1、课时提升作业 二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.已知向量 = , = ,则ABC= ( )B(12, 32) B( 32,12)A.30 B.45 C.60 D.120【解析】选 A. = + = ,BB 34 34 32| |=| |=1,所以 cosABC= = ,B BB| 32又 0ABC180,所以ABC=30.2.(2018天津高一检测)已知向量 a=(1,x),b=(-1,x),若 2a-b 与 b垂直,则|a|= ( )A. B. C.2 D.42 3【解析】选 C.因为 a=(1,x),b=(-1,x
2、),所以 2a-b=2(1,x)-(-1,x)=(3,x),由(2 a-b)b3(-1)+x2=0,解得 x=- ,或 x= ,3 3所以 a=(1,- )或 a=(1, ),所以|a|= =2,或|a|=3 3 12+( 3)2=2.12+( 3)2【补偿训练】1.(2018衡水高一检测)若向量 a,b 满足 a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量 a 与 b 的夹角等于 ( )A.45 B.60 C.120 D.135【解析】选 D.根据题意,设向量 a 与 b 的夹角为 ,a+b=(2,-1),a=(1,2),则 b=(a+b)-a=(1,-3),可得|a|= ,|b|= ,5 1
3、0cos= =- ,1123510 22又因为 0180,所以 =135.2.已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= ,若(a+b)c= ,则 a 与 c 的552夹角大小为 ( )A.30 B.60 C.120 D.150【解析】选 C.设 a 与 c 的夹角为 ,依题意,得a+b=(-1,-2),|a|= .设 c=(x,y),5因为(a +b)c= ,所以 x+2y=- .52 52又 ac=x+2y,所以 cos= = = =- .x+255 -525 12又因为 0180,所以 a 与 c 的夹角为 120.3.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c
4、满足 (c+a)b,c(a+b),则 c 等于 ( )A. B.(79,73) (-73,79)C. D.(73,79) (-79,73)【解析】选 D.设 c=(x,y),又因为 a=(1,2),b=(2,-3),所以 c+a=(x+1,y+2),又因为(c+a )b,所以有(x+1)(-3)-2(y+2)=0,即-3x-2y-7=0,又 a+b=(3,-1),由 c(a+b)得:3x-y=0, 由解得 因此有 c= .x=79,=73, (-79,73)二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)4.(2018南通高一检测)如图,在 24 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 a,b,则向量
5、 a+b,a-b 的夹角余弦值是_. 【解析】设每个小正方形的边长为 1,建立如图所示的平面直角坐标系,则 a=(2,-1),b=(3,2).所以 a+b=(5,1),a-b=(-1,-3).所以(a +b)(a-b)=-5-3=-8.|a-b|= ,|a+b|= .10 26所以向量 a+b,a-b 的夹角余弦值为 =- .-8102646565答案:-465655.已知 =(-2,1), =(0,2),且 , ,则点 C 的坐标是O O A OB A_. 【解析】设 C(x,y),则 =(x+2,y-1),A=(x,y-2), =(2,1).由 , ,得B A AOB A解得2(+2)=0
6、,2+2=0, x=2,=6,所以点 C 的坐标为(-2,6).答案:(-2,6)三、解答题6.(10 分)已知向量 a,b 满足|a |= ,b=(1,-3),且(2a +b)b. 5(1)求向量 a 的坐标.(2)求向量 a 与 b 的夹角 .【解析】(1) 设 a=(x,y),因为|a|= ,则 = , 5 x2+2 5又因为 b=(1,-3),且(2a+b)b,2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),所以(2x+1,2y-3)(1,-3)=2x+1+(2y-3)(-3)=0, 由解得 或x=1,=2 x=2,=1.所以 a=(1,2)或 a=(-2,1).(2)设
7、向量 a 与 b 的夹角为 ,所以 或因为 0,所以向量 a 与 b 的夹角 = .34(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.(2018长沙高一检测)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a +b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为 ( )A. B.- C. D.-17 17 16 16【解析】选 B.因为 a=(-3,2),b=(-1,0),所以 a2=13,b2=1,ab=3.又向量 a+b 与 a-2b 垂直,所以(a+b)(a-2b)=a 2+(1-2)ab-2b2=0,即 13+3(1-2)-2=0,解得 =- .172.(2018唐山高一检
8、测)设向量 a 与 b 的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),则 cos= ( )A.- B. C. D.-35 35 55 255【解析】选 A.因为向量 a 与 b 的夹角为 ,且 a=(-2,1),a+2b=(2,3),所以b= =(2,1),a+22则【补偿训练】设 a=(2,3),a 在 b 方向上的投影为 3,b 在 x 轴上的投影为 1,则 b= ( )A. B.(1,512) (-1,512)C. D.(1,512) (-1,512)【解析】选 A.由 b 在 x轴上的投影为 1,设 b=(1,y).因为 a 在 b 方向上的投影 为 3,所以 =3,解得 y
9、= ,则 b= .2+31+2 512 (1,512)二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.如图所示,已知点 A(1,1),单位圆上半部分上的点 B 满足 =0,则向量 的坐标为_.O O O【解析】设 B(x,y),y0,所以 = .x2+2=1,+=0,=22,=22, O(- 22, 22)答案: (- 22, 22)4.(2018长春高一检测)已知向量 a=(1, ),b=(0,t2+1),则当3t- ,2时, 的取值范围是_. 3【解析】由题意, =(0,1),根据向量的差的几何意义, 表示向量 t 的终点到向量 a的终点的距离 d,所以 d= ;(-1)2+( 3)2所以,
10、当 t= 时,该距离取得最小值为 1,3当 t=- 时 ,该距离取得最大值为 ,3 13即 的取值范围是1, .13答案:1, 13三、解答题5.(10 分)已知 a=( ,-1),b= ,且存在实数 k 和 t,使得3 (12, 32)x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且 xy,试求 的最小值. k+2【解析】因为 a=( ,-1),b= ,3 (12, 32)所以 ab= -1 =0.312 32因为|a|= =2,( 3)2+(1)2|b|= =1,ab=0,所以 ab.(12)2+( 32)2因为 xy,所以 a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即-k a2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)ab=0.所以 k= .t334所以 = (t2+4t-3)= (t+2)2- .k+2 14 14 74故当 t=-2 时, 有最小值- .k+2 74
