1、 第二讲 数论专题- 0 -知识梳理第二讲 数论专题数论专题在小升初考试和各大数学竞赛中占统治性地位，只有数论才能用最简洁的文字命出最难的试题。数论主要考察学生的数感，对数字特征，数字变换，数字组合，数字分拆，数字关联要求要有完整的知识体系并能够由此及彼，综合运用，分析推理。 我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式) ，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。1、整除的特征：（1）2 的倍数特征：末位数是
2、 0、2、4、6、8 的数.（2）3、9 的倍数特征：各位数之和是 3 的倍数或 9 的倍数.（3）5 的倍数特征：末位数是 0 或 5.（4）4 的倍数特征：末两位数是 4 的倍数.（5）8 的倍数特征：末 3 位数是 8 的倍数.（6）11 的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是 0 或 11 的倍数.（7）7、11、13 的倍数特征：末三位数字组成的三位数与其它各位数字组成的多位数的差是7、11、13 的倍数.2、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：N=a 1p1a2p2anpn(a1、a 2an均为 N 的不同质因数)那么 N 的因数个数 n=
3、（1+p1）(1+p2) (1+pn)3、辗转相除法求最大公因数辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数 r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数 r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。第二讲 数论专题- 1 -典型例题例 1求 9600 共有多少个因数？【巩固练习】求 1200 和 450 各有多少个因数？例 2求 2821 和 1519 的最大公因数。【巩固练习】求 5890 和 6327 的最大公因数。例 3七位数 A1994BC 能被 9,5 和 8 整除，试确定数字 A、B、C 的值。【巩固练习】如果五位数436是
4、45 的倍数，那么这个五位数是多少？第二讲 数论专题- 2 -例 4要使 1858413552（ ）乘积的末五位数都是 0， （ ）中应填入的自然数最小值是多少？【巩固练习】 （ ）的积的最后五位都是 0，那么括号内填入的895764235如 果自然数最小是多少？例 5有一个三位数，被 4 除余 1，被 5 除余 4，被 7 除余 2，这个最小的三位数是多少？【巩固练习】一个三位数被 11 除余 10，被 6 除余 4，被 4 除余 2，这个三位数最小是多少？例 6630 乘一个自然数 a,得到一个完全平方数，求 a 的最小值。第二讲 数论专题- 3 -【巩固练习】 自然数 a 乘以 338，
5、恰好是自然数 b 的平方，求 a 的最小值以及 b。例 7有一个整数，用它去除 70、110、160 所得的三个余数之和是 50，这个整数是多少？【巩固练习】有一个整数，用它去除 82、165、240 后所得的三个余数之和是 13，这个整数是多少？ 例 8四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?【巩固练习】 如果 a、b 均为质数，并且 3a+7b=41，求 a 和 b。例 9自然数 a1、 a2、 a3 。 。 。 。 a9、a 10 的和是 100
6、1，设 m 为 a1、 a2、 a3 。 。 。 。 a9、a 10 的最大公因数，那么 m 的最大值是多少？第二讲 数论专题- 4 -【巩固练习】已知 n 个自然数的乘积是 2007，这 n 个自然数的和也是 2007，n 的最大值是多少？例 10商店有 6 箱货物，分别重 15 千克、16 千克、18 千克、19 千克、20 千克、31 千克，两个顾客买走了其中的 5 箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？【巩固练习】一箱哈密瓜，每个哈密瓜重量相同，且都是超过 1 的整千克数，去掉箱子后，哈密瓜净重 201 千克，再拿出几个后，余下的哈密瓜
7、净重 183 千克，那么每个哈密瓜重（ ）千克。 例 11如果一个数，将它倒排后所得的数仍然是这个数，那么我们就称这个数是“回文数” ，又称“对称数”比如：22、565、1991、20702 都是回文数。1）1991 是回文数；2）它可以分解成一个两位质数回数和一个三位数回文数的乘积。那么在 1000-2000 之间具有以上两个性质的数还有哪些？第二讲 数论专题- 5 -【巩固练习】三位数的回文数共有多少个？例 12两个自然数的积是 5766，这两个数的最大公因数是 31，求这两个数。【巩固练习】两个数的最大公因数是 75，最小公倍数是 450，这两个数是多少？例 13一个电子钟表上总把日期显
8、示为八位数，如 2012 年 1 月 1 日显示为 20110101，如果 2011 年最后一个能被 101 整除的日子是 2011ABCD,那么 ABCD= 。【巩固练习】用 1、2、3、4、5、6 每一个数字使用一次组成一个六位数 abcdef,使得三位数 abc, bcd, cde, def 能依次被 4，5，3，11 整除。求这个六位数。第二讲 数论专题- 6 -课后作业1、求 1600 和 3000 各有多少个因数？2、在 865 后面补上 3 个数字，组成一个能被 3、4、5 整除的六位数，这个六位数最小是多少？3、将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 重复写下去组成一个 201
9、2 位数，那么这个数能否被 9 整除？如果不能，请说出余数是多少？4、四个连续偶数的乘积是 5760，求这四个数各是多少？5、求 2703 和 1113 的最大公因数。6、某校 2012 年的学生人数是个完全平方数，2013 年的学生人数比上一年多 101 人，这个数字也是一个完全平方数。该校 2013 年的学生人数是多少人？第二讲 数论专题- 7 -7、两个数的最小公倍数是 160，它们的最大公因数是 8，其中一个数是 40，另一个数是多少？8、一个质数的 3 倍与另一个质数的 2 倍之和为 100，这两个质数的积是多少？9、有三堆石子，每堆分别有 6655，655，65 粒.现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次可以从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆取出一些石子放入另一堆中.按上述方式进行“操作” ，能否把这三堆石子都取光？如果能办到，请你设计一种取石子的方案；如不能办到，请说理由。 10、在黑板上写上 1、2、3、4、2012.按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数 a 和 b，然后写上它们的差（大数减小数） ，直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
