1、文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 1勾股定理重点是：勾股定理及其逆定理的应用难点是：勾股定理及其逆定理的应用1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3. 如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是 C）（2
2、）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2=a2+b2，则ABC 是以C 为直角的三角形。 （若 c2a2+b2则ABC 是以C 为钝角的三角形，若 c2a2+b2则ABC是以C 为锐角三角形）一、例题分析例 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：（3x） 2+（4x） 2=202化简得 x2=16；直角三角形的面积=13x4x=6x2=96注：直角三角形边的有关计算中，常 常要设未知数，然后用勾股定理列方程（ 组）求解。例 2、等边三角形的边长为 2，求它的面积。解：如图，等边ABC，
3、作 ADBC 于 D则：BD=1BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 2AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）BD=1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD 2=AB2BD 2=41=3AD= 3SABC = 21BCAD=注：等边三角形 面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 43a。例 3、直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是 x，y，根据题意得：)2(512yx由（1）得：x+y=7，（x+y） 2=49，x 2+2xy+y2=49 (3)(3)
4、(2)，得：xy=12直角三角形的面积是1xy= 12=6（cm 2）例 4、在锐角ABC 中，已知其两 边 a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析：显然第三边 bacb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为 c，并设ABC 是直角三角形当第三边是斜边时，c 2=b2+a2，c= 10当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b 2=a2+c2，c=2 （即 8）ABC 为锐角三角形所以点 A 应当绕着点 B 旋转，使ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点 A2位置时ACB 成为直角。故点 A 应当
5、在 A1和3AB C31 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 3A2间移动，此时 2 AC 10注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例 5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可 以 用 c2=a2+b2的变形：b 2=c2a 2=（ca） （c+a）来判断。例如：对于选择支 D，8 2（40+39）（4039） ，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形。答案：A例 6、四边形 ABCD 中，B=90，A
6、B=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。解：连结 ACB=90，AB=3，BC=4AC 2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC 2+CD2=169，AD 2=169AC 2+CD2=AD2ACD=90（勾股定理逆定理）S 四边形 ABCD=SABC +SACD =1ABBC+ 2ACCD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3，求 n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1） 2+（n+2） 2
7、=（n+3） 2化简得：n 2=4ABCD文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 4n=2，但当 n=2 时，n+1=10，n=2二、练习题1、等腰三角形的两边长为 4 和 2，则底边上的高是_，面积是_。2、一个直角三角形的三边长为连 续偶数，则它的各边长为_。3、一个直角三角形一条直角边为 16cm，它所对的角为 60，则斜边上的高为_。4、四个三角形的边长分别是3，4，5 ；4，7，8 21； 7,24,25；3 21,4 ,521其中是直角三角形的是（ ）A、 B、 C、 D、5、如果线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比可以 是（ ）A、1：2：4 B、！：3：5 C、3：4：7
8、 D、5：12：136、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=1 5，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180。7、已知直角三角形中，两边的长为 3、4，求第三边长。8、ABC 中，C=90，a=5，cb=1，求 b，c 的长。A BCD文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 59、如图：ABC 中，AD 是角平分线，AD=BD，AB=2AC。求证：ACB 是直角三角形。ABC D文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 6答案：1、 5，2、6，8，103、8cm4、D5、D6、本题类似于例 6，需连结 AC 证出ACD 也是直角三角形，从而1+2=90，3+4=90，DAB+DCB=1807、解：设第三边长为 x,当第三边是斜边时：x 2=32+42=25，即 x=5当第三边不是斜边时，则斜边长为 4：x 2=423 2，即 x= 78、此题类似于例 3解：根据题意得： 15)(22bca 15bc 239、证明：作 DEAB 于 EAD=BD,DEAB2AE=AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）DEA=90（垂直的定义）又AB=2ACAE=ACAD 是角平分线1=2在ACD 和AED 中A C 文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 7ADEC21ACDAED（SAS）C=AED=90（全等三角形对应角相等）ACB 是直角三角形。
