1、随堂巩固训练(8)1. 已知函数 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)x 32x1，则当 x0.因为当 x0 时，f(x)x 32x 1，所以 f(x) ( x) 32x1x 32x1，所以f(x)x 32x1，所以 f(x)x 3 2x1.2. 下列四个结论：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于 y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)0(xR) 其中结论正确的个数是_1_解析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定与 y 轴相交，错误，正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，错误；若 yf(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得
2、f(x) 0，但不一定 xR，只要定义域关于原点对称即可，错误3. 已知定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 xR 都有 f(x3)f(x)，当 x(3，0)时，f(x)3 x，则 f(2 018)_ _13解析：由题意，得 f(x)是周期为 3 的函数，所以 f(2 018)f(3 6731)f(1) 因为当 x( 3，0)时，f(x)3 x，所以 f(2 018)f(1) 3 1 .134. 定义两种运算： ab ，ab ，则函数 f(x) 是_奇a2 b2 （a b）22x2 （x2）_函数( 填“奇”或“偶”)解析：由题意，得 f(x) ，由 4x 20 且 2 0，得2x0，且 a
3、1)若 g(2)a，则 f(2)_ _154解析：由题意得 f(2)f(2)，g( 2)g(2)，由已知 f(2)g(2)a 2a 2 2，f(2) g( 2)f(2)g(2)a 2 a 22，由解得 g(2)2a，f(2)a 2a 2 .1546. 已知 yf(x)是奇函数，若 g(x)f(x)2 且 g(1)1，则 g(1) _3_解析：由 g(1)f(1) 21，得 f(1)1.因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(1)f(1)，所以 g(1) f(1)2f(1)23.7. 已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)0 恒成立，则实数 b 的取值范围是_(，1)(2
4、， ) _解析：由题意，得函数 f(x)图象的对称轴为直线 x1 ，即 a2.因为对称轴为直线a2x1，且图象开口向下，所以函数 f(x)在区间1，1上是单调增函数又 f(x)0 恒成立，则 f(x)minf(1)b 2b20，解得 b2，故实数 b 的取值范围是(，1)(2， ) 9. 对于函数 yf(x)(xR)，给出下列命题：在同一平面直角坐标系中，函数 yf(1x) 与 yf(x1)的图象关于直线 x0 对称；若 f(1x) f(x1)，则函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称；若 f(1x) f(x1)，则函数 yf(x)是周期函数；若 f(1x) f(x1)，则函数 yf(x)
5、的图象关于点(0， 0)对称其中正确命题的序号是_解析：yf(1x)与 yf(x1)的图象关于直线 x1 对称， 错；函数 yf(x)的图象关于直线 x0 对称，错；若 f(1x) f(x1)，则 f(x 2)f(x1)1f(x 11)f(x)，函数 yf(x) 是周期为 2 的函数，正确；由 f(1 x)f(x1) 可得 f(t)f(t) ，函数 f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，正确10. 设函数 f(x) 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm_2_（x 1）2 sinxx2 1解析：f(x) 1 .设 g(x) ，因为 g(x) g(x)，所（x 1）2 sinxx2 1
6、2x sinxx2 1 2x sinxx2 1以 g(x)为奇函数由奇函数图象的对称知 g(x)maxg(x) min0，所以 Mm g(x)1maxg(x)1 min2g(x) maxg(x) min2.11. 设函数 f(x) (a0，b0) 2x a2x 1 b(1) 当 ab2 时，求证：函数 f(x)不是奇函数；(2) 设函数 f(x)是奇函数，求 a 与 b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数 f(x)的单调性，并求不等式 f(x) 的解集16解析：(1) 当 ab2 时，f(x) ， 2x 22x 1 2所以 f(1) ，f(1) 0，所以 f(1)f(1)，所以函数
7、f(x)不是奇函数12(2) 由函数 f(x)是奇函数，得 f(x) f(x) ，即 对定义域内任意实数 x 都成立，化简整理得 2 x a2 x 1 b 2x a2x 1 b(2ab)2 2x(2ab4)2 x(2ab)0 对定义域内任意实数 x 都成立，所以 解得 或2a b 0，2ab 4 0，) a 1，b 2) a 1，b 2，)因为 a0，b0，所以 经检验 符合题意a 1，b 2.) a 1，b 2)故 a 与 b 的值分别为 1，2.(3) 由(2)可知 f(x) (1 ) 2x 12x 1 2 12 22x 1设 x1，x 2R，且 x1f(x2)，所以函数 f(x)在 R
8、上是减函数由 f(1) ， f(x) ，得 f(x)f(1)16 16由函数 f(x)在 R 上是减函数可得 x 的解集为 (，1)1612. (1) 已知函数 f(x)的定义域为 x|xR 且 x0，且 2f(x)f x，试判断函数 f(x)(1x)的奇偶性；(2) 已知函数 f(x)的定义域为 R，且对于一切实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性解析：(1) 因为函数 f(x)的定义域为x|xR 且 x0 ，且 2f(x)f x， (1x)所以 2f f(x) .(1x) 1x由解得 f(x) .2x2 13x因为定义域为x|xR 且 x0，关于原点对
9、称，f(x) f(x) ，2（ x）2 13（ x） 2x2 13x所以函数 f(x) 是奇函数2x2 13x(2) 因为定义域关于原点对称，令 xy0 得 f(0)f(0) f(0)，则 f(0)0.令 yx 得 f(0)f(x) f( x)，所以 f(x) f(x)，所以函数 f(x)为奇函数13. 已知函数 f(x)是定义在( ，0)(0，) 上的函数，对定义域上的任意x1，x 2，都有 f(x1x2)f(x 1) f(x2)，且当 x1 时，f(x)0， f(2)1.(1) 求证：函数 f(x)是偶函数；(2) 求证：函数 f(x)在区间(0，) 上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 21)x20，则f(x1)f(x 2)f f(x 2)f(x 2)f f(x 2)f .(x2x1x2) (x1x2) (x1x2)因为 x1x20，所以 1.x1x2因为当 x1 时，f(x)0 ，所以 f 0，所以 f(x1)f(x 2)0，(x1x2)所以函数 f(x)在区间 (0，)上是增函数(3) 令 x1x 22，所以 f(22)f(2)f(2) 2，所以 f(4)2.因为 f(2x21)2 f(4)，且函数 f(x)是偶函数，在区间(0，)上是增函数，所以 解得 x 且 x .2x2 1 0，|2x2 1|4，) 102 102 22
