1、1第一章 微积分的基础和研究对象一、教学目的和要求：1了解微积分的发展历程。2了解极限、实数、集合在微积分中的作用。3了解实数系的建立及邻域的概念。4理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立实际问题中的函数关系式。5理解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。6掌握基本初等函数的性质及其图形。7理解复合函数及分段函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合的方法。8了解 MM能力培养。二、教学难点和重点：重点：1数的性质及其图形。2合函数的分解及分段函数的概念。难点：1. 函数的概念。2. 复合函数。三、教学方法讲解法1 微积分的基础1
2、.1 微积分的发展历程数学发展史的生动事例表明，许多数学模型，包括数学理论，总是在长期的应用中逐步构建起逻辑基础的。17 世纪上半叶笛卡儿（Descartes,法，15961650）创建了解析几何，变量便进入了数学。随后，牛顿（Newton,英，16421727）和莱布尼兹（Leibniz,德 16461716）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑。微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛有效的应用，大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步。然而初期的微积分在逻辑上存在着矛盾。粗略地讲，牛顿、莱布尼兹的导数概念是建立在所谓的“无穷小”理论之上的，他们所谓的无
3、穷小，时而是零时而又不是零，这违背了逻辑学中的排中律。 （排中律是指在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断，这两个相矛盾的判断必有一个是真的，即排除第三种情况。 ）正因此，不少学者对微积分的可靠性产生了怀疑，并且一些思想保守的人物借此提出非难，特别是代表守旧势力的英国2红衣大主教贝克莱（Berkeley,16851753） ，从维护宗教神学的利益出发，亟力反对蕴含运动变化这一新潮思想的微积分。数学界、哲学界、宗教界的许多人围绕微积分的逻辑基础问题展开了激烈的争论，被数学史界称为第二次数学危机。1.2极限、实数、集合在微积分中的作用。微积分在长达两个世纪的自身理论完善过程中，法国数学家
4、柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯先后建立了极限理论，其中包括摒弃牛顿、莱布尼兹的含混不清的“无穷小”概念，而代之以“以零为极限的变量为无穷小量”的明确定义，从而解决了微积分的逻辑基础问题，也就消除了第二次数学危机。可见极限是微积分的理论基础。极限是微积分的理论基础，然而极限作为运算不总是通行无阻的，例如在有理数范围内就可能行不通。譬如，由 的不足近似值构成的有理数序列21，1.4，1.41，1.414，1.4142，若在有理数范围内来考察，就不存在极限。但在实数范围内来考察，它的极限就是 。2可见实数是极限的理论基础，进而可知实数是微积分的基础。数学家及哲学家，喜欢考察数学为什么是可靠的。在 19
5、世纪那个时期，数学家们认识到微积分的可靠性建立在极限的基础之上，而极限的可靠性建立在实数的基础之上，再追问，再研究，又发现，实数的可靠性来源于自然数。当时认为，由于自然数在人类几千年的德社会生产活动中发现最早，接触最多，贴近实际最近，而且长期使用中未出现矛盾，因而自然数的可靠性是不被怀疑的。于是自然数便成了实数的基础，进而自然数成了微积分的基础。数学家们对数学基础的研究并未到自然数为止。19 世纪末，又认识到自然数可由德国数学家康托儿提出的集合来定义，于是微积分的可靠性就取决于集合论的可靠性。因而集合又成了微积分的基础。而微积分又是现代数学的基础知识，于是几乎全部数学都可以建立在集合基础之上。
6、可见集合是整个数学大厦的基石。通过前面的介绍，我们体会到，对微积分基础的研究大大推动了微积分的完善和发展，这无疑是对的。然而这仅仅体现了数学发展动力的一个方面，即由数学自身矛盾运动产生的内部力量。还应认识到数学发展动力的另一个方面，即由人类社会实践所产生的外部力量。17 世纪资本主义生产力的发展正是推动微积分产生和发展的外部力量。关于数学的可靠性问题，我们固然应该根据数学科学的特点追求数学的逻辑可靠性，但最终还要符合实践的可靠性，即数学的可靠性尚需介绍社会实践的检验。1.3 实数系的建立及邻域的概念。一、实数系的演变及性质自然数集（N）(0,1,2,3,) 引进负数，整数集（Z）,将正整数集记
7、作 Z+ 或 N+（即除 0外的全体自然数构成的集合）有理数（Q）3二。 、有理数的性质：任一有理数都可以写成 的形式，其中 ，且 。同整数比较起来，有理qpZqp,0数具有整数所没有的很好的性质。设 是任意给定的两个有隶属，则在 之间至少存在一个有理数 ，即)(,baba, c（如 就满足要求） ；同样，在 与 也至少存在一个有理数 ，即c2cd。d如此类推，可知无论 与 相差多么小，总可以在 与 之间找到无穷多个有理数，abab这就是有理数的稠密性。因为任一有理数在数轴上均可以找到唯一的一点和它相对应（该点称为有理点） ，所以反映在数轴上，任意两个有理点之间总可以找到无穷多个有理点，即有理
8、点在数轴上是稠密分布的。这是整数所不具备的性质。实数的特性虽然有理点在数轴上是稠密的，但它并没有铺满整个数轴。如单位正方形的对角线，其长 在数轴上就找不到一个有理点和它对应。事实上，利用反证法不难证明， 不2 2能表示成 （ ，且 ）的形式，因此 不是有理数。这样就说明在数轴上qpZ,0q2除了有理点外，还会留下许多空隙，同时也说明有理点尽管“很稠密” ，但并不具有连续性。我们把这些空隙处的点称为无理点，无理点对应的数称为无理数。全体有理数与无理数合称为实数，这就把有理数集扩充为实数集，记作 R。这就使在有理数集中不封闭的开方运算在实数集中成为封闭的。在数轴上，可以发现，实数点能铺满整个数轴，
