=P(Q) 解：因为总成本 是产量 的函数，即 ，而销售总收206C益为： 21010RQP于是总利润为 240QLRC令 ,15得驻点 ，20,0L所以 为极大值，也是最大值。L即当生产量 吨时总利润最大，此时最大利润是 2000 元。20Q当产量 吨时，价格 （元） ，即最大利润201081QP时的价格是 80 元。3.2 税收额最大问题问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积） 。例 2：假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是（1）273tx其中 表示产品的税率， 表示市场消费的数量。由于税率等于
20、 ，所以政tx t府的收益 就应等于税率和市场消费数量的积，即R（2）1273Rtx其中 和 被假设为非负值， 的定义域为 ，由于 和 时，t 00x3都等于零，所以 在 0 与 3 之间达到极大值。对（2）式求导数有1122 1767733xxx解得驻点 ，4.5将它代人（2）式，即收益 ，7.9R再将 代人（1）式，求得税率 。4.5x 3.6%t所以当税率为 时，政府可获得最大收益 7.79.367%3.3 工厂废气对环境污染最小问题工厂的废气对环境的污染程度不容小觑，那如何使得工业废气对环境的污染最小是大家均关心的问题，我们举例说明相关问题。例 3：烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。现有两座烟囱相距 20 ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座喷出烟尘量的 8 倍，km试在两座烟囱连线上找出一点，使该点的烟尘浓度最小. 分析过程：已知两座烟囱之间的距离，设点 C 是要求的一点，则容易列出烟尘浓度的函数表达式。且只有一个自变量，故是一元函数极值原理的应用。
