1、()温州中学 2006 年自主招生考试数学试卷说明:1、 本卷满分 150 分;考试时间： 110 分钟.2、 请在答卷纸上答题.3、 考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交.一、选择题（每小题 6 分，共计 36 分）1、方程 实根的个数为（ ）250xA、1 B、2 C、3 D、42、如图 1，在以 为圆心的两个同心圆中， 为大圆上任意一点，过OA作小圆的割线 ，若 ，则图中圆环的面积XY4A为（ ）A、 B、 C、 D、682图 3、已知 且 ，那么 ， ， ， 的大小关系是（ 0mn101nmn1nm）A、 B、C、 D、1nn 1n4、设 是不等于零的有理数， 是无理数，则下列
2、四个数 ，1,23,4p1,23,4q21pq， ， 中必为无理数的有（ ）q3q4pA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个5、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了场，乙已经赛了场，丙已经赛了场，丁已经赛了场，戊已经赛了场，小强已经赛了（ ）A、场 B、场 C、场 D、场6、将自然数 1 至 6 分别写在一个正方体的 6 个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是（ ）A、7，9 B、6，9 C、7，10 D、6，10XOAY()二、填空题：（共 6 小题，
3、每题 6 分，共 36 分）7、设 ， 为函数 图象上的两点，且 ， ，则实数1,Axy2,By21kx120x12y的取值范围是 k8、已知 是一个三位数，且 ，则 abc567bcaabc9、已知 ，则实数 的取值范围是 1234xxx10、如图 2，O 外接于边长为 2 的正方形 ， 为弧 ADABCDP上一点，且 ，则 AP图11、如图 3 所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为 ，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为 12图12、如图 4 所示，已知 中， ， ，RtABC903AB， 分别是三边 上的点，则BC,DEF,的最小值为 图K2K3LK1B CADF
4、EDCBAP()三、解答题（共 5 题，共 78 分）13、 （本题满分 15 分,共 2 小题）已知四个互不相等的实数 ， ， ， ，其中 ， .1x34x12x34 请列举 ， ， ， 从小到大排列的所有可能情况.1x234已知 为实数，函数 与 轴交于 ， 两点，函数a2yxax1,02,x与 轴交于 ， 两点.若这四个交点从左到右依次标为 , , , ,且 ，2yx3,04, ABCDABCD求 的值.14、 （本题满分 15 分,共 2 小题）如图 5 所示， ,梯形 的面积是 180， 是 的中点， 是 边上的点,且/ADBCEABF, 分别交 于 设 , 是整数. /FE,GHB
5、CmAD 若 ，求 的面积. m 若 的面积为整数，求 的值.GH图 515、 （本题满分 15 分, 共 2 小题）个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，n或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成图 6-1 中的变换？请说明理由.9 4 543 522 113+2+4=9-3 4 543 522 113-2-4=-3-2007 10032006001HGE CFDBA()图 6-1 能否通过若干次操作完成图 6-2 中的变换？ 请说明理由.图 6-2 能否通过若干次操作完成图 6-3 中的变换？ 请说明理由.图
6、6-316、 （本题满分 15 分）如图所示，在 中，已知 是 边上的点， 为 的外接圆圆心， 的外ABCDBCOABDACD接圆与 的外接圆相交于 ， 两点.求证： .OEEC020626620620065 7 943 532 11EO AB CD()图 717、 （本题满分 18 分,共 3 小题）已知方程 .3215350mnmnxxx 若 ，求方程的根.0n 找出一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数. 证明:只有一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数.2006 年温州中学自主招生考试数学答卷纸 三题号 一 二13 14 15 16 总分得分评卷人一、 选择题（每小题 6 分，
7、共计 36 分）题号 1 2 3 4 5 6答案二、 填空题（每小题 6 分，共 36 分）7、 8、 9、 10、 11、 12、 三、解答题（共 5 题，共 78 分）13、 （本题满分 15 分,共 2 小题）()14、 （本题满分 15 分,共 2 小题）15、 （本题满分 18 分, 共 3 小题）HGE CFDBA()16、 （本题满分 15 分）17、 （本题满分 15 分,共 3 小题）EO AB CD()()2006 年温州中学自主招生考试数学答卷纸答案 一、 选择题（每小题 6 分，共计 36 分）题号 1 2 3 4 5 6答案 B C D B C A二、 填空题（每小题
