1、合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 - 1 - 页 共 8 页四种命题、充要条件【考纲要求】1、理解命题的概念.2、了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.【知识网络】四种命题、充要条件充要条件四种命题及其关系互为逆否关系的命题等价充分、必要、充要、既不充分也不必要【考点梳理】一、命题 ：可以判断真假的语句。二、四种命题原命题：若 则 ； 原命题的逆命题：若 则 ；pq qp原命题的否命题：若 ，则 ； 原命题的逆否命题：若 ，则q
2、三、四种命题的相互关系及其等价性1、四种命题的相互关系时间段 授课内容一 知识分析二 例题讲解三 难点突出四 总结梳理合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 - 2 - 页 共 8 页互 逆否 命 题若 p则 q原 命 题若 p则 q逆 命 题若 q则 p逆 否 命 题若 q则 p互 逆互 逆 否为 互 逆 否为否 否互 互2、互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同。所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性。四、充分
3、条件、必要条件和 充要条件1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件， 谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。如：命题 是命题 成立的条件，则命题 是条件，命题 是结论。pqpq又如： 命题 成立的条件是命题 ，则命题 是条件，命题 是结论。qp又如：记条件 对应的集合分别为 A,B 则 ,则 是 的充分不必要条, AB件； ,则 是 的必要不充分条件。AB2、 “ ”读作“推出” 、 “等价于” 。 ，即 成立，则 一定成立。3、充要条件已知命题 是条件，命题 是结论pq（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.p所谓“充分” ，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。
4、如： 是 的充分条件。3x4（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.qq所谓“必要” ，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足 才是偶函数，满足)(xff是奇函数。)(xff（3）充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.pqpq【典型例题】类型一：四种命题及其关系例 1. 写出命题“已知 是实数，若 ab=0，则 a=0 或 b=0”的逆命题，否命,ab合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Z
5、hi Educational Training Center第 - 3 - 页 共 8 页题，逆否命题，并判断其真假。解析：逆命题：已知 是实数，若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题；,ab否命题：已知 是实数，若 ab0，则 a0 且 b0，真命题；逆否命题：已知 是实数，若 a0 且 b0 ，则 ab0，真命题。,点评：1.“已知 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；,ab2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 举一反三：【变式】写出下列命题 的否定，并判断真假.(1) xR， x2 x10；(2) xQ， x2 x1 是有理数；13 1
6、2(3) 、 R，使 sin( )sin sin ；(4) x， yZ，使 3x2 y10.【解析】(1)的否定是“ xR， x2 x10”.假命题.(2)的否定是“ xQ， x2 x1 不是有理数” .假命题.13 12(3)的否定是“ ， R，使 sin( )sin sin ”.假命题.(4)的否定是“ x， yZ，使 3x2 y10”.假命题.类型二：充要条件的判断例 2.设有两个命题：p：x 22x2m 的解集为 R；q：函数 f(x)(73m) x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数 m 的取值范围解析：若命题 p 为真命题，可知 m1；若命题 q 为真命题，则 73
7、m1，即 m或 0，43得 m4.综上，要使“ P Q”为真命题，只需 P 真 Q 真，即28,14或解得实数 m 的取值范围是(4,8.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 - 5 - 页 共 8 页举一反三：【变式】设命题 ；命题 ，若 是:431px2:(1)()0qxaxp的必要而不充分条件，求实数 的取值范围.qa【答案】由题意知：命题：若 是 的必要而不充分条件的等价命题即逆p否命题为： 是 的充分不必要条件.q；1:43
8、2pxx即 ，所以2()()0a10xa1ax 是 的充分不必要条件，即 ，q,2， 如图：，则 ， . 12a102a即 的取值范围是 .(,)【巩固练习】一、选择题1、下列命题不是全称命题的是 ( )A.在三角形中，三内角之和为 180 B.对任意非正数 c，若 abc，则 abC.对于实数 a、b，|a1|b1|0 D.存在实数 x，使 x23x20 成立2、已知命题 p：xAB，则 是 ( )pA.xAB B.xA 或 xB C.xA 且 xB D.xAB3. 用反证法证明命题“若 mn 是偶数，则 m、n 都是偶数”时，正确的假设是（ ）A假设 m、n 都不是偶数 B假设 m、n 不
