1、排队论算例【例题 1】某排队模型为 M/M/1/3/FCFS，=2，=3，试求该系统各状态的概率？2233S0解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下： 123.0)(78)3(5942.)()1.0 1)0(2765)(8)0(94)(32)0(785)3(2)()(100)(0 P PPPiPi由 正 则 条 件 知 ：【例题 2】某状态转移图如下示，试求其状态指标？ S解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下： 245)1(463)()(241 1)(24)(516)(21)(5)(63)(21)()(342)(1341 PP PPPiPPi由 正 则 条 件 知 ：解 得
2、：【例题 3】生灭过程图如下示，试求 M / M / 1 / 4排队系统的状态指标（=2 辆/h，=3 辆/h）？ S0232S4解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下，并计算出状态指标： 076.)(81)4(423.)(9)(56021384.)( 1)0(82)(16)0(278)(94)0(32)(816)( )(7)(531209421)(0)( PP PPPiPPi由 正 则 条 件 知 ：【例题 4】求解下列生灭过程的状态指标？解：系统容量有限，即最多可同时容纳 3 个顾客。系统中可能容纳 0 个、1 个、2 个和3 个顾客，即有 4 个状态。对于状态 有： ，即：0S1
3、032P012对于状态 有： ，即：12523P对于状态 有： ，即：33019由正则条件可知， ，即：210P45.故有： 、 、 。.0P53【例题 5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为 7.2s，汽车的到达率为 400 辆/h，服从泊松分布。试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过 100m（即排队车辆超过 12 辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？解：显然这是一个 M/M/1/ 排队系统，收费
4、亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收/2 223S 0 S 1 S 2 S 343费亭交费便是接受服务。辆/h， ；40hs/50/2.71辆辆 服务强度 ，故排队系统是稳定的。84（1）收费亭空闲的概率：收费亭空闲的概率即为系统中没有车辆到达的概率 ，即：0P%20.10P（2）收费亭前没有车辆排队的概率当系统中没有车辆或只有一辆车辆（这辆车正在被服务时） ，便没有车辆排队。即没有车辆排队的概率为： %36.082.0)1(1 （3）收费亭前排队长度超过 100m（即排队车辆超过 12 辆）的概率排队长度超过 100m 的概率即为排队车辆超过 12 辆的概率，也即是系统中车辆超过 13辆的概率。
5、 %4.8.0)1( )1()(1)(3)( 14 403 iiP（4）平均排队长度 辆2.380).(2q（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值 辆/6304.snd（6）车辆的平均排队时间 辆/8.23604.sqw【例题 6】某高速公路入口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为 300辆/h，收费员平均每 10s 完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计检查站上排队系统的平均车辆数、平均排队长度、平均逗留时间和平均等待时间？解：显然这是一个 M/M/1/ 排队系统。/辆/h，30hs/3601辆辆 服务强度： ，故排队系统是稳定的16530系统中的平均车辆数： 辆5
