1、前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要是:,4.4 协方差和相关系数,首先,我们注意到,有,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),4.4.1 协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方
2、差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,若X1,X2, ,Xn两两独立,，上式化为,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,例1,已知离散型随机向量,的概率分布如右表,求,解,
3、的概率分布为:,布为:,例1,已知离散型随机向量,的概率分布如右表,求,解,计算得,于是有,于是,例2,解,数分别为:,从而,又,于是,从而,又,所以,故,4.4.2 相关系数,为随机变量X和Y的相关系数 .,在不致引起混淆时，记 为 .,相关系数的性质：,证: 由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有,0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,2. X和Y独立时， =0，但其逆不真.,由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,因而 =0，,即X和Y不相关
4、 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,存在常数a,b(b0），,使PY=a+bX=1，,即X和Y以概率1线性相关.,考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，,以均方误差,e =EY-(a+bX)2,来衡量以a+bX近似表示Y的好坏程度,e值越小表示 a+bX与Y的近似程度越好.,用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的a,b .,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y),e =EY-(a+bX)2 ,解得,这样求出的最佳逼近为 L(X)=a0+b0X,这样求出的最佳逼近为L(X)=a
5、0+b0X,这一逼近的剩余是,若 =0， Y与X无线性关系;,若0| |1,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;,| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,E(Y-L(X)2= D(Y)(1- ),但对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,若X与Y独立，则X与Y不相关，,但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.,证明:,设二维随机变量,根据二维正态分布的边缘概率密度知,而,令,则有,于是,由于,注:,从上面的结果可见,二维正态随机变量,它们的相关系数所确定.,所以有结论:,例3,易知,于是,不相关.,在线性关系,但,例3,但,事实上,的值完全可由,的值所确
6、定.,例4,且,是否独立.,解,由于,而,因此,例5,已知,的相关系数,设,求,及,解,因,且,所以,又因,故,稍事休息,4.5 矩、协方差矩阵,在数学期望一讲中，我们已经介绍了矩和中心矩的概念.,这里再给出混合矩、混合中心矩的概念.,协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.,称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.,可见，,协方差矩阵的定义,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,下面给出n元正态分布的概率密度的定义.,为(
7、X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,f (x1,x2, ,xn),则称X服从n元正态分布.,其中C是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，,X和 是n维列向量， 表示X的转置.,设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为,n元正态分布的几条重要性质,1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布,n元正态分布的几条重要性质,2. 若 X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，,Y1,Y2, ，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布.,这一性质称为正态变量的线性变
8、换不变性.,n元正态分布的几条重要性质,3. 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn相互独立”,等价于,“X1,X2, ,Xn两两不相关”,例2 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布.,解: XN(1,2),YN(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5,即 ZN(E(Z), D(Z),ZN(5, 32),故Z的概率密度是,ZN(5, 32),我们介绍了协方差和相关系数,相关系数是刻划两个变量间线性相关程度 的一个重要的数字特征.,注意独立与不相关并不是等价的.,当(X,Y)服从二维正态分布时，有,
