1、第一部分 夯实基础 提分多,第三单元 函数,第13课时 二次函数的图象与性质,基础点 1,二次函数的定义,基础点巧练妙记,形如(a，b，c是常数，a0)的函数特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式,基础点 2,二次函数的图象与性质,1根据函数解析式判断函数性质及图象,减小,增大,左侧,右侧,左,正,负,两个,2根据函数图象判断相关结论,=,=,=,=,1表达式的三种形式 (1)一般式：yax2bxc(a、b、c为常数，a0)； (2)顶点式：_(a为常数，a0，(h，k)为顶点坐标)； (3)交点式：_ (a为常数，a0，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标)；,基础点 3,二
2、次函数表达式的确定,ya(xh)2k,ya(xx1)(xx2),顶点式 一般式 交点式，若顶点在原点，可设为yax2.,(4)三种表达式之间的关系,2待定系数法求二次函数的表达式： (1)对于二次函数yax2bxc，若系数a、b、c中有一个未知，则代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任意两点坐标；若三个都未知，根据下表所给的点坐标选择适当的表达式,(2)联立方程(组)，求得系数或常数项；将所得系数或常数项代入表达式即可,基础点 4,二次函数图象的平移,规律：,右-,方法二：,yax2bxc左右平移时，给每一个x都加m或减m.,向左平移m个单位,规律：,向右平移m个单位,ya（x+m）2b(x
3、m)c,ya（x-m）2b(xm)c,左+,右-,基础点 5,二次函数与一元二次方程、不等式的关系,1二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线与x轴有两个交点b24ac 0方程ax2bxc0有两个不相等的实数根； (2)抛物线与x轴有一个交点b24ac0方程ax2bxc0有两个相等的实数根；,(3)抛物线与x轴无交点b24ac0方程ax2bxc0无实数根 2. 二次函数与不等式的关系 (1)ax2bxc0的解集函数yax2bxc的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围； (2)ax2bxc0的解集函数yax2bxc的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围,抛物线yx26x8与x轴交点
4、坐标为_； 当x26x80时，x的值为_； 当x26x80时，x的取值范围为_； x26x80时，x的取值范围为_,(2，0)或(4，0),2或4,x2,4x2,例1 在探究二次函数图象性质的过程中，x与y的对应值如下表：,重难点精讲优练,类型 1,二次函数的顶点坐标、对称轴与增减性,(1)表中二次函数表达式为_； (2)函数图象开口向_，顶点坐标为_，对称轴为_； (3)当x_时，函数取最小值，最小值为_；,yx22x3,上,(1，4),x1,1,4,(4)函数图象与y轴交点坐标为_，与x轴交点坐标为_； (5)画出此函数图象；,(0，3),(1，0)，(3，0),例1题图,例1题解图,(6
5、)根据图象回答：x取何值时，y0；x取何值时，y0；x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小？,当x1或x3时，y0；当1x3时，y0；当x1时，y随x的增大而增大；当x1时，y随x的增大而减小,练习1 已知：抛物线yx23kx2k. (1)当顶点在y轴上时，k的值为_； (2)当顶点在x轴上时，k的值为_； (3)当函数图象经过原点时，k的值为_； (4)当函数图象与x轴的两个交点在y轴的两侧时，k的取值范围为_,0,解法提示： (1)抛物线yx23kx2k 顶点在y轴上， 3k0，解得k0； (2)抛物线yx23kx2k 在x轴上， b24ac0， (3k)241(2
6、k )0， 解得k1或k ；,(3)抛物线yx23kx2k 经过原点， 2k 0，解得x ； (4)设抛物线yx23kx2k 的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)， 抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧， x1x20， x1x2 0，即k .,变式拓展 已知：二次函数yx2bxc(b，c为常数) (1)当b2，c3时，求二次函数的最小值； (2)当cb2时，若在自变量x的值满足 bxb3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式,解：(1)当b2，c3时，二次函数的解析式为yx22x3，即y(x1)24， 当x1时，二次函数取得最小值4； (2)当cb2时，二次函数
7、的解析式为yx2bxb2，其图象是开口向上，对称轴为x 的抛物线， 若 b，即b0， 当bxb3时，y随x的增大而增大，,当xb时，y最小值b2bbb23b2， 3b221，解得b1 (舍)，b2 . 二次函数解析式为yx2 x7； 若b b3，即2b0， 当x 时，y最小值( )2b( )b2 b2， b221，解得b12 (舍)，b22 (舍)； 若 b3，即b -2,当bxb3时，y随x的增大而减小， 当xb3时，y最小值(b3)2b(b3)b23b29b9，3b29b921，即b23b40，解得b11(舍)，b24，二次函数解析式为yx24x16， 综上所述，b 或b4， 此时二次函数