6、61n平均排队长度： 辆7.45)(122q系统中的平均消耗时间： 辆/603snd系统中的平均等待时间： 辆/51qw【例题 7】某大桥在维持交通的情况下进行修建，车辆上、下桥由交警指挥行驶，平均每辆车下桥时间为 9s，如果桥上单方向来车的交通量为 300 辆/h，试分析桥上的排队情况？解：显然这是一个 M/M/1/ 排队系统/辆/h，30hs/4091辆辆 服务强度： ，故排队系统是稳定的175.3系统中的平均车辆数： 辆3.0n平均排队长度： 辆25.7.1)(2q系统中的平均消耗时间： 辆/360snd系统中的平均等待时间： 辆/279/1/qw【例题 8】拟修建一个服务能力为 120
7、 辆/h 的停车场，布设一个出入道。据调查每小时有72 辆车到达，车辆到达服从泊松分布，每辆车的服务时间服从负指数分布，若出入道长度能容纳 5 辆车，问是否合适？解：显然这是一个 M/M/1 排队系统辆/h， ，服务强度： ，排队系统稳定。72h/120辆 16.027系统中的平均车辆数： ，该数量应该是合适的，现辆辆 5.160.1n具体计算如下。因出入道存车量为 5 辆，如果存车量超过 5 辆的概率很小，那么数量是合适的，反之则不合适。； ；4.061)0(P 24.0)61(.0)1()( P； ；)(22 8633； ；05184.6.01)4(4 031.4.0)1()(55，小概率
8、事件，通常认为不会发生，即此数量是合适的。5.)(550iP【例题 9】某市区有一汽车加油站，站上服务台平均 36s 处理一辆汽车，加油时间服从负指数分布，汽车到加油站加油的到达率为 80 辆/h ，并服从泊松分布。当等待加油的汽车超过 10 辆（即排队长度超过 80m）时，将影响加油站附近街道的正常交通，因而规定排队汽车不得超过 10 辆。试求：（1）加油站空闲的概率？（2）汽车来加油但因排队已满而被拒绝的概率？（3）在系统中的平均顾客数？（4）平均排队长度？（5）汽车在整个加油过程中所花的时间？（6）汽车的排队等候时间？解：该系统为 M/M/1/ /FCFS，并且 ，即： 。/m101m辆
9、/h， 辆/h，8010368.（1）加油站空闲的概率 215.08.10mP（2）汽车被拒绝加油的概率汽车被拒绝的概率就是系统饱和时的状态概率 ，即：mP，即约 2%的汽车因队满而被拒绝加油。 0.18.8.01 12mmP（3）系统中的平均车辆数辆1.38.02.1)( mn（4）平均排队长度辆.53)1(0Pq（5）汽车在整个加油过程中花费的时间有效到达率： 辆/h5.78)21.0(0eshnde140.578.3（6）汽车排队等候时间 sw8361【例题 10】单人理发馆有 6 个椅子接待人们排队等待理发，当 6 个椅子都坐满时，后来的顾客就不进店而离开，顾客的平均到达率为 3 人/
10、h ，理发需时平均 15min，求该排队系统的状态指标和运行指标？解：有 6 个椅子等待人们排队，同时正在理发的有一个顾客，即整个系统中最多能容纳 6+17 人，即 。7m人/h， 人/h，341560175.043（1）某一顾客一到达就能理发的概率，即系统中有零个顾客的概率 278.0.810mP 752.nn，即有 3.7的顾客不等待就离开，这同时也是%.3078 0m理发馆的一种损失。（2）系统运行指标的计算平均顾客数： 人1.275.08.1)(1 mn平均排队长度： 392.)(0Pq（3）有效到达率人/min048.)7.1(510e（4）时间的计算平均逗留时间： min.2end
11、平均排队时间： i9154w对于上述问题，如果采用标准的 M/M/1 排队系统来处理的话，其计算结果如下：，排队系统稳定。175.043，25.07.10P nnP75.02)1(人，375.1n q，min60hd min457.032.hw现将 M/M/1/ /FCFS 排队系统和 M/M/1/ /FCFS 排队系统比较如下：/7/人/h3人/h4nqdw0P可能到达的顾客中有多少离 开有限队长为 7 2.11 1.39 44 29 0.278 3.7%无限队长 3 2.25 60 45 0.25 0%【例题 11】求 M/M/1/ /排队系统的状态指标及运行指标（ 、 ，单位：辆4 23
