1、建筑结构抗震辅导二一、单质点弹性体系的地震反应地震所释放出来的能量，以地震波的形式向四周扩散，地震波到达地面后引起地面运动，使地面上原来处于静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动。在振动过程中，作用在结构上的惯性力就是地震作用。因此，地震作用可以理解为一种能反映地震影响的等效作用。建筑物在地震作用和一般荷载共同作用下，如果结构的内力或变形超过容许数值时，那么建筑物就遭到破坏，乃至倒塌。因此，在结构抗震计算中，确定地震作用是个十分重要的问题。地震作用与一般静载荷不同，它不仅取决于地震烈度大小，而且与建筑物的动力特性（结构的自振周期、阻尼）有密切关系。因此，确定地震作用比确定一般静荷载要复杂得多。
2、目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。反应谱理论已经成为当前抗震设计中的主要理论，因为它方法简单，便于掌握
3、，所以为各国工程界所广泛采用。1运动方程的建立为了研究单质点弹性体系的地震反应，我们首先建立体系在地震作用下的运动方程。图 2-1 表示单质点弹性体系的计算简图。由结构动力学方法可得到单质点弹性体系运动方程:(2-3)()()(txmtkxctmgHLm图 2-1 单质点弹性体系计算简图其中 (t)表示地面水平位移，是时间 t 的函数，它的变化规律可自地震时地面运动gx实测记录求得； (t)表示质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应，它也是时间 t 的函数，是待求的未知量。若将式(2-3)与动力学中单质点弹性体系在动荷载 作用下的运动方程)(tF(2-4)()(tkxctxm进行比较，不难发
4、现两个运动方程基本相同，其区别仅在于式(2-3)等号右边为地震时地面运动加速度与质量的乘积；而式(2-4) )等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于 ，指向与地面运动)(tmg加速度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度 的变化)(txg规律，而 可由地震时地面加速度记录得到。)(txg为了使方程进一步简化，设(2-5)mk2(2-6)c将上式代入式(2-3)，经简化后得：(2-7)()()(2)(2txttxt g 式(2-7)就是所要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。2运动方程的解答式(2-7)
5、是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解包含两个部分：一个是对应于齐次微分方程的通解；另一个是微分方程的特解。前者代表自由振动，后者代表强迫运动。（1） 齐次微分方程的通解为求方程(2-7)的全部解答，先讨论齐次方程(2-8)0)()(2)(2txttx的通解。由微分方程理论可知，其通解为：(2-9)tBtAett sinco)(式中 ； 和 为常数，其值可由问题的初始条件确定。当阻尼力为 0 时，21AB式(2-9)变为：(2-10)tttxsic)(式(2-10)为无阻尼单质点体系自由振动的通解，表示质点做简谐振动，这里 为mk/无阻尼自振频率。对比式(2-9)和式(2-10)可知，有阻
6、尼单质点体系的自由振动为按指数函数衰减的简谐振动，其振动频率为 ， 称为有阻尼的自振频率。21根据初始条件 t=0 可以确定常数 和 ，将 t=0 和 代入式(2-9)得：AB)0(xt)0(x为确定常数 ，对时间 t 求一阶导数，并将 t=0， 代入，得：B)0()(xB将 、 值代入式(2-9)得：AB(2-11) txtxetxt sin)0()(cos)0()( 上式就是式(2-8)在给定的初始条件时的解答。由 和 可以看出，有阻尼自振频率 随阻尼系数 增大而减21m/c小，即阻尼愈大，自振频率愈慢。当阻尼系数达到某一数值 时，即rc(2-12)kcr2时，则 ，表示结构不再产生振动。
7、这时的阻尼系数 称为临界阻尼系数。它是由结0 r构的质量 和刚度 决定的，不同的结构有不同的阻尼系数。而mk(2-13)rcm2上式表示结构的阻尼系数 与临界阻尼系数 的比值，所以 称为临界阻尼比，简称阻尼cr比。在建筑抗震设计中，常采用阻尼比 表示结构的阻尼参数。由于阻尼比 的值很小，它的变化范围在 0.010.1 之间，因此，有阻尼自振频率 和无阻尼自振频21率 很接近，因此计算体系的自振频率时，通常可不考虑阻尼的影响。（2） 地震作用下运动方程的特解进一步考察运动方程(2-7)()()(2)(2txttxt g 可以看到，方程与单位质量的弹性体系在单位质量扰力作用下的运动方程基本相同，区