8、的解析式为yx2 x7或yx24x16.,类型 2,二次函数图象与系数a、b、c的关系,例2题图,C,例2 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下四个结论：abc0；abc0；4ac2b；2ab0；m(amb)ba(m1)，其中，正确结论的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个,【解析】抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x 10，b2a，b0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，错误；x1时，y0，abc0，正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，抛物线与x轴的另一个交点在点(3，0)和(
9、2，0)之间，当x2时，y0，4a,2bc0，正确；抛物线对称轴x 1.b2a，即2ab0，正确；抛物线的对称轴为直线x1，当x1时，y有最大值，am2bmcabc(m1)，m(amb)ab(m1)，正确；综上所述，正确的结论有.,A,练习2 已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点(2，0)、(x2，0)，且1x22，与y轴正半轴的交点在(0，2)下方，在下列结论中：b0， 4a2bc0，2ab10，bac.其中，正确的结论是( ) A. B. C. D. ,【解析】画出图象如解图， 开口向下，a0，x 0，b0，正确；根据二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点(2，0)、(x2，0)
10、，且1x22，与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，把x2代入得：4a2bc0，正确；由4a2bc0得2ab,例2题解图,而0c2，1 0，12ab0，2ab10，错误；图象与x轴两交点为(2，0)，(x2，0)，且1x22，对称轴x ，则对称轴 0，且a0，ab，ab0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，得c0，即abc，错误；正确的结论为.,类型 3,二次函数与一元二次方程的关系,例3 已知抛物线y(xm)2(xm)，其中m是常数 (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x . 求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿y轴向上平
11、移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点,【自主解答】(1)证明： y(xm)2(xm)x2(2m1)xm2m， b24ac(2m1)241(m2m)4m2 4m14m24m10， 不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)解：yx2(2m1)xm2m的对称轴为直线x ，,抛物线对称轴为直线x ， ， 解得m2， 抛物线解析式为yx25x6； 设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的解析式为 yx25x6k.,抛物线yx25x6k与x轴只有一个公共点， 524(6k)0， k ， 即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后，
12、得到的抛物线与x轴只有一个公共点,练习3 (2017张家界节选)已知抛物线c1的顶点为A(1，4)，与y轴的交点为D(0，3) (1)求c1的解析式； (2)若直线l1：yxm与c1仅有唯一的交点，求m的值； (3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：yn.试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点,解：(1)抛物线c1的顶点为A(1，4)， 设抛物线c1的解析式为ya(x1)24， 点D(0，3)在抛物线上， a(01)243， a1， 则抛物线c1的解析式为y(x1)24， 即yx22x3；,(2) 由题意可得，即x23xm30，直线与抛物线仅有唯一的交点，b24ac94(m3)0，解得m ； (3)根据题意可得抛物线c1：y(x1)24关于y轴对称的抛物线c2的解析式为：y(x1)24.,由图象可得当n4时，直线y4经过两抛物线顶点(1，4)，(1，4)，此时直线y4与抛物线有两个交点； 当n3时，直线y3，经过两抛物线的交点D(0，3)，此时直线y3与抛物线有三个交点； 当n3或3n4时，直线yn与抛物线有四个交点,
