1、6 方阵的若当标准形、 不变子空间设 L为一个实（或复）线性空间 V 的一个线性变换，S 为 V 的一个子空间，若 ，则SL称 S 为关于 L 的一个不变子空间. 设 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换 L 的不变子空间，V 可以用它们的直和：sV,21 s21来表示的充分必要条件是：在某基底下线性变换 L对应的矩阵 A 可化为分块对角矩阵sA002式中 的阶数分别等于 的维数 . iAiV),1(si二、方阵的标准化若当块 与若当标准方阵 形为 iiimiJ010, 的 m 阶方阵称为若当块，式中 是一特征值. i一个方阵的分块矩阵在主对角线上的子阵都是若当块，而其余的子阵都是零矩阵，即
2、（1）smmJJJ,21则称其为若当标准方阵或若当标准形. 注意，不同块里的这些 未必两两不同. i方阵的 标准化1o 特征值都不同的情形 若一个方阵 A 的特征值都不相等，则 A 可以化为对角矩阵，它的主对角线上的元素就是这些特征值：n00212o 特征值有相等的情形 任意方阵 A 都可以化为与它相似的若当 标准形（1），其中 i是它的特征值， 是特征值 的重数. 如不计若当块 的次序，则 A 的标准形是唯一的. imiimJ,当且仅当一切若当块的阶 都等于 1 时，可化为对角矩阵. 这就是 1o 的情形. i以上说明，假定 A 是一个方 阵，那末 总可找到一个非奇异的方阵 T，使得方 阵
3、与 AT1相似. ATJ1三、方阵标准化的方法与步骤 矩 阵 假定一个 n 阶 方阵 A 的元素都是变数 的复系数多项式)(则 称为 矩阵. 一个 矩阵 的不恒等于零的子式的最高 阶数 r 称为 的秩. )(A )(A不变因子与初等因子 设 r 为 的秩，k 是正整数 ， 为 的一切 k)(k1kD阶子式的最高公因式，则 是一个 的多项式，规定 的 最高次项系数是 1；此外规)(kD)(定)(0,1o nrk称)(0)(1nkrdkk为 的不变因子. )(A把每个 分解为一次因子，得到)(kd),21()()()(21 rkikkk ttt 式中指数 有的可能是零，当 时， 称为 的一个初等因
4、子. ikt 0i iktA初等 变换 矩阵的等价 对 矩阵 的下列三种变换的有限次组合称为 的初等)(A变换. （i）任何两行（列）互换；（ii）把任何一行（列）的各元素乘上同一个 的多项式后加到另一行（列）的相应的元素上；（iii）把任何一行（列）的元素乘上同一个不等于零的复数. 应当指出，适当地施行（ii ），（iii）两种变换可以得到（i ）. 若 可由 经过有限次初等变换得到，则称 与 等价，记作 . )(B)(A)(AB)(BA 矩 阵经过初等变换后，其不变因子和初等因子都不 变. 矩 阵的标准形 设 矩阵 的秩为 r，不 变因子 为 ，则)(A,)(,21rdd00)(0)(21
5、 rdd称右边的方阵为 的标准形. 它是由 唯一确定的. )(A)(A等价的 矩阵具有相同的 标准形. 特征矩阵 方阵 A 的特征矩阵 是一个特殊的 矩阵. 所以I1o若 的初等因子为)(Imsm)(,)(,)(21其中各 未必两两不同，则inms21且有 msmmIA )(0)()(10)( 21 2o如果 n 阶 矩阵 msmmB )(0)()(10)( 21 其中 ，则nms21 )()IJB式中 J 为 A 的若当标准形. 3o 若 A 的特征矩阵的初等因子为msm)(,)(,)(21则 JAJ 为 A 的若当标准形. 方 阵标准化的步骤 把方阵 A 化为 A 的若当 标准形的步骤如下
6、：(1) 利用初等变换把 化为对角矩阵，分解对角线上的多项式，就得到 的全)(I IA部初等因子. (2) 相应于每个初等因子 ，作出一个 m 阶的若当块m0001(3) 把全部若当 块合并起来就得到 A 的若当标 准形. 例 1 求方阵 412973的若当标准形. 解4129733IA容易求出它的不变因子为 1，1， ，所以初等因子是 ，因此得到 A2)( 2)(,1的若当标准形201例 2 求方阵0154263A的若当标准形. 解 15142603IA经过初等变换可以把它化为如下形式的对角线矩阵100)()(22所以初等因子为 ， ，相 应的若当块为2)1(2)( ,1所以 A 的若当标准形为 10