8、别仅在于方程等号右端为地震地面加速度 ，所以，在求方程的解答时，可将 看tg )(txg作是随时间而变化的单位质量的“扰力” 。为了便于求方程(2-7)的特解，我们将“扰力” 看作是无穷多个连续作用)(txg的微分脉冲，如图 2-2 所示。现在讨论任一微分脉冲的作用。设它在 开始dt作用，作用时间为 ，此时微分脉冲的大d小为 。显然，体系在微分脉冲xg)(作用后仅产生自由振动。这时，体系的位移可按式(2-3)确定。但式中的 和)0(x应为微分脉冲作用后瞬时的位移和速)0(度值。根据动量定理：图 2-2 (2-14)dxg)()0(将 =0 和 的值代入式(2-3)，即可求得时间 作用的微分脉冲
9、所产生的位移反应)0(x (2-15)dtxexgt )(sin)()( 将所有组成扰力的微分脉冲作用效果叠加，就可得到全部加载过程所引起的总反应。因此，将式(2-15)积分，可得时间为 t 的位移(2-16)ttg dtextx0)()(sin1)( 上式就是非齐次线性微分方程(2-7)的特解，通称杜哈梅（Duhamel）积分。它与齐次微分方程(2-8)的通解之和就是微分方程(2-7)的全解。但是，由于结构阻尼的作用，自由振动很快就会衰减，公式(2-9)的影响通常可以忽略不计。分析运动方程及其解答可以看到：地面运动加速度 直接影响体系地震反应的大)(txg小；而不同频率（或周期）的单自由度体
10、系，在相同的地面运动下会有不同的地震反应；阻尼比 对体系的地震反应有直接的影响，阻尼比愈大则弹性反应愈小。二、单质点弹性体系水平地震作用1水平地震作用基本公式由结构力学可知，作用在质点上的惯性力等于质量 乘以它的绝对加速度，方向与加m速度的方向相反，即(2-17)()(txtFg式中 为作用在质点上的惯性力。其余符号意义同前。)(tF如果将式(2-3)代入式(2-17)，并考虑到 远小于 而略去不计，则得：)(tc)(tk(2-18)(2xmkt由上式可以看到，相对位移 与惯性力 成正比，因此，可以认为在某瞬时地震作用xF使结构产生相对位移是该瞬时的惯性力引起的。也就是为什么可以将惯性力理解为
11、一种能反应地震影响的等效载荷的原因。将式(2-16)代入式(2-18)，并注意到 和 的微小差别，令 = ，则得： (2-19)ttgdtexmtF0)()(sin)( 由上式可见，水平地震作用是时间 t 的函数，它的大小和方向随时间 t 而变化。在结构抗震设计中，并不需要求出每一时刻的地震作用数值，而只需求出水平作用的最大绝对值。设 表示水平地震作用的最大绝对值，由式(2-19)得：F(2-20)max0)()(sinttgdtexF或 (2-21)amS这里 (2-22)max0)()(sinttga dtexS令 maxgakxga代入式(2-21)，并以 代替 ，则得：EkF(2-23
12、)GFEk式中 水平地震作用标准值； 质点加速度最大值； 地震动峰值加速度；Ek aSmaxg地震系数； 动力系数； 建筑的重力荷载代表值（标准值） 。G式(2-23)就是计算水平地震作用的基本公式。由此可见，求作用在质点上的水平地震作用 ，关键在于求出地震系数 和动力系数 。EkFk2地震系数地震系数 是地震动峰值加速度与重力加速度之比，即(2-24)gxkma也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。3动力系数 动力系数 是单质点弹性体系在地震作用下反应加速度与地面最大加速度之
13、比，即(2-25)maxgS也就是质点最大反应加速度对地面最大加速度放大的倍数。4地震影响系数为了简化计算，将上述地震系数 和动力系数 的乘积用 来表示，并称为地震影响k系数。(2-26)a这样，式(2-23)可以写成 (2-27)GFEk因为 gSxgkaagma(2-28)所以，地震影响系数 就是单质点弹性体系在地震时最大反应加速度（以重力加速度 g 为a单位） 。另一方面，若将式(2-27)写成 ，则可以看出，地震影响系数乃是作用GFaEk/在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比。抗震规范就是以地震影响系数 作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定。这时水平地震影响系数曲线按图 2-3 确定，形状参数和阻尼调整系数应按教材规定调整。内容回顾1. 竖向荷载、水平荷载和地震作用，在高层建筑中水平荷载和地震作用起控制作用。2. 地震的传播及类型，地震震级，基本烈度；我国的“三水准”的抗震设防目标与二阶段设计方法， “三水准，二阶段”的抗震设防可概括为“小震不坏，中震可修，大震不倒”。3. 单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。4.计算水平地震作用关键在于求出地震系数 和动力系数 。k图 2-3 地震影响系数曲线