9、都是偶数C假设 m、n 都是偶数 D假设 m、n 都是奇数 4. 若 p，q 是两个简单命题，且“p 或 q”的否定是真命题，则必有（ ）A、p 真 q 真 B、p 假 q 假 C、p 真 q 假 D、p 假 q 真5. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）A B2,30xR2,1xNC 使 DZ513Q6、命题 ：若 ，则 与 的夹角为钝角。命题 ：定义域为 R 的函数 在pabbq()fx及 上都是增函数，则 在 上是增函数。下列说法正确的是（ (,0)(,)()f,)）合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 - 6 -
10、 页 共 8 页A “ 或 ”是真命题 B “ 且 ”是假命题pq pqC “ ”为假命题 D “ ”为假命题7已知 为非零的平面向量.甲： ，乙： ，则（ ）a,bcabcbcA甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 设语句 p: x=1, q:x 2+8x-9=0，则下列各选项为真命题的为（ ）A、p 且 q B、p 或 q C、若 q 则非 p D、若非 p 则 q9设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则 是 的( )ABUA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也
11、不必要条件10.“ ”是“直线 与直线 相互12m(2)310xmy(2)()30xmy垂直”的 （ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件二、填空题11给定下列命题：“若 m1，则方程 x22xm0 有实根”的逆否命题；“若 ab，则 acbc”的否命题；“若 xy0，则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题；“若 ac2bc 2，则 ab”的逆命题. 其中真命题的序号是 . 12设 有四个命题：,Zn ； ； ； 其中真命题的序号2,22,n,.nm是 .（把你认为符合的命题序号都填上）三、解答题13已知 c0，设命题 p：函数 ycx 为减函数
12、，命题 q：当 x ，2时，函数 f(x)12x 恒成立如果 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求 c 的取值范围1x 1c14.已知 P x|x28x 20 0，Sx|x1|m (1)是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件若存在，求 m 的范围(2)是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的必要条件若存在，求出 m 的范围【参考答案与解析】1. 答案：D解析：有全称命题的定义知选 D,D 是特称命题。2. 答案：C解析：由 xAB 知 xA 或 xB.所以选 C3. 答案：B；合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Cen
13、ter第 - 7 - 页 共 8 页解析：“都是”的否定词语是“不都是” ，而不是“都不是”.4. 答案：B；解析：“p 或 q”为假命题.5. 答案：C；解析：由于 ，都有 ，因而 ，所以选项为假命题；由于 ，xR20x23x0N当 时， 不成立，故选项 B 为假命题；由于 ，当 时， ，所以0x211Z1x5选项 C 为真命题；由于使 成立的数只有 ，而它们都不是有理数，因此没有任何3一个有理数的平方能等于 3，所以选项 D 为假命题.6. 答案：B；解析：由题得命题 是假命题，因为当向量 时，两个向量的夹角为pa10bA不是钝角。命题 是假命题，如函数 。所以选 B.018,qyx7.
14、答案：B；解析： = ，而 ，故甲是乙的必要abc()0bbc()0abc而不充分条件.8. 答案：C；解析：选择项 A、B 不是命题，不选 A、B；p：x1, q:x 2+8x-90，若p 则 q 是假命题，不选 D；若 q 成立，即 x1 且 x-9，显然 x1 即p 成立，选项 C 为真命题。9. 答案：A；解析:运用文氏图.当 A B 时,如图（1）所示，则 成立；UAB当 A=B 时,如图（2）所示，则 也成立。图（1） 图（2）故 ，而ABUUAB所以 是 的充分不必要条件，答案 A.10. 答案：B；解析：当 时两直线斜率乘积为 ，从而可得两直线垂直；12m1当 时两直线一条斜率
15、为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。11. 答案：；解析： ，故方程有实根，原命题是真命题，所以它的逆否命题1,4()合肥皖智教育培训中心He Fei Wan Zhi Educational Training Center第 - 8 - 页 共 8 页也是真命题，即正确；的否命题为“若 则 ”，显然是正确的，即,abcb为真命题；的否命题为“若 ，则 都不为 0，为真命题；的逆命题为“若0xyy、则 ”，当 时，命题不成立，故为假命题.,ab2cc12. 答案：；解析：由已知命题显然成立；对于命题，当 时不成立；对于命题，显然n时不成立
16、；对于命题 ，存在 使命题成立,所以正确. 0n 1n13.解析：由命题 p 知 0c 1，由命题 q 知：2x .1x 52要使此式恒成立，则 2 ，即 c .1c 12又由 p 或 q 为真，p 且 q 为假知，p、q 必有一真一假，p 为真，q 为假时，p 为真，0c1；q 为假，c ，0c .12 12p 为假，q 为真时，p 为假，c0 或 c1；q 真，c ，c1.12综上可知，c 的取值范围为 0c 或 c1.1214. 解析：(1)Px |2x10，Sx|1mxm1若 xP 是 xS 的充要条件，Error!，m 不存在(2)若存在实数 m，使 xP 是 xS 的必要条件，SP.若 m0，即 S时，满足条件若 S，应有Error!解之得 0m3.综之得，m3 时，xP 是 xS 的必要条件