9、而不会留下任何空隙，实数的这种性质称为实数的连续性，这是有理数所没有的性质。 三、邻域微积分研究的对象，是反映现实世界中连续变化的事物在数量方面的相依关系，即所谓的连续函数。因而只能用具有连续性的数来刻画事物连续变化的特性，而实数才具有连续性，因此在微积分中，所说的数均指实数。刻画极限的邻域概念与点 距离小于 的全体实数的集合称为点 的 邻域，记作 ，0x)0(0x),(0xU称为邻域的 中心， 称为邻域的半径。0显然点 的 邻域可用集合记号表示为 ，或用区间表示为0x0x。),(0如果点 的 邻域 不包括点 ，则称为点 的去心邻域，记作 ，0x),(0xU0x0x),(0xU4也可用集合记号
10、表示为 。0x例 用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的范围，并描绘在数)0(21x轴上。解：由 得 ，即 。所以它表示以 为中心、以21x4x4)(21为半径的邻域，用邻域符号表示为 。4,21U由 得 ，所以用区间符号表示为 。421x4x )421,(作业/课后反思证明 不是有理数。52微积分的研究对象函数1.1函数在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型。例 1 心理学研究表明，小学生对新概念的接受能力 （即学习兴趣、注意力、理解力的某G种量度）随学习时间 的变化规律为t436.21.0)(tG定义
11、 如果在某个变化过程中有两个变量 ，并且对于 在某个变化范围 内的每一个yx,xX确定的值，按照某个对应法则 都有唯一确定的值和它对应，那么 就是 的函数，记f, yx作 ， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域，和 的值对应的 的)(xfyXy值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。Y函数定义表明了函数模型的结构，它由定义域、对应法则和值域三个要素所构成。定义域和对应法则是主导要素，值域是派生要素。这一模型如同一部机器，把 中的任意原X材料 输入 ，便能产出实数 。x()fy由中学内容可知函数的表示法通常有三种，即解析法、图像法、表格法。例 2 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称
12、为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要指标。联合国根据恩格尔系数来划分一个国家国民富裕程度：恩格尔系数小于 20为绝对富裕，20以上小于 40属比较富裕，40 以上小于 50算小康水平，50 以上小于 60刚够温饱，60 以上则为贫困。试以图像法表示国民富裕程度。1.2逆向思维一例反函数定义 设函数 。如果对于 内的任一 ， 内都有唯一确定的 与YyXxfy,),( yXx之对应，使 ，则在 上确定了一个函数，这个函数称为函数 反函数，)(f记作 。而原来的函数 称为直接函数。由直接函数想到反函数，yfx),(1 )(xfy这是一种逆向思维过程。什么函数存在反函数
13、呢？单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同。1.3 基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。1.4复合函数一些客观事物，在质的方面存在着复合关系，在量的方面也存在着复合关系。在物理6学中，质量为 的物体，自由下落时的动能为 ，而 套入函数m21mvEgt便得到 关于 的函数 ，像这种由函数套函数而得到的函数就是21vEEt2)(gt复合函数。一般地有定义 设函数 ，且由 确定的函数值XxuUfy),(,)(x落在函数 的定义域 内，则 称为复合函数。 称为中间)(xu )(fyu变量， 称为里层函数， 称为外层函数。)(fy比如 是由
14、和函数 复合而成的。函数 的定义域21xyu21xuy是 ，这应是函数 的值域，即应满足 ，由此得 。显然0u2 01x对一切 ，函数 的值域即为函数 的定义域。,xxuy有些复合函数的中间变量可以有两个，或更多。把一个复合函数分成不同层次的函数，叫做复合函数的分解。合理分解复合函数，在微积分中有着十分重要的意义。分解的步骤是从外到里，评判分解合理与否的准则是，观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式。例 4分解复合函数： ；)1sin(12xy）（解 设 ,u)2si(log)2(y解 设 。,n,xvu1.5初等函数的含义基本初等函数，以及对基本初等函数做有限次四则运算与有限次函数复合运算
15、而得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数，否则就是非初等函数。比如整式函数 )0()( 110 axxaxPnnn分式函数 （ 的含义与 相同，且 ）)(Qym)(m)Pn(xQm根式函数 12x以及更为复杂的函数)21arcsin(l2sinxxy7等，都是初等函数。而分段函数就不是初等函数，即为非初等函数。在初等函数的研究中，常常需要确定函数的定义域。例 5 求函数 的定义域。1)arcsin(2xy解 两个函数之和的初等函数的定义域是这两个函数定义域的公共部分。函数的定义域为 函数 的定义域为)1arcsi()(1xf ,01X1)(22xf。故函数 的定义域为),(),(2X)arcsin(2xy,1),(0,21 ),作业/课后反思8