12、/h）解：对于系统状态数较少的排队系统，直接从定义出发求状态指标和运行指标也是很方便的。如本例中仅有 5 个状态，应用定义法来进行求解。首先根据平衡条件列出状态平衡方程并求解状态概率。，利用正则条件 可得：43211025P140iP076.14.2538.03运行指标： 辆2.214300 ini辆67.0)1(43241 PPqi辆/h8.1).0(30e，hnd67.84.12hqw39.04.627【例题 12】某汽车修理服务站，前来修理的车辆是随机到达的，到达率为 4 辆/h，每辆汽车在场上修理的持续时间平均为 0.5h，且服从指数分布。该站有 5 个修理服务台可供停车修理，求该汽车
13、修理服务站的运行特性？解：显然该服务站的服务系统为 M/M/s/ / 系统。并且有：， 辆/h， 辆/h ， ， ，系统稳5s425.01414.025s定。（1）系统中无车修理的概率（即所有服务台均为空闲的概率） 134.0.72)4.01(!52!)(1!)(! 5400 nnssnnsP（2）修理站前不出现汽车排队的概率当在修理站修理的汽车不超过 5 辆时，就不会出现排队现象。显然当 时， ，故有：5n134.02!)(!0nnnP；268.134.021P 2682；1790!3 095134!4；故358.4.25 %.7.)()(50iP即在 97.59%的情况下，不会出现排队的现
14、象。（3）出现排队的概率 %41.20.)(1)5(50iP（4）修理站前的平均排队长度辆04.3.)4.1(!5)1(!2502sqs（5）整个修理系统中的平均车辆数辆n（6）汽车排队等候修理所花费的时间 hqw01.4.（7）汽车在整个修理过程中所花的时间d5【例题 13】一收费公路，高峰小时以 2400 辆/h 的车流量通过四个排队车道引向四个收费口，平均每辆车办理收费的时间为 5s，服从负指数分布，试分别按 M/M/4 系统和 4 个平行的 M/M/1 系统计算各相应指标并比较之？解：1首先按照单路排队多通道服务系统来进行计算（M/M/4 系统）， 辆/h， 辆/h， ， ，4s207
15、20536310165340s故排队系统稳定。 2.)310(65!4)310(!)(1!)(! 410 nnssnnsP.021.)651(!43)1(!402sqs.3nsqw56024.d12按照多路排队多通道服务系统来进行计算（4 个平行的 M/M/1 系统）该排队系统的含义为：每个通道对应着一个队列，顾客不能随意换队，且每个通道仅为其所对应的一队顾客服务。辆/h， 辆/h ， ，故系统稳定。604720536165720； ；10P6/1n 7.4/5)(1q；sd3065 sdw230下面将两种系统的相应指标做一个比较如下：系统类别服务指标4 个平行的 M/M/1（1） M/M/4
16、（2）%10)(2n2056.6 67%q68.7.3.3 80.2%d30 10 66.7%w25 5 80%由上表可见，在相同的通道数目下，M/M/s 排队系统明显地由于 s 个平行的 M/M/1 排队系统。其原因在于：s 个平行的 M/M/1 系统表面上到达车流量被分散，但实际受到排队通道与服务台之间一一对应的束缚，如果某一服务台由于某种原因拖长了为某个顾客的服务时间，显然要增加在此通道后面排队顾客的等待时间，甚至会出现邻近通道排队顾客后来居上的情形。而 M/M/s 系统就要灵活得多，排在第一位的顾客可视哪个服务台有空就到那个服务台去接受服务，以此来充分发挥服务台的服务能力，因而该系统显
17、得优越。【例题 14】某售票所有三个窗口，顾客的到达数服从泊松分布，平均到达率为 0.9 人/min，售票时间服从负指数分布，平均服务率为 0.4 人/min，现有顾客到达后排成一个队，以此向空闲的窗口购票，试计算该排队系统的状态指标和运行指标？解：显然这是一个 M/M/3/ / 系统。并且有：， 辆/h， 辆3s9.04.0/h， ， ，故该排队系统稳定。25.4175.39s（1）整个售票所空闲的概率 0748.)25.(7.01(!3)25.(!1)(1!)(! 3200 nnssnnsP（2）平均的排队长度 .48.)5.(!7.)(!2302 Psqs（3）系统中的平均顾客数量 9.
