1、1数学建模试题及答案学号：09291048姓名：排如克.努尔敦班级：电气 0902指导老师：范秉理21.设某产品的供给函数 与需求函数 皆为线性函数：)(p)(pf其中 为商品单价，试9,43)( kfp推导 满足什么条件使市场稳定。k解：设 Pn 表示 t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：2 分 )()(1 nn pfp9431nnkp即： 经递推有： kkpnn5316 分kpkknnnn 5)3()3( )5( 1102表示初始时的市场价格0p若 10 分: 时当 n 则则则 ,30,13npk即k2.某植物园的植物基因型为 AA、Aa、aa，人们计划用 AA型植物与每种基因型植物相结
2、合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传） ，经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？3解：依题意设未杂交时 aa 、Aa、AA 的分布分别为 ，杂交0,acbn 代后分别为 an bn cn (向为白分手)由遗传学原理有： 4 分 111111200nnnn nnnn cbacba设向量 Tnnbax).(1nnXMx式中 递推可得：120M0Xnn对 M 矩阵进行相似对角化后可得： 其相似对角102阵 1102pp从而 102)1(102nnM 1)2()1(0nnnM8 分010101010 )2()2()()( bacbab nnnnnn 当 时， 。
3、10 分,nnncb43.试建立人口 Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为 M，当前人口数量为 N（t） ，r 为比例系数。建立模型：)(1()ttrdtN4 分0|t求解得到 6 分rtmeNt)1(1)(0注意到当 时， 并说明 r 即为自然增长率。 MtN)( rtr)(4.1968 年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用 DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳
4、洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。解：依据题意，设介壳虫的数量为 x(t)，澳洲瓢虫的数量为 y(t),则有数模方程组：（1） 式中 a b c f 均大yfcdtybxatx于零。 4 分5解方程组（1） yfcbxadyx得： xfba)( kbyfxclnlkexybyfxca（3） ebyfca式（3）给出一族封闭曲线，显然 x(t)、y(t)即为以下为周期（T0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值则有 6 分 dtcyfTx)(10 dtxabTy0)(1baTbay fcyfcx=+=(0)()(lnlll当使用杀虫剂 D
5、DT 后，设杀死介壳虫， ，澳洲瓢虫)(tx)(ty则有模型为： fxycfxycydt babaxtd )(显然此时有： bafx即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10 分5.根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为 0.9, 6出现高水水情的概率为 0.05，出现洪水水情的概率为 0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1） 运走，需支付运费 15 万元。（2） 修堤坝保护，需支付修坝费 5 万元。（3） 不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1） ，那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2） ，则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失 400
6、万元的设备；若采用方案（3） ，那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200 万元，发生洪水时损失设备 400 万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：运走 -15不发生洪水 0.95 -5 A -15 修坝 B 发生洪水 0.05 -405平水 0.9 0C 高水 0.05 -200洪水 0.05 -400E(A)=-15 （2 分）E(B)=0.95(-5)+0.05（-405）= -25 （5 分）E(C)=00.75+(-200)0.05+0.05(-400)=-30 （8 分）所以-E(A) -E(B) -E(C)，因而
7、A 方案是最佳决策方案。 （10 分）6.某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20 台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的7成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用 0.15 万元，建立一个数学模型（不要求求解） ，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。季度 生产能力（台）三位成本（万元/台）一 25 10.8二 35 11.1三 30 11.0四 10 11.3解：设 为第 季度生产的用于第 季度交货的柴油机的台数，则ijxi j由题意 ： （3 分）=+=20510432412
8、1xxx又由生产能力的要求，有 （6 分）+2531412341xx再设 表示第 季度生产的用于第 季度交货的每台柴油机的实际成ijci j本，其值如下表：ij1 2 3 481 10.8 10.95 11.10 11.252 11.10 11.25 11.403 11 11.154 11.30设 表示第 j 季度的生产能力， 表示第 季度的合同供应量，则建iajbi立本问题模型： （10=41ijijxczmin 041=ijjijijijxbaxts.分） 7.考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知 13岁至 18 岁各年龄组的四项指标为 生长发育不良的比0X率； 五项身体素质不及格
9、的比率； 营养不良1X 2比率； 患病比率，数据见下表：3年龄 13 14 15 16 17 180X40.39 46.08 47.06 47.26 48.98 49.06132.29 34.31 33.33 35.40 37.68 42.16237.25 37.25 25.50 12.75 9.8 16.673X6.36 8.23 9.36 7.3 5.2 6.5请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？分辨系数 .50解：（1）进行初始化处理9（2 分）7,1.24)10,.,.65,.(1.,4090.3968.439.67.3.8.0=X同理得到,.57)2(及 ， （5 分）2X3（2）利用公式 )()()()()( 00 kXkXk ikiii iiiikiii maxmn+=计算各个关联系数： 91,.8478,.,.1,0.6,.=3)56(2（8 分） 5,0.71,0.,.,.,.3（3）计算关联度利用公式 得到 ， ，)(1nkiir=87601.=r0.582=r从而 即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的0.7633=r1X比率影响最大。