8、 6 分，共 36 分）7、 8、 432 1x9、 10、 23 211、 12、 8 45三、解答题（共 5 题，共 78 分）13、 （本题满分 15 分,共 2 小题）已知四个互不相等的实数 ， ， ， ，其中 ， .1x34x12x34 请列举 ， ， ， 从小到大排列的所有可能情况.1x234已知 为实数，函数 与 轴交于 ， 两点，函数a2yxax1,02,x与 轴交于 ， 两点.若这四个交点从左到右依次标为 , , , ,且 ，2yx3,04, ABCDABCD求 的值.解： ， ， ， ，1234x1324x1342x3412xx, （6 分）34x24上述 6 种情况中第
9、3，6 种情况不可能出现。否则，两个函数的对称轴相同，则 ，从而4a， ，这与题意不符。（9 分）1324x()在其他 4 种情况中，都有 （12 分）2143xx因此有 ，即 （舍去） ，166a0a或经检验 满足题意（15 分）014、 （本题满分 15 分,共 2 小题）如图 5 所示， ,梯形 的面积是 180， 是 的中点， 是 边上的点,且/ADBCEABFC, 分别交 于 设 , 是整数. /FE,GHBCmAD 若 ，求 的面积. m 若 的面积为整数，求 的值.GH解： ，/，ACD四 边 形 为 平 行 四 边 形 12FCB， 是 的中点， 为 中点，又 是FBBDE的中
10、点，故 为 图 5的重心，因此 （3 分） 12GHA所以有 , , （6 分）603ABDCS30DABS10GHDAS 作 交 于 ，则 ./KFEKE（9 分）1GHm180ABDABCDSSm1H（12 分）2180GDAHDSS即 为整数，所以 ，因为 ,所以 2，3 或 62801m1m2180351m经验证， 3 或 6，即 2 或 5. （15 分）K HGE CFDBA()15、 （本题满分 15 分, 共 2 小题）个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，n或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成
11、图 6-1 中的变换？请说明理由.图 6-1 能否通过若干次操作完成图 6-2 中的变换？ 请说明理由.9 4 543 522 113+2+4=9-3 4 543 522 113-2-4=-3-2007 1003200600102062662062006()图 6-2 能否通过若干次操作完成图 6-3 中的变换？ 请说明理由.图 6-3解：(6 分)不能. ,因此不管如何操作,变换后的 4 个数仍然除 4 余 2.不62062mod4可能出现 0. (12 分)不能如果个奇数个偶数的圈能变出个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则个奇数的圈通过有限次操作后能变成个奇数个偶数但不管如何操作，个奇数
12、的圈变换后仍然是个奇数故要求的变换不能实现(18 分)11 000112 011002 01002 100311002 10032006-2007 100320065 7 943 532 11()16、 （本题满分 15 分）如图所示，在 中，已知 是 边上的点， 为 的外接圆圆心， 的外ABCDBCOABDACD接圆与 的外接圆相交于 ， 两点.求证： .OEEC图 7证明：如图，在 上取点 ，连接 ， ， ， ， ， ，ABFABFOADEB则因为 ， ， ， 共圆， ， ， ， 共圆，DDEC因此 (6 分)12EC EO AB CDF()因为 ，所以 ，所以 (12 分)AOBABO1
13、2AEBOAE所以 1()2CE所以 (15 分)17、 （本题满分 18 分,共 3 小题）已知方程 .3215350mnmnxxx 若 ，求方程的根.0n 找出一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数. 证明:只有一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数.解：若 ，则方程化为 ，即 .3210x310x所以 （分）123x方程化为 （分）25mnx设方程 的两个解为20mn12,.x则 1,23495395mnx当 时，方程的三个根均为整数.（分）n设 （其中 为整数）295mk所以 ，即 ，n35mnk不妨设 （其中 ， ， 为非负整数） ，因此35mijkijij 2351miji又因为 5 不能整除 ，所以 ，因此有 （12 分）2mA0i2351mn()若 ，有 ； 1mn当 时， 又 ，2955mod9， ， ， ， ，57od38452mod9651od9因此 ，设 （ 为自然数） 36n3nr则 216 2155rr又 ， ， ，所以1modmod63125mod126，所以 ，又因为 ，所以2126k 2k78215k而 7 不能整除 ，所以3mA5mn故要使三根均为整数，则 ，此时 ， （15 分）012x35x