18、37.15n（4）每位顾客的平均等待时间 min89.10.qw（5）每位顾客平均所花费的时间 i3.452.d【例题 15】汽车自动加油站上设有两个加油管，汽车按简单流到达，平均每 2min 到达一辆，汽车加油时间服从负指数分布，平均每辆车的加油时间为 2min。自动加油站最多只能停 3 辆汽车等候加油，如果汽车到来时，系统已饱和，则汽车另求服务。试求该系统的运行指标？解：该加油站服务系统符合 M/M/s/ /FCFS 排队模型，并且有：/m； ，即 ；2s3s52辆/min； 辆/min； 。.02.0s（1）加油站空闲的概率 8.125)34(2!11)(!)(! 200 kkmsssk
19、kP（2）系统损失率（即为汽车因系统饱和而被拒绝的概率，也即是 ）mP512.08.24!50Psm（3）排队汽车的平均数 辆176.2)(231)2(!408. )(1)(2 smsmsq（4）整个加油站的平均车辆数辆8.4)5.0(76.)(mPsqn（5）汽车平均排队时间 min23.)51.0(2)1(mw（6）汽车在整个加油过程中花费的时间 i.43.d【例题 16】交叉口规划问题1问题的提出某无控交叉口，主要道路和次要道路的车流到达过程符合泊松分布。设次路车流的交通量为 350 辆 h，次路车辆到达停车线到通过交叉口的平均服务时间为 10s，试求该系统的运行指标？2问题的分析对于主
20、要道路与次要道路相交的无控交叉口，主要道路有优先通行权，即主要道路上的汽车通行不受次要道路上汽车的影响，次路上的汽车必须等候主路上汽车流中较大的车头间距时才能横穿通过。若把车辆通过交叉口看成是车辆接受了服务，那么次要道路上排队车流中的第一辆汽车为正在接受服务的顾客，第一辆汽车从到达停车线到通过交叉口的时间就是服务时间，它与主路车流的车头间距分布有关，当主路车流符合泊松流时，次路车辆的服务时间总是服从负指数分布的。在次路车流中，从第二辆起的汽车即为排队等候服务的顾客。因此，该交叉口系统就是一个标准的 M/M/1 系统。3问题的求解解：显然这是一个 M/M/1 排队系统。辆/h， ，50hs/36
21、0/1辆辆 服务强度 ，故排队系统是稳定的。1972.5交叉口没有车辆的概率：；%8.010 P交叉口前排队车辆（含正待通过的第一辆车）超过 50 辆的概率： 5.2397.0)1(1)( 5)( 15150iiP交叉口前的平均排队车辆数（含第一辆车）：；辆35972.0n车辆从到达到通过交叉口的平均时间： 辆/1.350hnd从上面的这些指标可以看出，该交叉口是相当拥挤的，交叉口前有 97%的时间出现排队现象，平均排队长度达 35 辆，有 24%的时间排队长度超过 50 辆，车辆在交叉口前平均需排队约 6min，阻塞相当严重，应采取措施予以改善，如拓宽进口、设置两条平行的进口车道或设置交通信
22、号灯等。【例题 17】停车场规划问题1问题的提出某闹市区拟新建一小型停车场，根据预测，前来停放的车辆到达为泊松流，到达率为10 辆/h，停放时间服从负指数分布，平均为 2h，停车场的收费标准为 0.5 元/ （辆 h） 。停车场的建造养护费为每个空位 0.5 元/h ，试规划最合理的停车场容量？2问题的分析在停车场系统中，可以把车辆停放在停车场看成是车辆在接受服务，每个停车位置就是一个服务台，假设停车场的容量为 ，当停车场上停满车辆时，后来的车辆就另求停车s场，不允许排队等候空位。因此，停车场系统就是多通道损失制排队系统，即 M/M/s/m/系统，其中有 ，因而该问题的求解应利用到如下的公式。
23、即：sm，skkP0)(!1snPsn0 )(!1，qw，)1(sPn1d在停车场系统中，若停车场容量过小，则被拒绝的车辆就越多，每拒绝一辆车，就造成了 0.5 元/h 的营业损失费。相反，若停车场的容量规划得过大，则停车场内出现空位的概率就大，每出现一个空位就浪费 0.1 元/h 的建造养护费。所以，最合理的停车场容量就是使营业损失费和空位损失费之和达到最小的容量。3问题的解决显然，在该系统中， 辆/h ， 辆/h ，故有 。105.021205.1在停车场规划时，其容量（即停车泊位数）通常取 5 的倍数，故可以取等来进行试算，以确定最佳的停车场容量。20,15s具体的试算过程用下表来表示：
