1、 北师大版数学九年级下册第一章直角三角形边角关系（二）一、知识概括：本章知识框架图从 梯 子 的 倾 斜 程 度 谈 起 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 将 实 际 问 题 转 化 为 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 1. 锐 角 A的 正 弦 2. 锐 角 的 余 弦 3. 锐 角 A的 正 切 二、学习方法建议本章所研究的锐角三角函数，所涉及的角都是锐角，研究这样的角，可以与直角三角形直接联系起来。在利用直角三角形的边角关系求图形中的某些边或角时，都是通过数值计算。这是数形结合的一种方式。所以在分析问题时，最好画出它的平面或截面示意图，按照图中边角关系去进行计算，这样可以帮
2、助思考、便于解答、防止出错。有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，如等腰三角形、梯形等问题。从而可以运用直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。四. 错题分析例 1. 在ABC 中，AB=25，AC=24，BC=7。求A 的三个三角函数值。错解：sincostanABCACBABC725245724， ，错因：本题考查锐角的三种三角函数值的求法。解题的关键是先判断ABC 是直角三角形，此题恰好忽视了这一点，因而导致出错。正解：AB=25，AC=24，BC=7AB 2=AC2+BC2ABC 为直角三角形且C=90sincostanABCACB
3、ABC75245724， ，例 2. 计 算 ()|in|6013012错解：原 式 cossi21错因：本题主要考查特殊角的正弦、余弦值及其与算术平方根、绝对值的综合运用，解答过程中虽然代值准确，但没有正确运用算术平方根，绝对值的意义解答，因而出错。正解：原 式 160130121cossin例 3. 如图所示，为了测量河流的宽度，一测量员在河岸边相距 180m 的 P 和 Q 两点分别测定对岸一棵树 T 的位置。T 在 P 的正南方向，在 Q 南偏西 50的方向，求河宽。P Q T 错解：在 中 ，RtPQTPtanmtan.()5018245错因：弄不清题意，对于“T 在 Q 南偏西 5
4、0的方向”理解上出现错误。正解：根据题意得：在 RtPQT 中，PTQ=50Q=40tanQPTmt40185（ ）河宽约为 151m。【典型例题】例 1. 如图所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点 A，在河南岸选相距200 米的 B、C 两点，分别测得ABC=60，ACB=45。求：这段河的宽度（精确到 0.1 米） 。分析：本题主要考查直角三角形边角关系的应用，解决此题的关键是过 A 作 ADBC，构成 RtABD 与 RtCDA。解：过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D。在 RtADB 中，B=60BAD=30BDAtan30在 RtADC 中，C=45CD=AD又BC=20
5、0BDCAD320201368.（ 米 ）答：这段河宽约为 126.8 米。例 2. 如图所示，一艘渔船正以 30km/时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛C 在船的北偏东 60，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 30，已知以小岛 C 为中心周围 10km 以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区。若这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能。分析：解决此题的关键是作垂线构造直角三角形，弄清题意找出解题方法。解：解法（一）：过 C 作 AB 的垂线 CD，交 AB 的延长线于点 D。由题意得ACD=60，BCD=30在 RtACD 和 RtBCD 中
6、：AD=CDtan60，BD=CDtan30AD-BD=CDtan60-CDtan30=CD（tan60-tan30）=20CDkm206320317tant .()173.km这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。解法二：过 C 作 AB 的垂线 CD，交 AB 的延长线于点 D。由题意得：CAB=30，CBD=60BCA=CAB=30ABkm302()在 中 ：RtCDBCsinCDBkmsin()2031103km这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。例 3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 A 的
7、正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？分析：解决此题的关键是弄清题意，正确地画出图形，将实际问题化归到直角三角形中解答。解：如图所示，由点 A 作 ADBC 于 D。AB=220，B=30AD=110（千米） 。由题意得，当 A 点
8、距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，故该城市会受到这次台风的影响。（2）由题意得，当 A 点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，则AC=AE=160。当台风中心从 E 处移到 C 处时，该城市都会受到这次台风的影响。由 勾 股 定 理 得 ： D221603015EC6015（ 千 米 ）该台风中心以 15 千米/时的速度移动。这 次 台 风 影 响 该 城 市 的 持 续 时 间 为 （ 小 时 ）60154（3）当台风中心位于 D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12065.（ 级 ） 。【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）1. 如图所
9、示，太阳光线与地面成 60角，一棵倾斜的大树与地面成 30角，这时测得大树在地面上的影长约为 10m，求大树的长。 （保留两个有效数字）2. 如图所示，在ABC 中，AB=15，BC=14， SABC84，求 tanC 的值。3. 如图所示，AB 是 RtABC 斜边，CD 为斜边上的高，利用三角函数求证：CD 2=ADBD。4. 某型号的机翼形状如图所示，AB/CD，根据图中数据计算 AC、BD 和 CD 的长度（精确到0.1 米）5. 如图所示，一只船向东航行，上午 9 时到一座灯塔 P 的西南 68 海里的 M 处，上午 11 时到达这座灯塔的正南的 N 处，求这只船航行的速度（答案保留
10、根号） 。6. 如图所示，两建筑物的水平距离为 32.6 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 35，测得 C 点的俯角 为 43，求这两个建筑物的高。 （精确到 0.1 米）【试题答案】1. 解：17m2. 解：如下图所示，过点 A 作 EBC于 E，则SBCA12即48EBACRtEEC121529492在 中 ，tan3. 证明：可证 ABCD在 中 ，在 中 ，RtCADBtan即 24. 解：过点 A 作 E，垂足为 E，在 RtACE 中，求得 AC 约为 7.1 米，过点 B 作BF，垂足为 F。在 RtBD中，求得 BD 约为 5.8 米，CD 约为 3.4 米。5. 解：由题意 MP68海里， PN45设船航行的速度为 x 海里/小时。则 MN=2xsin/Nx2456817（ 海 里 小 时 ）6. 解：过点 D 作 EAB于 ，C3543，在 中 ， 米 ，Rt DE265.AEtantan同理，在 BCA中 ， .tan432643D78.（米）
