1、专题检测（十一） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选 D 先观察俯视图，由俯 视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确2设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A100 B. 2563C. D. 4003 5003解析：选 D 因为切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径 R 5，故球的体 积 V R3 53 ，即该西瓜的体积为 .r2 d2 42 3243 43 5003 50033(2019 届高三开封
2、高三定位考试) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A4 B2C. D43解析：选 B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角 为 ，由 tan ，得 ，故底面面积31 3 3为 22 ，则该几何体的体 积为 32.12 3 23 234 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” 已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A2 B42 2C44 D462 2解析：选 C 由三视图知，该 几何体是直三棱柱 ABCA1B1C1，其直观图如图所示，其中 ABAA 12，
3、BC AC ，C90 ，侧面为三个2矩形，故该“堑堵”的侧面积 S(22 )244 .2 25(2018惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于 1，则该几何体的外接球的体积为( )A. B. 12 32C3 D. 43解析：选 B 还原几何体为如图所示的三棱锥 ABCD，将其放入棱长为 1 的正方体中，如图所示，则三棱锥 ABCD 外接球的半径 R ，该几32何体的外接球的体积 V R3 ，故 选 B.43 326已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. cm3 B. cm343 83C2 cm 3
4、D4 cm 3解析：选 B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为 2 cm，高为 2 cm 的四棱 锥，如图，故 V 222 (cm3)13 837如图，已知EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60 ，则多面体 EABCD 的外接球的表面积为( )A. B8163C16 D64解析：选 C 由题知EAB 为等边三角形，设球心为 O，O 在平面 ABCD 的射影 为矩形 ABCD 的中心，O 在平面 ABE 上的射影为EAB 的重心 G，又由平面 EAB平面 ABCD，则OGA 为直角三角形，OG1，AG ，所以 R24，所以多面体 EAB
5、CD 的外接球3的表面积为 4R216.8(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A63 B72C79 D99解析：选 A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面 圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 325 3363.12 439(2019 届高三武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A28 B242 5C204 D2025 5解析：选 B 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示
6、，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高 为 2，所以该几何体的表面积 S (2 3)222223222 242 ，故选 B.12 22 12 510.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视图是直角边长分别为 1 和 的直角三角形，俯视3图是半径为 1 的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )A. B.36 33C. D.433 33解析：选 B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长 l2，底面半径 r1，高 h .由半圆锥 的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边， 为半圆直径，
7、高 为半径的等腰直3角三角形，棱锥的高为半圆锥 的高时，其内接三棱 锥的体积 达到最大值，最大体积为 V 1321 ，故选 B.12 3 3311(2019 届高三贵阳摸底考试) 某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A50 cm 2 B61 cm 2C84 cm 2 D86 cm 2解析：选 D 根据题意可知该几何体由 3 个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为 5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为 1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，
8、长、宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方体的表面积为2(55 5151)23570(cm 2)；长、 宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(333131)21530(cm 2)；长、 宽、高分别为 1 cm，1 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(11111 1)236(cm 2)由于几何体的叠加而减少的面积为2(33)2 (11)210 20(cm 2)，所以所求表面积为 703062086(cm 2)12在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 在线段 BD1 上，且 ，M 为线BPPD1 12段 B1C1 上的动点，则三棱锥
9、 MPBC 的体积为( )A1 B.32C. D与 M 点的位置有关92解析：选 B ，点 P 到平面 BCC1B1 的距离是 D1 到平面 BCC1B1 距离的 ，即BPPD1 12 13为 1.M 为线段 B1C1 上的点，S MBC 33 ，D1C13 12 92VMPBCV PMBC 1 .13 92 3213(2018洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2 B1C. D.23 13解析：选 C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如 图所示，其中PD平面 ABCD，底面 ABCD 是一个对角线长为 2 的正方形，底面积 S 222，高 h1，则该几何
10、体的体 积 V Sh ，故 选 C.12 13 2314(2018武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.12 22C. D.33 23解析：选 D 由三视图知，该 几何体是在长、 宽、高分别为 2,1,1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1 和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱 锥 DABC1D1 的底面积为 S 四边形 ABC1D12 2 ，高 h ，其体2 222积 V S 四边形 ABC1D1h 2 .13 13 2 22 2315(2019 届高三安徽知名示范高中联考) 某几何体的三视图如图所示，
11、则该几何体的体积为( )A1 B.12C. D.13 14解析：选 C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥SABCD，SD平面 ABCD，且 SD1，四 边形 ABCD 是平行四边形，且ABDC 1， 连接 BD，由题意知 BDDC，BDAB，且 BD1，所以 S 四边形 ABCD1，所以 VSABCD S 四边形 ABCDSD .13 13法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即13俯视图中四边形的面积，易知 S1， h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h1，所以V Sh .13 1316(2018福州质检)已知三棱锥 PABC 的四个顶
12、点都在球 O 的表面上，PA平面ABC，AB BC ，且 PA8.若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为( )A10 B25C50 D100解析：选 D 设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面 积为 9，得 ABC的外接圆的半径为 3.设该外接圆的圆心为 D，因为 ABBC，所以点 D 为 AC 的中点，所以DC3. 因为 PA平面 ABC，易证 PBBC，所以 PC 为球 O 的直径又 PA8，所以OD PA4，所以 ROC 5，所以球 O 的表面积为 S4R 2100.12 42 32二、填空题17一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图
13、为正三角形，则该四棱锥的体积是_解析：由四棱锥的三视图可知， 该四棱锥的直观图如图中四棱 锥PABCD 所示，底面 ABCD 为边长为 1 的正方形，PAD 是边长为 1 的等边三角形，作POAD 于点 O，则 O 为 AD 的中点，所以四棱 锥的体积为 V 11 .13 32 36答案：3618.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若AA14，AB2，则四棱锥 BACC1D 的体积为_解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略) ，则 BOAC，所以 BO平面 ACC1D.因为 AB2，所以 BO .3因为 D 为棱 AA1 的中点， AA14，所以 AD2，
14、所以 S 梯形 ACC1D (24) 26，12所以四棱锥 BACC1D 的体积为 6 2 .13 3 3答案：2 319.如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_解析：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面 夹角为 ，则 r4cos ， 圆 柱的高为 8sin .所以圆柱的侧面积为 32sin 2.当且仅当 时，sin 21，圆柱的侧面积最大，4所以圆柱的侧面积的最大值为 32.答案：3220(2018沈阳质检)已知在正四棱锥 SABCD 中，SA6 ，那么当该棱锥的体积最3大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高 为 h，因 为在正四棱锥 SABCD 中，SA6 ，所以 h 2108，即 a22162h 2，所以正四棱锥的体积3a22VSABCD a2h 72h h3，令 y72h h3，则 y722h 2，令 y0，得 06，所以当该棱锥的体积最大时，它的高 为 6.答案：6