24、停车场容量（个）停车场 空闲的概率 系统损失率停车场的平均 车辆数（辆）停车场的平均空位数（辆）每小时平均拒绝的车辆数（辆）总损失（元） s 0P s n ns sP)5(1.065 2.87E-05 0.764 4.72 0.28 7.64 3.84810 1.91E-07 0.538 9.24 0.76 5.38 2.76615 1.32E-08 0.331 13.38 1.62 3.31 1.81720 3.69E-09 0.159 16.82 3.18 1.59 1.11325 2.32E-09 0.050 19.00 6.00 0.50 0.85030 2.09E-09 0.008
25、19.84 10.16 0.08 1.05635 2.06E-09 0.0007 19.99 15.01 0.007 1.50540 2.06E-09 0.00003 20.00 20.00 0.0003 2.000现在的目标是使总损失达到最小。从表中可见，在该停车场系统中，最合理的停车容量为 25 辆，这时汽车被拒绝的概率仅为 5%，场上平均有 19 辆车停放。【例题 18】收费亭问题1问题的提出在某收费公路入口处，并排设有 3 个收费亭，车辆进入收费公路需在收费亭前交费，因而在收费亭前常出现排队现象，收费亭前的排队通道有两种形式，即单路排队多通道服务系统和多路排队多通道服务系统。假设 3
26、个收费亭的服务率是相同的，平均 10s 处理一辆汽车，车辆的到达率为 900 辆/h 。试比较两种排队系统的运行指标？2问题的求解解：按照 M/M/3 系统和 3 个平行的 M/M/1 系统来进行计算并比较。首先按照单路排队多通道服务系统来进行计算（M/M/3 系统）， 辆/h， 辆/h， ，3s9036015.23609，故排队系统稳定。65s1收费亭空闲的概率 045.).2(651!3.2!1)(1!)(! 300 nnssnnsP2车辆必须排队的概率（即 ）)3(P，12.045.01P 140.5.25.0)(2 P17.045.6)(63033 86.13210PP3排队的平均车辆
27、数辆512.04.)651(!3.)1(!2302sqs4整个系统中的平均车辆数辆02qn5汽车的平均排队时间 sw05.143690.6汽车通过收费亭所花的总时间 sd.2.1按照多路排队多通道服务系统来进行计算（3 个平行的 M/M/1 系统）对于每个子系统均有：辆/h， 辆/h， ，故系统稳定。093601165301 ；167.00P2车辆必须排队的概率 39.5.)(164.0167010 3各子系统的平均车辆数辆5/1n4各子系统排队的平均车辆数辆167.4/5)(22q5每辆车的平均逗留时间和平均排队时间；snd030 sdw5016下面将两种系统的相应指标进行如下比较系统类别服
28、务指标M/M/3 3 个平行的 M/M/1服务台空闲的概率 0P0.045 0.167（每个子系统）汽车必须排队的概率 0.586 0.694系统中的平均车辆数 n6.012 15（整个系统）排队车辆的平均数 q3.512 12.501（整个系统）汽车在系统中逗留的总时间 d24.05s 60s汽车的平均排队时间 w14.05s 50s经比较可知，M/M/3 系统明显优于 3 个平行的 M/M/1 系统。【例题 19】在收费站服务水平评价中的应用某收费公路设计年度年平均日交通量为 15000 辆/日，第 30 位小时交通量与年平均日交通量的比值为 0.12，拟采用均一制收费，单向设 3 个收费
29、车道，试分析确定该收费公路收费广场的服务水平。解：如何来评价收费广场处的服务水平呢？主要是通过收费广场处各收费车道的平均排队长度来进行评价。 （即指标选定为平均排队长度，通常认为排队长度小于 3 辆时，服务水平可以接受，若平均排队长度大于 3 辆，则为一种不可接受的服务水平）1参数分析双向交通量： =15000 辆/日，双向流量应转化成单向流量，转化时要考虑到ADT方向分布系数，此处 未给出，计算时可取 =0.6。KDK设计小时交通量： 0.12，可将一日的单向交通量转化成单向设计小时交通量。DHV收费方式采用均一制，平均服务时间为 810s，此处采用 9s 来计算。 3，则满足要求。q2系统
30、分析到达的车辆可以视哪一个收费车道有空就到那一个收费车道去接受服务，因此此处应视为一个 M/M/3 系统，利用单路排队多通道服务系统的公式来进行计算。3计算辆/h1086.2150DKATDHV7.240189/36由于收费时单向设有 3 个收费车道，即： ，故排队系统稳定。19.0372s系统中有 0 个顾客数的概率为： 249.7)9.01(!37.2!)(1!)(! 3010 nnssnnsP平均排队长度： 辆，由于有 3 个收费车道，4.)9.1(3)(22 Pqs即： 辆3 辆，即此收费公路收费广场的服务水平可以接受。5.3/4.7Nq【例题 20】简化的排队延误分析方法排队论常以简
31、化的方法来分析交通拥挤现象，这种简化主要是指假设在某一持续时间内车辆的出入都是均一的。下面用一个实例来进行分析。有一公路与铁路的平面交叉口，火车通过时必须关闭栅栏，栅栏关闭的时间为，已知公路上车辆以均一的到达率 辆/h 到达交叉口，而栅栏开启后排队htr1.090的车辆以均一的离去率 辆/h 离开交叉口，试使用简化的排队延误分析方法分析该120交叉口的排队情况，并计算如下指标值：单个车辆的最长延误时间 ；最大排队车辆mt数 ；排队疏散时间 ；受阻车辆总数 ；排队持续时间 ；平均排队车辆数 ；Q0tni Q单个车辆的平均延误时间 ；车辆的总延误时间 。dD解：各项指标的计算如下：分析哪一辆车的延
32、误时间最长？显然是栅栏刚关闭时到达的那一辆车的延误时间最长，即： 0.1h。rmt栅栏关闭期间，车辆只有到达而没有离去，所以在栅栏刚开启时排队的车辆数最多。即： 辆。901.rtQ栅栏开启后，排队车辆的队头以 辆/h 的离去率离开，而队尾仍以120辆/h 的到达率到达。即一个小时内可以疏散的车辆数为：90辆，故排队的疏散时间为： h。3012 3.09120Qt受阻的车辆总数即为在疏散时间内离去的车辆数，即：辆。或者说受阻车辆数也为在排队持续时间内到达的车辆数，6.0tn即：。3609)1.03()(0 rt排队的持续时间就是栅栏关闭时间与排队疏散时间之和，即：。httri 40平均排队车辆数
33、 辆（考虑两种极端情况下的平均）4590.5.Q单个车辆的平均延误时间 （也是考虑两种极端情况htdr0.1.下的平均）车辆的总延误时间 辆 .h。83605.nD还可以使用与上述分析相类似的方法去分析信号交叉口车辆的排队和延误。但应注意到的一点是使用简化的方法得到的 偏小，这就需要用车流波理论来处理。Q具体分析时可参照下图：【习题】某公路与铁路平交，平交道口上铁路每天来往通过 84 辆火车，每次平均关闭栅栏时间为 3 分钟，公路上交通流到达道口平均流入率为 320 辆/小时，栅栏开启后车辆通过路口平均流出率 450 辆/小时，试使用简化的排队延误分析方法分析该道口的排队情况？【例题 21】排
34、队论在收费站设计中的应用1问题的提出累计 车辆数tA ( t )D ( t )t 1 t 2 t 3某条道路上要设收费站，单向车流量为 800 辆/h 。假设工作人员平均能在 8s 内处理一辆汽车，符合负指数分布。试分析收费亭单向至少需设多少通道，并对不同的系统进行评估。2问题的分析该问题解决应采用的方法与前述停车场规划时采用的方法类似，在给定的服务水平条件下针对不同的收费车道数量 ，利用 M/M/s 排队系统来进行试算。s3问题的求解设单通道的 M/M/1 系统辆/h， 辆/h， ，即排队系统不稳定，804508361964508队长会越来越长，排队得不到消散。M/M2 系统辆/h， 辆80
35、450836/h， ， ， ，即系统是稳定的。2s1945198s 058.)916(8!2)6(!)(1!)(! 21010 nnssnnsP辆7.658.)91(!268)1(!20sqs辆.76nsqw3080.d81按照 M/M/3 系统来进行计算辆/h， 辆80450836/h， ， ， ，即系统是稳定的。3s19451276s1502.)96(271(!3)916(!)(1!)(! 32010 nnssnnsP辆5.12.)76(!392)1(!230 sqs辆.596nsqw2.308.d5.1.1计算结果的分析M/M/1 系统的交通强度 ，说明该系统无法满足交通强度的要求，车辆排队长度会越来越长，无法消散。M/M/2 系统和 M/M/3 系统均满足交通强度 的要求，但1M/M/2 系统车辆排长队的概率高，服务台劳动强度大，服务水平低；而 M/M/3 系统的各项指标均要大大优于 M/M/2 系统。因此，在没有其它条件限制的情况下， M/M/3 系统应为该收费亭设计之首选。注意的两个问题1系统的选择应综合分析各种限制条件，通道多的系统车辆排队短，服务水平高，但建设规模大，占地多，投资大，运营成本高，因此作好交通量调查是计算分析的前提条件。2车辆在服务台停留时间的长短对系统影响很大，若采用先进的收费系统，缩短服务所需的时间，对减少运营成本，提高服务水平，效果显著。
